知識精講
知識點(diǎn)01 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
1．點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有
(1)點(diǎn)P在圓內(nèi)
(2)點(diǎn)P在圓上
(3)點(diǎn)P在圓外
2．三角形的外接圓
經(jīng)過三角形的 的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形 的交點(diǎn)，叫做三角形的 . 三角形的外心到三角形 的距離相等.
要點(diǎn)詮釋：
(1)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；
(2) 的三個點(diǎn)確定一個圓.
知識點(diǎn)02 直線和圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有 時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的 ．
(2) 相切：直線和圓有 時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的 ，唯一的公共點(diǎn)叫做 ．
(3) 相離：直線和圓 ，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．
如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么
(1)直線l和相交 ；
(2)直線l和相切 ；
(3)直線l和相離 ；

這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．
1．圓與圓的五種位置關(guān)系的定義
兩圓外離：兩個圓沒有公共點(diǎn)，且 時，叫做這兩個圓外離.
兩圓外切：兩個圓 ，并且除了這個公共點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的 時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
兩圓相交：兩個圓有 時，叫做這兩圓相交.
兩圓內(nèi)切：兩個圓 ，并且除了這個公共點(diǎn)外，一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的 時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
兩圓內(nèi)含：兩個圓 ，且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的 時，叫做這兩個圓內(nèi)含.
2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：
設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2， 兩圓心O1O2的距離為d，則：
兩圓外離
兩圓外切
兩圓相交
兩圓內(nèi)切
兩圓內(nèi)含
(1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)個數(shù) 分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；
(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；
(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.
能力拓展
考法01 點(diǎn)與圓的為位置關(guān)系
【典例1】已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線的距離d＝OD＝3cm，在直線上有P、Q、R三點(diǎn)，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點(diǎn)與⊙O位置關(guān)系各是怎樣的?
考法02 直線與圓的位置關(guān)系
【典例2】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，每一小格為一個單位，圓心為A(3，0)的⊙A被y軸截得的弦長BC=8，如圖，解答下列問題：
(1)⊙A的直徑為 ；
(2)請?jiān)趫D中將⊙A先向上平移6個單位，再向左平移花8個單位得到⊙D，觀察你所畫的圖形，則⊙D的圓心D的坐標(biāo)為 ；⊙D與x軸的位置關(guān)系是 ，⊙D與y軸的位置關(guān)系是 ，⊙D與⊙A的位置關(guān)系是 ；
【即學(xué)即練1】如圖，兩個同心圓，大圓半徑為5cm，小圓的半徑為3cm，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是多少？
【典例3】如圖所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一點(diǎn)，OP=12cm,以r為半徑作⊙P．
(1)當(dāng)r=7cm時，試判斷⊙P與OB位置關(guān)系；
(2)若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件.
考法02 三角形的外接圓
【典例4】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在這個三角形的高CD上，E，F(xiàn)分別是邊AC和BC上的中點(diǎn)，試判斷四邊形CEDF的形狀，并加以證明.
【即學(xué)即練2】如圖，已知，在△ABC中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC外接圓⊙O的半徑.
考法03 圓與圓的位置關(guān)系
【典例5】如圖所示，⊙O的半徑為5，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，OP＝8．求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O相切，則⊙P的半徑為多少?(2)當(dāng)⊙P與⊙O相交時，⊙P的半徑的取值范圍為多少?
【即學(xué)即練3】已知⊙O1與⊙O2相切，⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為2cm，則O1O2的長是( )
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．如圖，∠O＝30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC＝6，以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相交 C．相切 D．均有可能
2．在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A為圓心3cm為半徑作⊙O，則BC與⊙O的位置關(guān)系是( )
A．相交B．相離C．相切D．不能確定
3．設(shè)⊙O的半徑為3，點(diǎn)O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O至少有一個公共點(diǎn)，則d應(yīng)滿足的條件是( )
A．d=3B．d≤3C．d＜3D．d＞3
4．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C為圓心作⊙C和AB相切，則⊙C的半徑長為()
A．8B．4C．9．6D．4．8
5．已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為5和3，圓心距為2，則兩圓的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)含B．外切C．相交D．內(nèi)切
6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作⊙A，那么斜邊中點(diǎn)D與⊙A的位置關(guān)系是( )
A．點(diǎn)D在⊙A外B．點(diǎn)D在⊙A上C．點(diǎn)D在⊙A內(nèi)D．無法確定
7．已知A為⊙O上的點(diǎn)，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點(diǎn)P，PA=，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是( )
A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外D．無法確定
8．如圖所示，的底邊BC的長為10cm，，，求它外接圓的直徑.
