【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假鞏固提升訓(xùn)練復(fù)習(xí)專(zhuān)題03+橢圓13種常見(jiàn)考法歸類(lèi)-練習(xí).zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
考點(diǎn)二、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
考點(diǎn)三、橢圓的定義及其應(yīng)用
(一)根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)的范圍
(二)橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
考點(diǎn)四、求橢圓的離心率
(一)求橢圓的離心率
(二)求橢圓的離心率的取值范圍
(三)由橢圓的離心率求參數(shù)(范圍)
考點(diǎn)五、與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
考點(diǎn)六、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
考點(diǎn)七、弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題
(一)弦長(zhǎng)問(wèn)題
(二)中點(diǎn)弦問(wèn)題
考點(diǎn)八、求橢圓的參數(shù)或范圍問(wèn)題
考點(diǎn)九、求橢圓的最值問(wèn)題
考點(diǎn)十、橢圓的定點(diǎn)、定值問(wèn)題
考點(diǎn)十一、橢圓中的向量問(wèn)題
考點(diǎn)十二、橢圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
考點(diǎn)十三、與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)1 橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
注：在橢圓的定義中必須要注意以下兩個(gè)問(wèn)題
(1)定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．
(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓．
①若，M的軌跡為線(xiàn)段；
②若，M的軌跡無(wú)圖形
知識(shí)點(diǎn)2 橢圓的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)3 橢圓的焦點(diǎn)三角形
橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．
以橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)橢圓的定義：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面積公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值，為bc.
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導(dǎo)過(guò)程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形內(nèi)切圓的半徑）
(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．
(5)在橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，最大.
知識(shí)點(diǎn)4 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
知識(shí)點(diǎn)5 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
直線(xiàn)y＝kx＋m與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線(xiàn)與橢圓相交；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有一解，直線(xiàn)與橢圓相切；
當(dāng)Δ|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.
(2)直線(xiàn)過(guò)左焦點(diǎn)與橢圓相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為4a，即（直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)亦同）.
（3）涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF1|·|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無(wú)需單獨(dú)求解．
3、解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的三種方法
(1)直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿(mǎn)足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)為f(x，y)＝0.
(2)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀(guān)察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．
(3)相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法．
4、利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路
利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：
(1)確定焦點(diǎn)位置；
(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；
(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)．列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
5、點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
6、求橢圓離心率及范圍的兩種方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．
7、判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
通過(guò)解直線(xiàn)方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則Δ>0?直線(xiàn)與橢圓相交；Δ＝0?直線(xiàn)與橢圓相切；Δb>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，變形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
9、求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題的方法
(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理．
(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．
(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．
10、解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的思路(數(shù)學(xué)抽象)
(1)通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問(wèn)題中涉及的橢圓，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解．
(3)用解得的結(jié)果說(shuō)明原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題．
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B．若，則該橢圓的方程為（）
A．B．C．D．
2.若橢圓過(guò)點(diǎn)，則橢圓方程為（）
A．B．
C．D．
3.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．C．D．
4.過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（）
A．B．
C．D．
5.已知橢圓C:,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．C．D．
6.已知，是橢圓的焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且，則橢圓的方程為（）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)二、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
7.若點(diǎn)在橢圓上，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．點(diǎn)不在橢圓上B．點(diǎn)不在橢圓上
C．點(diǎn)在橢圓上D．無(wú)法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系
8.若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（）
A． B．
C． D．
9.已知直線(xiàn)與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.
考點(diǎn)三、橢圓的定義及其應(yīng)用
根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)的范圍
10.“”是“方程表示橢圓”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
11.設(shè)表示的是橢圓；，則p是成立的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
12.已知方程表示橢圓，則的取值范圍為（）
A．且B．且
C． D．
13.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．或D．或
14.若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（）
A．B．橢圓的焦距為
C．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則D．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則
橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
15.已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)為和，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則（）
A．8B．12C．16D．64
16.已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長(zhǎng)是（）
A．12B．C．16D．10
17.已知橢圓的方程為，若點(diǎn)在第二象限，且，則的面積（）．
A．B．C．D．
18.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（）
A．9B．3C．4D．8
19.設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)面積最大時(shí)，的值等于（）
A．B．C．0D．1
20.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓的半徑（）
A．1B．C．D．2
考點(diǎn)四、求橢圓的離心率
求橢圓的離心率
21.設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為_(kāi)______.
22.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，，，則C的離心率為（）.
