知識精講
知識點01 點和圓的位置關(guān)系
1．點和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有
(1)點P在圓內(nèi)
(2)點P在圓上
(3)點P在圓外
2．三角形的外接圓
經(jīng)過三角形的 的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形 的交點，叫做三角形的 . 三角形的外心到三角形 的距離相等.
【注意】
(1)點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；
(2) 的三個點確定一個圓.
知識點02 直線和圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有 時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的 ．
(2) 相切：直線和圓有 時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的 ，唯一的公共點叫做 ．
(3) 相離：直線和圓 時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．
如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么
(1)直線l和相交 ；
(2)直線l和相切 ；
(3)直線l和相離 ；
這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．
知識點03 圓和圓的位置關(guān)系
1．圓與圓的五種位置關(guān)系的定義
兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且 時，叫做這兩個圓外離.
兩圓外切：兩個圓 ，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的 時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.
兩圓相交：兩個圓有 時，叫做這兩圓相交.
兩圓內(nèi)切：兩個圓 ，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的 時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.
兩圓內(nèi)含：兩個圓 ，且一個圓上的點都在另一個圓的 時，叫做這兩個圓內(nèi)含.
2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：
設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2， 兩圓心O1O2的距離為d，則：
兩圓外離
兩圓外切
兩圓相交
兩圓內(nèi)切
兩圓內(nèi)含
【注意】
(1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數(shù) 分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；
(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；
(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.
能力拓展
考法01 點與圓的位置關(guān)系
【典例1】已知⊙O的半徑為2cm，點P到圓心O的距離為4cm，則點P和⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定
【即學(xué)即練】已知⊙O的半徑是4，OP＝7，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）．
A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定
【典例2】已知的半徑為3cm，點在內(nèi)，則不可能等于（ ）
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．3cm
【即學(xué)即練】已知的半徑為為外一點，則的長可能是（ ）．
A．B．C．D．
考法02 直線與圓的位置關(guān)系
【典例3】已知⊙O的半徑是7cm，點O到同一平面內(nèi)直線l的距離為6.9cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( )
A．相交B．相切C．相離D．無法判斷
【即學(xué)即練】已知一條直線與圓有公共點，則這條直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．內(nèi)交D．相切或相交
【典例4】已知圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【即學(xué)即練】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可能為（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
考法03 三角形的外接圓
【典例5】如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（ ）
A．B．C．D．
【典例6】如圖，△ABC中，sinA=，BC=6，則△ABC外接圓的直徑為（ ）
A．8B．10C．4D．5
【即學(xué)即練】如圖，△ABC的外接圓半徑為8，∠ACB＝60°，則AB的長為（ ）
A．8B．4C．6D．4
考法04 圓與圓的位置關(guān)系
【典例7】如果兩圓的直徑分別為和，圓心距為，那么這兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)含B．內(nèi)切C．相交D．外切
【即學(xué)即練】中，已知，以點A、B、C為圓心的圓分別記作圓A、圓B、圓C，這三個圓的半徑長都是2，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．圓A與圓C相交B．圓B與圓C外切C．圓A與圓B外切D．圓A與圓B外離．
【典例8】如果與內(nèi)含，，的半徑是3，那么的半徑可以是（）
A．5B．6C．7D．8
【即學(xué)即練】已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1直徑為9cm，⊙O2直徑為4cm，則O1O2長為（ ）
A．5cm或13cmB．2.5cm
C．6.5cmD．2.5cm或6.5cm
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．已知的半徑為3cm，點A到圓心O的距離為2cm，那么點A與的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在內(nèi)B．點A在上C．點A在外D．不能確定
2．已知⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，則OP的長可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．若圓O的半徑為4，，則符合題意的圖形可能是（ ）
A．B．C．D．
4．半徑為5的四個圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個圓的圓心到直線l的距離為4，則這個圓可以是（ ）
A．⊙O1B．⊙O2C．⊙O3D．⊙O4
5．平面內(nèi)，⊙O的半徑為3，若點P在⊙O外，則OP的長可能為（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是（ ）
A．8或6B．10或8C．10D．8
7．⊙O的直徑長為10，OA為8，則點A與⊙O的位置關(guān)系為 _____．
8．⊙O的半徑為3cm，如果圓心O到直線l的距離為d，且d=5cm，那么⊙O和直線l的位置關(guān)系是____________．
9．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內(nèi)，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是______．
10．在中，，，，
（1）斜邊上的高為________；
（2）以點C為圓心，r為半徑作⊙C
①若直線與⊙C沒有公共點，直接寫出r的取值范圍；
②若邊與⊙C有兩個公共點，直接寫出r的取值范圍；
③若邊與⊙C只有一個公共點，直接寫出r的取值范圍．
題組B 能力提升練
1．已知：在中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B為圓心，BC長為半徑的B與AC邊的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不能確定
2．已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．無法確定
3．P、Q是直線l上的兩個不同的點，且OP＝5，⊙O的半徑為5，下列敘述正確的是（ ）
A．點P在⊙O外
B．點Q在⊙O外
C．直線l與⊙O一定相切
D．若OQ＝5，則直線l與⊙O相交
4．直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．不能確定