題組B 能力提升練
1．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為x的圓，使點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在圓外，則x的取值范圍是______．
2．已知RtABC的兩直角邊AC、BC分別是一元二次方程的兩根，則此Rt的外接圓的面積為 ．
3．如圖，OA=OB,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0)，OB與x軸正方向夾角為600， 請畫出過A，O，B三點(diǎn)的圓，寫出圓心的坐標(biāo)是 .
4．一個點(diǎn)P到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為________
5．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=30°，半徑為1cm的的圓心P在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么與直線CD相切時，圓心P的運(yùn)動時間為 _____．
6．如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，BC＝4cm，以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B，C，D與⊙A怎樣的位置關(guān)系．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)，⊙P與x軸相交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，又B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，b)，(﹣1，0)．
(1)當(dāng)b＝2時，求經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線解析式；
(2)當(dāng)B點(diǎn)在y軸上運(yùn)動時，直線BC與⊙P位置關(guān)系如何？并求出相應(yīng)位置b的值
2．已知是上一點(diǎn)，.
(Ⅰ)如圖①，過點(diǎn)作的切線，與的延長線交于點(diǎn)，求的大小及的長；
(Ⅱ)如圖②，為上一點(diǎn)，延長線與交于點(diǎn)，若，求的大小及的長.
3．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA＝5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C．
(1)試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在直線l上，以A為圓心，OA為半徑的圓與y軸的另一個交點(diǎn)為E．給出如下定義：若線段OE，⊙A和直線l上分別存在點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得四邊形ABCD是矩形(點(diǎn)A，B，C，D順時針排列)，則稱矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．
例如，圖中的矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．
(1)若點(diǎn)A(-1，2)，四邊形ABCD為直線x=-1的“位置矩形”，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；
(2)若點(diǎn)A(1，2)，求直線y=kx+1(k≠0)的“位置矩形”的面積；
(3)若點(diǎn)A(1，-3)，直線l的“位置矩形”面積的最大值為 ，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
5．等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．
(1)若△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，⊙O不動，則經(jīng)過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？
(2)若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，則經(jīng)過多少時間△ABC的邊與圓第一次相切？
(3)若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，同時△ABC的邊長AB、BC都以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時，點(diǎn)B運(yùn)動了多少距離？
課程標(biāo)準(zhǔn)
1. 理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系由點(diǎn)到圓心的距離決定；會畫三角形的外接圓，熟識相關(guān)概念.
2. 理解直線與圓的各種位置關(guān)系, 會用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系；
3.了解兩個圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念．理解兩圓的位
置關(guān)系與d、r1、r2等量關(guān)系的等價條件并靈活應(yīng)用它們解題．
第25課 點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系
目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點(diǎn)01 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
1．點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有
(1)點(diǎn)P在圓內(nèi)
(2)點(diǎn)P在圓上
(3)點(diǎn)P在圓外
2．三角形的外接圓
經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等.
要點(diǎn)詮釋：
(1)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；
(2)不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.
知識點(diǎn)02 直線和圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
(2) 相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．
(3) 相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．
如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么
(1)直線l和相交；
(2)直線l和相切；
(3)直線l和相離；

這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．
1．圓與圓的五種位置關(guān)系的定義
兩圓外離：兩個圓沒有公共點(diǎn)，且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.
兩圓外切：兩個圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
兩圓相交：兩個圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做這兩圓相交.
兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)外，一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
兩圓內(nèi)含：兩個圓沒有公共點(diǎn)，且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.
2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：
設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2， 兩圓心O1O2的距離為d，則：
兩圓外離 d＞r1+r2
兩圓外切d=r1+r2
兩圓相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
兩圓內(nèi)切d=r1-r2 (r1＞r2)
兩圓內(nèi)含d＜r1-r2 (r1＞r2)
(1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)個數(shù) 分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；
(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；
(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.
能力拓展
考法01 點(diǎn)與圓的為位置關(guān)系
【典例1】已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線的距離d＝OD＝3cm，在直線上有P、Q、R三點(diǎn)，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點(diǎn)與⊙O位置關(guān)系各是怎樣的?