A．B．C．D．
23.已知橢圓的左?在頂點(diǎn)分別為，且以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)相切，則的離心率為（）
A．B．C．D．
24.已知橢圓的下焦點(diǎn)，M點(diǎn)在橢圓C上，線(xiàn)段MF與圓相切于點(diǎn)N，且，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．D．
25.已知橢圓（）的一條弦所在的直線(xiàn)方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（）
A．B．C．D．
求橢圓的離心率的取值范圍
26.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線(xiàn)交橢圓E于A(yíng)，B兩點(diǎn).若，點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
27.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
28.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
由橢圓的離心率求參數(shù)(范圍)
29.已知橢圓的離心率為，則（）
A．B．C．D．
30.設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
31.設(shè)橢圓的離心率為，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
32.設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)五、與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
33.若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A．B．C．D．
34.在中，已知，若，且滿(mǎn)足，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）
A．B．
C．D．
35.已知圓，圓，動(dòng)圓M與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
36.已知為圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
37.已知圓：，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)段（在軸上），在直線(xiàn)上且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)六、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
38.已知直線(xiàn)，橢圓，則直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定
39.已知直線(xiàn)，橢圓．若直線(xiàn)l與橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
40.直線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）．
A．1B．2C．3D．4
考點(diǎn)七、弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題
弦長(zhǎng)問(wèn)題
41.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、兩點(diǎn)，則等于（）
A．B．C．D．
42.已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)________．
43.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線(xiàn)與橢圓C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．
44.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.
中點(diǎn)弦問(wèn)題
45.橢圓與直線(xiàn)相交的弦被M點(diǎn)平分，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
46.若橢圓的弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的斜率為（）
A．B．C．D．
47.已知橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____.
48.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B陃點(diǎn)，若弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）
A．B．
C．D．
49.橢圓mx2＋ny2＝1與直線(xiàn)y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線(xiàn)段MN中點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，則等于（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)八、求橢圓的參數(shù)或范圍問(wèn)題
50.設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)m的一個(gè)取值可以為（）
A．0B．1C．2D．3
51.設(shè)分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
52.已知橢圓，若橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
考點(diǎn)九、求橢圓的最值問(wèn)題
53.設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最大值是（）
A．B．1C．3D．9
54.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的取值范圍．
55.若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（）
A．B．C．D．
56.已知橢圓，直線(xiàn)，則橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最近距離為_(kāi)_____.
考點(diǎn)十、橢圓的定點(diǎn)、定值問(wèn)題
57.已知橢圓離心率為，焦距為.
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)分別作斜率和為的兩條直線(xiàn)與，設(shè)交于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、.求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).
58.已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，橢圓C離心率為，其左右焦點(diǎn)分別為，，上下頂點(diǎn)為，.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)Q是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；
(3)若M，N為橢圓C上相異兩點(diǎn)（均不同于點(diǎn)），，的斜率分別是，，若.求證：直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
59.已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)．右焦點(diǎn)為F，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)過(guò)A與x軸垂直的直線(xiàn)為l，縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F作直線(xiàn)PA的垂線(xiàn)交l于點(diǎn)Q，證明：直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)．
60.己知橢圓，過(guò)點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)若不過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試探究：l是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
61.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線(xiàn)AP與AQ的斜率之和為定值.
62.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．
63.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn) .證明：以線(xiàn)段為直徑作圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值.
考點(diǎn)十一、橢圓中的向量問(wèn)題
64.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率．
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求的方程．
65.已知，是橢圓M：的左右焦點(diǎn)．
(1)若C是橢圓上一點(diǎn)，求的最小值；
(2)直線(xiàn)與橢圓M交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓M上存在點(diǎn)P使得四邊形OAPB為平行四邊形，求m的值．
考點(diǎn)十二、橢圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
66.某海域有兩個(gè)島嶼，B島在A(yíng)島正東40海里處，經(jīng)多年觀(guān)察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚(yú)群洄游的路線(xiàn)像一個(gè)橢圓，其焦點(diǎn)恰好是兩島．曾有漁船在距A島正西20海里發(fā)現(xiàn)過(guò)魚(yú)群．某日，研究人員在兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)（傳播速度相同），兩島收到魚(yú)群反射信號(hào)的時(shí)間比為．你能否確定魚(yú)群此時(shí)分別與兩島的距離？
67.如圖是一個(gè)橢圓形拱橋，當(dāng)水面在處時(shí)，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個(gè)橢圓.此時(shí)拱頂離水面，水面寬，那么當(dāng)水位上升時(shí)，水面寬度為（）
A．B．C．D．
68.某高速公路隧道設(shè)計(jì)為單向三車(chē)道，每條車(chē)道寬4米，要求通行車(chē)輛限高5米，隧道全長(zhǎng)1.5千米，隧道的斷面輪廓線(xiàn)近似地看成半個(gè)橢圓形狀（如圖所示）.