5．如圖，OA是⊙О的一條半徑，點P是OA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PB，點B為切點． 若PA=1，PB=2，則半徑OA的長為（ ）
A．B．C．D．3
6．實驗學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2．已知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（ ）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
7．若兩個圓的半徑分別為3和4，圓心之間的距離是5，則這兩個圓的位置關(guān)系是______．
8．如圖，直線AB，CD相交于點O，，圓P的半徑為1cm，動點P在直線AB上從點O左側(cè)且距離O點6cm處，以1cm/s的速度向右運動，當(dāng)圓P與直線CD相切時，圓心P的運動時間為 _____s．
9．在中，，O是上的一點，，⊙的半徑為r，當(dāng)r與m滿足怎樣的關(guān)系時，
（1）與⊙相交？
（2）與⊙相切？
（3）與⊙相離？
10．如圖所示，⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，過點A的直線分別交兩圓于點C，D，點M是CD的中點，直線BM分別交兩圓于點E，F(xiàn)，連接CE．
(1)求證CE∥DF；
(2)求證ME＝MF．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．點P到⊙O的最近點的距離為2cm，最遠(yuǎn)點的距離為7cm，則⊙O的半徑是（ ）
A．5cm或9cmB．2.5cm
C．4.5cmD．2.5cm或4.5cm
2．已知⊙A 與⊙B 外切，⊙C 與 ⊙A、⊙B 都內(nèi)切，且 AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C 的半徑長是（ ）
A．12B．11C．10D．9
3．已知點O是△ABC的外心，若∠BOC=70°,則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或110°
4．已知圓、圓的半徑不相等，圓的半徑長為5，若圓上的點A滿足，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相離C．相交或內(nèi)含D．相切或內(nèi)含
5．圓的半徑是7cm，如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，那么該直線和圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．相交或相切
6．如圖，已知直線y＝x－3，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接PA、PB，則△PAB面積的最小值是（ ）
A．6B．C．5D．
7．在中，是它的外心，cm，到的距離是5cm，則的外接圓的半徑為__________cm．
8．若的半徑為，圓心O為坐標(biāo)系的原點，點P的坐標(biāo)是，點P在______．
9．如圖，⊙O的直徑，，，是線段的中點．
（1）試判斷點與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）過點作，垂足為點，求證：直線是⊙O的切線．
10．如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．
(1)求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；
(2)在扇形AOB的內(nèi)部，⊙O1與OA，OB都相切，且與弧只有一個交點C，此時我們稱⊙O1為扇形AOB的內(nèi)切圓，試求⊙O1的面積S1．
課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）理解點與圓的位置關(guān)系由點到圓心的距離決定；會畫三角形的外接圓，熟識相關(guān)概念.
（2）理解直線與圓的各種位置關(guān)系, 會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系；
（3）了解兩個圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念．理解兩圓的位
置關(guān)系與d、r1、r2等量關(guān)系的等價條件并靈活應(yīng)用它們解題．
第22課 點、直線、圓與圓的位置關(guān)系
目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點01 點和圓的位置關(guān)系
1．點和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有
(1)點P在圓內(nèi)
(2)點P在圓上
(3)點P在圓外
2．三角形的外接圓
經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.
【注意】
(1)點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；
(2)不在同一直線上的三個點確定一個圓.
知識點02 直線和圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．
如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么
(1)直線l和相交；
(2)直線l和相切；
(3)直線l和相離；
這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．
知識點03 圓和圓的位置關(guān)系
1．圓與圓的五種位置關(guān)系的定義
兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.
兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.
兩圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交.
兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.
兩圓內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.
2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：
設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2， 兩圓心O1O2的距離為d，則：
兩圓外離 d＞r1+r2
兩圓外切d=r1+r2
兩圓相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)
兩圓內(nèi)切d=r1-r2 (r1＞r2)
兩圓內(nèi)含d＜r1-r2 (r1＞r2)
【注意】
(1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數(shù) 分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；
(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；
(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.
能力拓展
考法01 點與圓的位置關(guān)系
【典例1】已知⊙O的半徑為2cm，點P到圓心O的距離為4cm，則點P和⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定
【答案】C
【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，點P與圓心O的距離為4cm，2cm＜4cm，
∴點P在圓外．
故選：C．
【即學(xué)即練】已知⊙O的半徑是4，OP＝7，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）．
A．點P在圓內(nèi)B．點P在圓上C．點P在圓外D．不能確定
【答案】C
【詳解】解：∵OP＝7，r＝4，
∴OP＞r，
則點P在⊙O外．
故選：C．
【典例2】已知的半徑為3cm，點在內(nèi)，則不可能等于（ ）
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．3cm
【答案】D
【詳解】解：的半徑為3cm，點在內(nèi)，
故選D
【即學(xué)即練】已知的半徑為為外一點，則的長可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)點P是⊙O外一點時，OP＞5cm， B、C、D均不符．
故選：A．
考法02 直線與圓的位置關(guān)系
【典例3】已知⊙O的半徑是7cm，點O到同一平面內(nèi)直線l的距離為6.9cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( )
A．相交B．相切C．相離D．無法判斷
【答案】A
【詳解】設(shè)圓的半徑為r，點O到直線l的距離為d，
∵d=6.9cm，r=7cm，
∴d4或者3?r>4
解得r>7或r

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