【答案與解析】
依題意畫出圖形(如圖所示)，計算出P、Q、R三點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑比較大小．
連接PO，QO，RO．
∵ PD＝4cm，OD＝3cm，
∴ PO＝．
∴ 點(diǎn)P在⊙O上．
，
∴ 點(diǎn)Q在⊙O外．
，
∴ 點(diǎn)R在⊙O內(nèi)．
【總結(jié)升華】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計算出點(diǎn)與圓心的距離，再與圓的半徑比較大小，即可得出結(jié)論．
考法02 直線與圓的位置關(guān)系
【典例2】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，每一小格為一個單位，圓心為A(3，0)的⊙A被y軸截得的弦長BC=8，如圖，解答下列問題：
(1)⊙A的直徑為 ；
(2)請?jiān)趫D中將⊙A先向上平移6個單位，再向左平移花8個單位得到⊙D，觀察你所畫的圖形，則⊙D的圓心D的坐標(biāo)為 ；⊙D與x軸的位置關(guān)系是 ，⊙D與y軸的位置關(guān)系是 ，⊙D與⊙A的位置關(guān)系是 ；
【答案與解析】
解：(1)半徑==5，所以直徑為10.
(2)
(﹣5，6)；相離；相切；外切；
【總結(jié)升華】本題主要考查了平移作圖即圖形平移變換的知識，注意圖形的平移，變化的是位置，不變的是形狀．
【即學(xué)即練1】如圖，兩個同心圓，大圓半徑為5cm，小圓的半徑為3cm，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是多少？

【答案】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時有一個公共點(diǎn)D，
連接OA，OD，可得OD⊥AB，
∴D為AB的中點(diǎn)，即AD=BD，
在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，
∴AD=4，
∴AB=2AD=8；
當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點(diǎn)，
此時AB=10，
所以AB的取值范圍是8＜AB≤10．
故答案為：8＜AB≤10.
【典例3】如圖所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一點(diǎn)，OP=12cm,以r為半徑作⊙P．
(1)當(dāng)r=7cm時，試判斷⊙P與OB位置關(guān)系；
(2)若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件.
【思路點(diǎn)撥】(1)過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PC的長，再比較出PC與r的大小即可；(2)根據(jù)⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件.
【答案與解析】解(1)過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，
∵∠AOB=30°，
∴
∵PC＜r,
∴⊙P與OB相交；
(2)∵⊙P與OB相離，
∴0＜r＜PC,
∴0cm ＜r＜6cm.
【總結(jié)升華】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知直線和圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.
考法02 三角形的外接圓
【典例4】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，圓心O在這個三角形的高CD上，E，F(xiàn)分別是邊AC和BC上的中點(diǎn)，試判斷四邊形CEDF的形狀，并加以證明.
【思路點(diǎn)撥】由垂徑定理知，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，且AC=BC；再由中位線定義知，DE ，DF，
從而可得四邊形CEDF為菱形.
【答案與解析】
四邊形CEDF為菱形.
證明：∵AB為弦，CD為直徑所在的直線，且AB⊥CD，
∴AD=BD，∠ADC=∠CDB，
在△ADC和△BDC中，

∴△ADC≌△BDC(SAS)
∴AC=BC.
又∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，
DF=CE=，DE=CF=，
∴DE=DF=CE=CF，
∴四邊形CEDF為菱形.
【總結(jié)升華】本題主要考查外接圓與其他知識的綜合.
【即學(xué)即練2】如圖，已知，在△ABC中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC外接圓⊙O的半徑.
【答案】如圖，連接AO，并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接DB.
由三角形內(nèi)角和得，∠C=180°－70°－50°=60°.
又∵∠D=∠C=60°且∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∠DAB=30°，AB=10，
由勾股定理得，AD=
∴半徑AO= 即△ABC外接圓⊙O的半徑為
考法03 圓與圓的位置關(guān)系
【典例5】如圖所示，⊙O的半徑為5，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，OP＝8．求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O相切，則⊙P的半徑為多少?(2)當(dāng)⊙P與⊙O相交時，⊙P的半徑的取值范圍為多少?