（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬至少是多少米？（結(jié)果取整數(shù)）
（2）如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？（結(jié)果取整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：，橢圓的面積公式為，其中，分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng).
考點(diǎn)十三、與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題
69.【多選】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)，均在橢圓上，則（）
A．橢圓的離心率為
B．橢圓的短軸長(zhǎng)為
C．直線(xiàn) 與橢圓相交
D．若點(diǎn)在橢圓上，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的方程為
70.【多選】設(shè)，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）
A．的周長(zhǎng)為定值8B．的面積最大值為
C．的最小值為8D．存在直線(xiàn)l使得的重心為
過(guò)關(guān)檢測(cè)
一、單選題
1．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·高二濟(jì)源市第四中學(xué)?？计谀┮阎?，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且，則的方程為（）
A．B．C．D．
2．（2023上·貴州黔東南·高二?？计谀┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)和所連線(xiàn)段的中點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
3．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知分別是橢圓的左?右兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2023上·陜西渭南·高三?？计谀┮阎獧E圓的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的取值范圍是（）．
A．B．C．D．
5．（2023上·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，、為其左右焦點(diǎn)，且，則的面積為（）
A．1B．C．D．2
6．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎獧E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
7．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知、分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，則的最大值為（）
A．4B．C．D．
8．（2023上·安徽淮北·高二淮北一中?？茧A段練習(xí)）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為（）
A．B．C．D．
9．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓上第一象限的點(diǎn)，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）
A．B．C．D．
二、多選題
10．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在點(diǎn)P處變軌進(jìn)入以F為一焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ上繞月球飛行，最后在點(diǎn)Q處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月球飛行．設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．軌道Ⅱ的焦距為
B．軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
C．若不變，r越大，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越小
D．若不變，越大，軌道Ⅱ的離心率越大
11．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知，分別為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，A為C的上頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于的直線(xiàn)與C交于D，E兩點(diǎn)，則（）
A．橢圓C的焦距為2B．
C．的面積為D．的周長(zhǎng)為8
12．（2023上·福建莆田·高二仙游一中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為其左、右焦點(diǎn)，且△的面積為3，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．P點(diǎn)到軸的距離為B．
C．△的周長(zhǎng)為D．△的內(nèi)切圓半徑為
13．（2023上·福建福州·高二福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）已知橢圓：，則下列各選項(xiàng)正確的是（）
A．若的離心率為，則
B．若，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
C．若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6
D．不論取何值，直線(xiàn)都與沒(méi)有公共點(diǎn)
三、填空題
14．（2023上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值是．
15．（2023上·浙江湖州·高三?？计谀┮阎捻旤c(diǎn)和，頂點(diǎn)A在橢圓上，則的值為．
16．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，則．
17．（2023上·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，滿(mǎn)足的面積為，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為 .
18．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期末）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在橢圓上且在第一象限，直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，若是線(xiàn)段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率為 .
四、解答題
19．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，若動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切．
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)直線(xiàn)l與（1）中軌跡C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若Q為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程．
20．（2023上·陜西延安·高二?？计谀┮阎獧E圓的離心率為，右焦點(diǎn)為．
(1)求此橢圓的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線(xiàn)與此橢圓相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．
21．（2023上·廣東汕尾·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn)，為橢圓C的左焦點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程.
22．（2023上·黑龍江佳木斯·高二校考期末）已知橢圓的離心率，其焦點(diǎn)三角形面積的最大值是.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.
23．（2023上·江西·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知的下頂點(diǎn)為，不過(guò)的直線(xiàn)與交于點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若，試問(wèn)直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
24．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，不在軸上，的面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求證：直線(xiàn)，的斜率之和為定值，并求出定值.
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范圍
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長(zhǎng)
長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝eq \a\vs4\al(2a)，短軸長(zhǎng)＝eq \a\vs4\al(2b)
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸x軸和y軸，對(duì)稱(chēng)中心(0,0)
離心率
e＝eq \f(c,a)(0

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