【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假提升訓(xùn)練專題07 排列組合（十五大考點(diǎn)）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：排列的概念
考點(diǎn)二：簡單的排列問題
考點(diǎn)三：排列數(shù)公式的應(yīng)用
考點(diǎn)四：相鄰問題
考點(diǎn)五：不相鄰問題
考點(diǎn)六：定序問題
考點(diǎn)七：間接法
考點(diǎn)八：組合概念的理解
考點(diǎn)九：簡單的組合問題
考點(diǎn)十：組合數(shù)公式的應(yīng)用
考點(diǎn)十一：多面手問題
考點(diǎn)十二：分組、分配問題
考點(diǎn)十三：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題
考點(diǎn)十四：隔板法
考點(diǎn)十五：分堆問題
知識(shí)點(diǎn)一、排列的概念
1、排列的定義：
一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m（）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列．
（3）如何判斷一個(gè)具體問題是不是排列問題，就要看從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，再安排這m個(gè)元素時(shí)是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．
知識(shí)點(diǎn)二：排列數(shù)
1、排列數(shù)的定義
從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指“從個(gè)不同的元素中，任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一個(gè)排列（也就是具體的一件事）；
2、排列數(shù)公式
，其中，且．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)三：階乘表示式
1、階乘的概念：
把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即!．
規(guī)定：．
2、排列數(shù)公式的階乘式：
所以．
知識(shí)點(diǎn)四：排列的常見類型與處理方法
1、相鄰元素捆綁法
2、相離問題插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
知識(shí)點(diǎn)五：組合
1、定義：
一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關(guān)．
排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它們的根本區(qū)別．
（2）如果兩個(gè)組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．因此組合問題的本質(zhì)是分組問題，它主要涉及元素被取到或末被取到．知識(shí)點(diǎn)六：組合數(shù)及其公式
1、組合數(shù)的定義：
從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．記作．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念：
一個(gè)組合是指“從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．
2、組合數(shù)公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
上面第一個(gè)公式一般用于計(jì)算，但當(dāng)數(shù)值m、n較大時(shí)，利用第二個(gè)式子計(jì)算組合數(shù)較為方便，在對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用第二個(gè)公式．
知識(shí)點(diǎn)七：組合數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1：（，且）
性質(zhì)2：（，且）
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
規(guī)定：．
組合問題常見題型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合考點(diǎn)：
“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?br>（2）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的考點(diǎn)：
解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．
（3）分堆問題
①平均分堆，其分法數(shù)為：．
②分堆但不平均，其分法數(shù)為．
（4）定序問題．
對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列．
（5）相同元素分組問題用“隔板法”：
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：排列的概念
例1．（多選題）（2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，屬于排列問題的是（）
A．從六名學(xué)生中選三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有多少種選法
B．有十二名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求三人一組，共有多少種分組方案
C．從，，，中任選兩個(gè)數(shù)做指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪
D．從，，，中任取兩個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)
例2．（多選題）（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題中不屬于排列問題的是（）
A．從個(gè)人中選出人去勞動(dòng)
B．從個(gè)人中選出人去參加數(shù)學(xué)競賽
C．從班級(jí)內(nèi)名男生中選出人組成一個(gè)籃球隊(duì)
D．從數(shù)字???中任取個(gè)不同的數(shù)做中的底數(shù)與真數(shù)
例3．（多選題）（2024·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列問題屬于排列問題的是（）
A．從6人中選2人分別去游泳和跳繩
B．從10人中選2人去游泳
C．從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)
D．從數(shù)字5，6，7，8中任取三個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
變式1．（多選題）（2024·高二課前預(yù)習(xí)）(多選)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做以下數(shù)學(xué)運(yùn)算，并分別計(jì)算它們的結(jié)果．在這些問題中，相應(yīng)運(yùn)算可以看作排列問題的有（）
A．加法B．減法C．乘法D．除法
考點(diǎn)二：簡單的排列問題
例4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從a、b、c、d、e這五個(gè)不同元素中任意取出兩個(gè)元素的所有排列．
例5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）請列出下列排列：
(1)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有排列；
(2)從7個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有排列．
例6．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）寫出下列問題的所有排列：
(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？
(2)由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.