【答案與解析】
(1)當(dāng)⊙P與⊙O外切時，則有5+r＝8，
∴ r＝3．
當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時，則有r-5＝8，
∴ r＝13．
∴ 當(dāng)r＝3或13時，⊙O與⊙P相切．
(2)當(dāng)⊙P與⊙O相交時，則有| r-5|＜8＜r+5，
解得3＜r＜13，
即當(dāng)3＜r＜13時，⊙P與⊙O相交．
【總結(jié)升華】 兩圓相切包含兩圓外切與兩圓內(nèi)切，兩圓外切和內(nèi)切的對應(yīng)關(guān)系分別為d＝R+r和d＝R-r(R＞r)，它們起著分界作用，分別是外離與相交，相交與內(nèi)含的分界點(diǎn)．可用圖表示為：
【即學(xué)即練3】已知⊙O1與⊙O2相切，⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為2cm，則O1O2的長是( )
A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm
【答案】C
提示：兩圓相切包括外切和內(nèi)切，當(dāng)⊙O1與⊙O2外切時，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；
當(dāng)⊙O1與⊙O2內(nèi)切時，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故選C.
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．如圖，∠O＝30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC＝6，以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相交 C．相切 D．均有可能
【答案】C
【解析】
試題解析：過點(diǎn)C作CD⊥AO于點(diǎn)D，
∵∠O=30°,OC=6，
∴DC=3，
∴以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是：相切.
故選：C.
2．在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A為圓心3cm為半徑作⊙O，則BC與⊙O的位置關(guān)系是( )
A．相交B．相離C．相切D．不能確定
【答案】A
【解析】
作AD⊥BC，如圖所示：
∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A為圓心3cm為半徑作⊙O，
∴BC=5，
∴AD×BC=AC×AB，
解得：AD=2.4，2.4＜3，
∴BC與⊙O的位置關(guān)系是：相交．
故選A．
3．設(shè)⊙O的半徑為3，點(diǎn)O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O至少有一個公共點(diǎn)，則d應(yīng)滿足的條件是( )
A．d=3B．d≤3C．d＜3D．d＞3
【答案】B
【解析】
因?yàn)橹本€l與⊙O至少有一個公共點(diǎn)，所以包括直線與圓有一個公共點(diǎn)和兩個公共點(diǎn)兩種情況，因此d≤r，即d≤3.
故選B．
4．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C為圓心作⊙C和AB相切，則⊙C的半徑長為()
A．8B．4C．9．6D．4．8
【答案】D
【解析】
作CD⊥AB于D,如圖所示,

因?yàn)椤螩=90°,AB=10,AC=6,
所以BC=8,
因?yàn)锳C·BC=AB·CD,
CD=,
因?yàn)椤袰與AB相切,
所以CD為⊙C的半徑,
即的半徑長為,故選D.
5．已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為5和3，圓心距為2，則兩圓的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)含B．外切C．相交D．內(nèi)切
【答案】D
【解析】
試題解析：∵和的半徑分別為5和3，圓心距為2，
則5?3=2，
∴根據(jù)圓心距與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可知和的位置關(guān)系是內(nèi)切.
故選D.
6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作⊙A，那么斜邊中點(diǎn)D與⊙A的位置關(guān)系是( )
A．點(diǎn)D在⊙A外B．點(diǎn)D在⊙A上C．點(diǎn)D在⊙A內(nèi)D．無法確定
【答案】A
【解析】
試題解析：根據(jù)勾股定理求得斜邊
則

∴點(diǎn)在圓外.
故選A.
點(diǎn)睛：要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，本題可由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離．
則時，點(diǎn)在圓外；
當(dāng)時，點(diǎn)在圓上；
當(dāng)時，點(diǎn)在圓內(nèi)．
7．已知A為⊙O上的點(diǎn)，⊙O的半徑為1，該平面上另有一點(diǎn)P，PA=，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是( )
A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外D．無法確定
【答案】D
【解析】
∵⊙O的半徑為1，
∴⊙O的直徑為2，
∵PA=，且點(diǎn)A在⊙O上，
∴點(diǎn)P的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)．
故選D．
8．如圖所示，的底邊BC的長為10cm，，，求它外接圓的直徑.