變式2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3面小旗（3面小旗都要用）豎掛在繩上表示信號(hào)，不同的順序表示不同的信號(hào)，試寫出所有的信號(hào)．
考點(diǎn)三：排列數(shù)公式的應(yīng)用
例7．（2024·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（）
A．B．
C．D．
例8．（2024·北京大興·高二統(tǒng)考）若，則（）
A．B．
C．D．
例9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）證明，并利用這一結(jié)果化簡：
(1)；
(2)．
變式3．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）求證：
變式4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）解不等式：
考點(diǎn)四：相鄰問題
例10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）
A．1120B．7200C．8640D．14400
例11．（2024·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊(duì)參賽．現(xiàn)有六個(gè)參賽隊(duì)伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)必須相鄰，同時(shí)南昌拌粉隊(duì)與溫江烤肉隊(duì)不能相鄰，那么不同的站法共有（）種．
A．144B．72C．36D．24
例12．（2024·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）市內(nèi)某公共汽車站有6個(gè)候車位（成一排），現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候車，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是（）
A．48B．54C．72D．84
變式5．（2024·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校校考）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（）
A．48B．96C．144D．288
考點(diǎn)五：不相鄰問題
例13．（2024·山東德州·高二校考期末）6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）
A．14B．120C．72D．24
例14．（2024·海南·高二?？迹┉傊兄袑W(xué)一條校道路邊有7盞路燈，為了節(jié)約用電，學(xué)校決定每天晩上點(diǎn)亮其中的3盞路燈，但要求點(diǎn)亮的3盞路燈都不相鄰，不同的點(diǎn)亮方式有（）種
A．5B．10C．15D．20
例15．（2024·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某選拔性考試需要考查4個(gè)學(xué)科語文、數(shù)學(xué)、物理、政治，已知物理考試與數(shù)學(xué)考試不能相鄰，則這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序共有（）
A．種B．種C．種D．種
變式6．（2024·湖南永州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）5人排成一行，其中甲、乙兩人之間至少有一人，則不同的排法種數(shù)是（）
A．48B．72C．96D．144
考點(diǎn)六：定序問題
例16．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）氨基酸的排列順序是決定蛋白質(zhì)多樣性的原因之一，某肽鏈由7種不同的氨基酸構(gòu)成，若只改變其中3種氨基酸的位置，其他4種不變，則不同的改變方法的種數(shù)為（）
A．210B．126
C．70D．35
例17．（2024·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考）某次數(shù)學(xué)競賽獲獎(jiǎng)的6名同學(xué)上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，若甲、乙、丙三人上臺(tái)的先后順序已確定，則不同的上臺(tái)順序種數(shù)為（）．
A．20B．120C．360D．720
例18．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）由1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列{an}，則a72等于（）
A．1 543B．2 543
C．3 542D．4 532
考點(diǎn)七：間接法
例19．（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四節(jié)課，計(jì)劃安排語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有（）
A．24種B．18種C．12種D．6種
例20．（2024·全國·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）某人根據(jù)自己愛好，希望從中選2個(gè)不同字母，從中選3個(gè)不同數(shù)字編擬車牌號(hào)，要求前3位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字2不能排在首位，字母和數(shù)字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號(hào)有（）
A．198個(gè)B．180個(gè)C．216個(gè)D．234個(gè)
例21．（2024·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)高二階段練習(xí)）小李和父母、爺爺奶奶一起排隊(duì)去做核酸，5人排成一列（他們之間沒有其他人）.若小李的父母至少有一人與他相鄰，則不同排法的總數(shù)為（）
A．84B．78C．108D．96
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙?問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有（）
A．60B．66C．72D．80
考點(diǎn)八：組合概念的理解
例22．（多選題）（2024·高二單元測試）下列是組合問題的是（）
A．平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？
B．10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽（每兩隊(duì)比賽一次），共進(jìn)行多少場次？
C．從10個(gè)人中選出3個(gè)為代表去開會(huì)，有多少種選法？
D．從10個(gè)人中選出3個(gè)為不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？
例23．（多選題）（2024·高二單元測試）下列問題中是組合問題的有（）.
A．某鐵路線上有4個(gè)車站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票
B．從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)
C．3個(gè)人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法
D．把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法
例24．（多選題）（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是組合問題的是（）
A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每兩人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2015個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段
C．集合含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)
D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法
變式8．（多選題）（2024·全國·高二專題練習(xí)）下面問題中，是組合問題的是（）
A．由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
B．從40人中選5人組成籃球隊(duì)
C．從100人中選2人抽樣調(diào)查
D．從1，2，3，4，5中選5個(gè)數(shù)組成集合
考點(diǎn)九：簡單的組合問題
例25．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）寫出：
(1)從a，b，c，d，e五個(gè)元素中取兩個(gè)元素的所有組合；
(2)從a，b，c，d，e五個(gè)元素中取三個(gè)元素的所有組合．
例26．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)有A，B，C，D四個(gè)不同的點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線.
（1）試寫出以其中任意兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段.
（2）試寫出以其中任意兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.
（3）試寫出以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形.