【答案】
【分析】
連接OA交BC于D，根據(jù)三線合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等邊三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根據(jù)勾股定理求出即可半徑，進(jìn)而求得直徑．
【詳解】
解：如圖所示，是的外接圓，連接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂徑定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=∠BAC=×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
設(shè)OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=(2a)2，
a=，
∴OC=2a=，
∴外接圓的直徑=2OC=(cm)．
【點(diǎn)睛】
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓和外心，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，此題有一定的難度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．
題組B 能力提升練
1．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為x的圓，使點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在圓外，則x的取值范圍是______．
【答案】0＜x＜3
【分析】
要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進(jìn)行判斷．當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．
【詳解】
解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
則BD= =5．
∵點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在圓外，
∴0＜x＜3．
故答案為0＜x＜3.
【點(diǎn)睛】
本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
2．已知RtABC的兩直角邊AC、BC分別是一元二次方程的兩根，則此Rt的外接圓的面積為 ．
【答案】．
【解析】
首先解出一元二次方程的兩根，再利用直角三角形的外接圓半徑與斜邊的關(guān)系可以解決．
解：解方程x2-5x+6=0，
得：x1=2，x2=3，
即兩直角邊AC、BC是2或3，
根據(jù)勾股定理得：
斜邊長為：，
也就是Rt△ABC的外接圓直徑為，
∴Rt△ABC的外接圓的面積為=．
故填：．
3．如圖，OA=OB,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0)，OB與x軸正方向夾角為600， 請畫出過A，O，B三點(diǎn)的圓，寫出圓心的坐標(biāo)是 .
【答案】 解：如圖；過B作BE⊥x軸于E；Rt△OBE中，OB=OA=2，∠BOE=60°；則OE=1，BE=3, 故B(1，3)；以O(shè)A、OB為邊作平行四邊形AOBD，由于OA=OB，則四邊形AOBD是菱形；所以點(diǎn)D一定在AB的垂直平分線上(菱形的對角線互相垂直平分)；連接OA；由于OA=OD，∠DAO=∠BOE=60°，則△AOD是等邊三角形；所以點(diǎn)D也在AO的垂直平分線上；故點(diǎn)D為△OAB的外心，所以D的坐標(biāo)為(-1，3)
【解析】
試題分析：以O(shè)A、OB為邊，AB為對角線作平行四邊形AOBD，由于OA=OB，那么四邊形AOBD是菱
形；由于菱形的對角線互相垂直平分，那么D點(diǎn)一定在AB的垂直平分線上；連接OD，易證得∠
DAO=60°，且AD=OA，所以點(diǎn)D也在OA的垂直平分線上；那么點(diǎn)D即為△AOB的外心，先求出B
點(diǎn)坐標(biāo)，即可根據(jù)A、O、B三點(diǎn)坐標(biāo)得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)
點(diǎn)評：此題主要考查了三角形外心坐標(biāo)的求法，能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵．
4．一個點(diǎn)P到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為________
【答案】3cm或8cm
【分析】
點(diǎn)P應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部位于外部兩種情況討論．當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離的和是直徑；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離的差是直徑，由此得解．
【詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，最近點(diǎn)的距離為5cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為11cm，則直徑是16cm，因而半徑是8cm；
當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，最近點(diǎn)的距離為5cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為11cm，則直徑是6cm，因而半徑是3cm；
故答案為 3cm或8cm
5．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=30°，半徑為1cm的的圓心P在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么與直線CD相切時，圓心P的運(yùn)動時間為 _____．
【答案】4秒或8秒
【分析】
⊙P與CD相切應(yīng)有兩種情況，一種是在射線OA上，另一種在射線OB上，設(shè)對應(yīng)的圓的圓心分別在M，N兩點(diǎn)．當(dāng)P在M點(diǎn)時，根據(jù)切線的性質(zhì)，在直角△OME中，根據(jù)30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得OM的長，進(jìn)而求得PM的長，從而求得由P到M移動的時間；根據(jù)ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移動的時間．
【詳解】
①當(dāng)⊙P在射線OA上，設(shè)⊙P于CD相切于點(diǎn)E，P移動到M時，連接ME．
∵⊙P與直線CD相切，
∴∠OEM=90°，
∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°，
∴OM=2ME=2cm，
則PM=OP-OM=6-2=4cm，
∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，
∴⊙P移動4秒時與直線CD相切；
②當(dāng)⊙P的圓移動到直線CD的右側(cè)，同理可求ON=2
則PN=6+2=8cm．
∴⊙P移動8秒時與直線CD相切．
故答案為：4秒或8秒．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時，常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，BC＝4cm，以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B，C，D與⊙A怎樣的位置關(guān)系．
【答案】點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，點(diǎn)D在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外．
【分析】
連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC的長，進(jìn)而得出點(diǎn)B，C，D與⊙A的位置關(guān)系．
【詳解】
連接AC，
∵AB＝3cm，BC＝AD＝4cm，
∴AC＝5cm，
∴點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，點(diǎn)D在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外．
【點(diǎn)睛】
本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要掌握勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)，⊙P與x軸相交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，又B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，b)，(﹣1，0)．
(1)當(dāng)b＝2時，求經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線解析式；
(2)當(dāng)B點(diǎn)在y軸上運(yùn)動時，直線BC與⊙P位置關(guān)系如何？并求出相應(yīng)位置b的值
【答案】(1)y＝2x+2；(2)當(dāng)b＝±時，直線BC與⊙P相切；當(dāng)b＞或b＜﹣時，直線BC與⊙P相離；當(dāng)﹣＜b＜時，直線BC與⊙P相交．
【解析】
【分析】
(1)由待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
(2)分直線BC與⊙O相切，相交，相離三種情況討論，可求b的取值范圍．
【詳解】
解：(1)設(shè)BC直線的解析式：y＝kx+b
由題意可得：
∴解得：k＝2，b＝2
∴BC的解析式為：y＝2x+2
(2)設(shè)直線BC在x軸上方與⊙P相切于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)D，連接PM，則PM⊥CM．
在Rt△CMP和Rt△COD中，
CP＝3，MP＝2，OC＝1，CM＝
∵∠MCP＝∠OCD
∴tan∠MCP＝tan∠OCP
∴＝，b＝OD＝×1＝
由軸對稱性可知：b＝±
∴當(dāng)b＝±時，直線BC與⊙P相切；
當(dāng)b＞或b＜﹣時，直線BC與⊙P相離；
當(dāng)﹣＜b＜時，直線BC與⊙P相交．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，待定系數(shù)法求解析式，設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，①直線l和⊙O相交?d＜r，②直線l和⊙O相切?d＝r，③直線l和⊙O相離?d＞r．關(guān)閉
2．已知是上一點(diǎn)，.
(Ⅰ)如圖①，過點(diǎn)作的切線，與的延長線交于點(diǎn)，求的大小及的長；
(Ⅱ)如圖②，為上一點(diǎn)，延長線與交于點(diǎn)，若，求的大小及的長.
【答案】(Ⅰ)，PA＝4；(Ⅱ)，
【分析】
(Ⅰ)易得△OAC是等邊三角形即∠AOC=60°，又由PC是○O的切線故PC⊥OC，即∠OCP=90°可得∠P的度數(shù)，由OC=4可得PA的長度
(Ⅱ)由(Ⅰ)知△OAC是等邊三角形，易得∠APC=45°；過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，易得AD=AO=CO，在Rt△DOC中易得CD的長，即可求解
【詳解】
解：(Ⅰ)∵AB是○O的直徑，∴OA是○O的半徑.
∵∠OAC=60°，OA=OC，∴△OAC是等邊三角形.
∴∠AOC=60°.
∵PC是○O的切線，OC為○O的半徑，
∴PC⊥OC，即∠OCP=90°∴∠P=30°.
∴PO=2CO=8.
∴PA=PO-AO=PO-CO=4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知△OAC是等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°∴∠AQC=30°.
∵AQ=CQ，∴∠ACQ=∠QAC=75°
∴∠ACQ-∠ACO=∠QAC-∠OAC=15°即∠QCO=∠QAO=15°.
∴∠APC=∠AQC+∠QAO=45°.
如圖②，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.
∵△OAC是等邊三角形，CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠DCO=30°，AD=AO=CO=2.
∵∠APC=45°，∴∠DCQ=∠APC=45°
∴PD=CD
在Rt△DOC中，OC=4，∠DCO=30°，∴OD=2，∴CD=2
∴PD=CD=2
∴AP=AD+DP=2+2
【點(diǎn)睛】
此題主要考查圓的綜合應(yīng)用
3．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA＝5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C．
(1)試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．
【答案】(1)AB＝AC(2)≤r

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