例27．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）用列舉法寫出下列組合：
(1)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有組合；
(2)從5個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有組合．
考點(diǎn)十：組合數(shù)公式的應(yīng)用
例28．（2024·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）求值:；
（2）解不等式:.
例29．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求證：.
例30．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）（1）解關(guān)于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
變式9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于正整數(shù)x的方程：
(1)；
(2)．
變式10．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）利用組合數(shù)的性質(zhì)化簡：．
考點(diǎn)十一：多面手問題
例31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）種不同的選法
A．225B．185C．145D．110
例32．（2024·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______
例33．（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某出版社的7名工人中，有3人只會(huì)排版，2人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．
考點(diǎn)十二：分組、分配問題
例34．（2024·全國·模擬預(yù)測）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日舉行，競賽項(xiàng)目設(shè)置為40個(gè)大項(xiàng)，61個(gè)分項(xiàng)，481個(gè)小項(xiàng)．甲、乙、丙、丁、戊、己6位記者為亞運(yùn)會(huì)的3個(gè)項(xiàng)目寫新聞稿，每個(gè)項(xiàng)目至少有1人寫，且每個(gè)人只寫1份稿件，甲、乙兩位記者不能寫一樣的項(xiàng)目，則共有種分配方法．
例35．（2024·上?！じ叨虾Ｊ写笸袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)為迎接即將到來的元宵節(jié)籌備了3款燈謎，現(xiàn)準(zhǔn)備將其印制在5個(gè)燈籠上，若每個(gè)燈謎都必須印制，且每個(gè)燈籠僅印制一款燈謎，則不同的審核分配方案有種.
例36．（2024·江蘇南京·高二金陵中學(xué)?？计谀┠硨W(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的4所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派1名教師，則不同的分配方法種數(shù)為 .
變式11．（2024·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為了加強(qiáng)新型冠狀病毒疫情防控，某社區(qū)派遣甲?乙?丙?丁?戊五名志愿者參加三個(gè)小區(qū)的防疫工作，每人只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少去1人，且甲?乙兩人約定去同一個(gè)小區(qū)，則不同的派遣方案共有（用數(shù)字作答）.
變式12．（2024·吉林延邊·高二延邊二中?？迹┯?名學(xué)生志愿者到3個(gè)小區(qū)參加疫情防控常態(tài)化宣傳活動(dòng)，每名學(xué)生只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名學(xué)生，則不同的安排方法為 .
考點(diǎn)十三：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題
例37．（2024·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎叫蜛BCD的中心為點(diǎn)O，以A、B、C、D、O中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有個(gè).
例38．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的四棱錐中，頂點(diǎn)為P，從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，則不同的取法種數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
例39．（2024·山東青島·高二青島市即墨區(qū)第一中學(xué)統(tǒng)考）以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐的個(gè)數(shù)是．
變式13．（2024·廣東深圳·高二深圳市寶安第一外國語學(xué)校?？迹┰谌鐖D所示的三角形邊上的9個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，可構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)是 .
考點(diǎn)十四：隔板法
例40．（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少個(gè)名額，則有（）種分配方案.
A．B．C．D．
例41．（2024·江蘇蘇州·高二吳縣中學(xué)?？迹W(xué)校有6個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則有（）種分配方案．
A．135B．10C．75D．120
例42．（2024·山西大同·高二統(tǒng)考）袋中有十個(gè)完全相同的乒乓球，四個(gè)小朋友去取球，每個(gè)小朋友至少取一個(gè)球，所有的球都被取完，最后四個(gè)小朋友手中乒乓球個(gè)數(shù)的情況一共有（）
A．84種B．504種C．729種D．39種
變式14．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）將9個(gè)志愿者名額全部分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（）
A．16B．18C．27D．28
考點(diǎn)十五：分堆問題
例43．（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）現(xiàn)有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，作如下分配方案.
(1)平均分成5個(gè)組，每組2人，有多少種分配方案？
(2)分成7個(gè)組，每組最少1人，有多少種分配方案？
例44．（2024·山西呂梁·高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考）已知有9本不同的書．
(1)分成三堆，每堆3本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（用數(shù)字作答）
例45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
變式15．（2024·高二單元測試）已知有6本不同的書.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
（3）分給甲?乙?丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）“天宮課堂”第四課于2023年9月21日15時(shí)45分開課，神舟十六號(hào)航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮向全國青少年進(jìn)行太空科普授課，這次授課過程主要有以下6個(gè)項(xiàng)目：夢天實(shí)驗(yàn)艙介紹、球形火焰實(shí)驗(yàn)、奇妙“乒乓球”實(shí)驗(yàn)、動(dòng)量守恒實(shí)驗(yàn)、又見陀螺實(shí)驗(yàn)、天地互動(dòng)環(huán)節(jié)．某校科技小組6人觀看了這次“天宮課堂”后，各自選出1個(gè)自己最喜歡的項(xiàng)目談?wù)勛约旱母邢?，則球形火焰實(shí)驗(yàn)被2人選中，其他項(xiàng)目至多被1人選中的所有情況有（）
A．428種B．828種C．1200種D．1800種
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）某冰淇淋店至少需要準(zhǔn)備種不同口味的冰淇淋，才能滿足其廣告所稱“任選兩種不同口味的冰淇淋的組合數(shù)超過100”．若來店里的顧客從這m種冰淇淋中任選一種或兩種不同口味的冰淇淋，則不同的選擇方法有（）
A．110種B．115種C．120種D．125種
3．（2024·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）用2個(gè)0，2個(gè)1和1個(gè)2組成一個(gè)五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（）
A．8個(gè)B．12個(gè)C．18個(gè)D．24個(gè)
4．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃?名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）
A．24B．48C．72D．120
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）一支由12人組成的登山隊(duì)準(zhǔn)備向一座海拔5888米的山峰攀登，這12人中姓趙、錢、孫、李、周、吳的各有2人．現(xiàn)準(zhǔn)備從這12人中隨機(jī)挑選4人組成先遣隊(duì)，如果這4人中恰有2人同姓，則不同的挑選方法的種數(shù)為（）
A．480B．270C．240D．60
6．（2024·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校?？计谀?023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲?乙?丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）
A．720B．960C．1120D．1440
7．（2024·河南·模擬預(yù)測）某地突發(fā)洪水，當(dāng)?shù)卣M織抗洪救災(zāi)活動(dòng)，現(xiàn)有7輛相同的車派往3個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少派往一輛車，則不同派法的種數(shù)為（）
A．20B．15C．12D．10
8．（2024·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）
A．1120B．7200C．8640D．14400
二、多選題
9．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（）
A．若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法
B．若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法
C．若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法
D．若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法
10．（2024·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊(duì)訓(xùn)練，則（）
A．甲乙不相鄰的不同排法有種
B．甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有種
C．甲乙不排在兩端的不同排法有種
D．甲在乙左側(cè)（可以不相鄰）的不同排法有種
11．（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列等式正確的是（）
A．B．
C．D．
12．（2024·江西新余·高二校考階段練習(xí)）現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列，則（）
A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種
B．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種
C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種
D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種
三、填空題
13．（2024·上海·高二校考階段練習(xí)）若一個(gè)五位數(shù)恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增），則稱其為“古典數(shù)字”.由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，古典數(shù)字有個(gè)
14．（2024·江西九江·高三校考階段練習(xí)）由1，2，3，4，5，6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)1，3，5兩兩不相鄰，但1和2必須相鄰，這樣的六位數(shù)共有個(gè)．
15．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┤簦瑒t實(shí)數(shù) .
16．（2024·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年10月11日，習(xí)近平總書記在江西省上饒市考察，他來到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門自然村了解推進(jìn)鄉(xiāng)村振興等情況．其中婺源“曬秋”展開的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景．當(dāng)?shù)匕傩詹粌H要晾曬農(nóng)產(chǎn)品使其得到更好的保存和售賣，更要考慮曬出獨(dú)一無二的“中國最美的符號(hào)”．當(dāng)?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅色辣椒”“黃色皇菊”四種農(nóng)產(chǎn)品全部曬入如圖所示的5個(gè)小區(qū)域中，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能曬一種農(nóng)產(chǎn)品，且相鄰區(qū)域的農(nóng)產(chǎn)品不能相同，則不同的晾曬方案種數(shù)為．（用數(shù)字作答）
四、解答題
17．（2024·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
18．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？
(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？
(4)男、女相間的站法有多少種？
(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
19．（2024·陜西漢中·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）從等7人中選5人排成一排.（以下問題的結(jié)果均用數(shù)字作答）
(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？
(2)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？
20．（2024·遼寧沈陽·高二校考階段練習(xí)）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求排列的方法總數(shù)：
(1)選其中4人排成一排；
(2)全體排成一排，男生必須站在一起；
(3)全體排成一排，女生互不相鄰.
21．（2024·山西晉中·高二校考階段練習(xí)）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字：
(1)六位奇數(shù)；
(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；
(3)比400000大的正整數(shù).
22．（2024·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）現(xiàn)有4男2女共6個(gè)人排成一排照相，其中兩個(gè)女生相鄰的排法種數(shù)為多少？
（2）8個(gè)體育生名額，分配給5個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，有多少種分法？
（3）要排一份有4個(gè)不同的朗誦節(jié)目和3個(gè)不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個(gè)說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？
（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，要求每隊(duì)必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊(duì)由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）

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