思維導圖
核心考點聚焦
考點一：分類加法計數(shù)原理
考點二：分步乘法計數(shù)原理
考點三：兩個原理的綜合應用
考點四：組數(shù)問題
考點五：占位模型中標準的選擇
考點六：涂色問題
考點七：種植問題
考點八：列舉法
知識點一：分類加法計數(shù)原理（也稱加法原理）
1、分類加法計數(shù)原理：
完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
2、加法原理的特點是：
①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；
②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；
③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分類加法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標準進行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．
知識點二、分步乘法計數(shù)原理
1、分步乘法計數(shù)原理
“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．
2、乘法原理的特點：
①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；
②完成每一步有若干種方法；
③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分步乘法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．
知識點三、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關，一個和分步有關．
完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，則用加法原理；
若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當且僅當這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計算．
1、利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：
（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？
（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型
①分類或分步．
②先分類，再在每一類里再分步．
③先分步，再在每一步里再分類，等等．
（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？
考點剖析
考點一：分類加法計數(shù)原理
例1．（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習）從名女同學和名男同學中任選人主持本班的某次專題班會，則不同的選法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（ ）
A．9種B．10種C．11種D．12種
例3．（2024·高二課時練習）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（ ）
A．18B．36
C．72D．48
變式1．（2024·高二單元測試）如圖所示，在間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通,今發(fā)現(xiàn)之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有（ ）
A．9種B．11種C．13種D．15種
考點二：分步乘法計數(shù)原理
例4．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習）為提高學生的身體素質，某校開設了游泳、武術和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
例5．（2024·湖南長沙·高二長沙麓山國際實驗學校校聯(lián)考階段練習）用這五個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．18B．24C．30D．48
例6．（2024·河南·高二河南大學附屬中學?？迹┌?個不同的小球放入4個不同的盒子中，共有（ ）種方法.
A．81B．64C．12D．7
變式2．（2024·河南周口·高二校聯(lián)考）360的不同正因數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．24B．36C．48D．42
考點三：兩個原理的綜合應用
例7．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（ ）
A．32種B．128種C．64種D．256種
例8．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預測）如圖，有8個不同顏色的正方形盒子組成的調味盒，現(xiàn)將編號為的4個蓋子蓋上（一個蓋子配套一個盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的蓋法總數(shù)為（ ）
A．224B．336C．448D．576
例9．（2024·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）為了備戰(zhàn)下一屆排球世錦賽，中國國家隊甲、乙、丙、丁四人練習傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，往后依次類推，經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手，則傳法總數(shù)為（ ）
A．30B．24C．21D．12
變式3．（2024·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構成一個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)有（ ）
A．120B．90C．48D．12
考點四：組數(shù)問題
例10．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有 個．
例11．（2024·浙江臺州·高二臺州市書生中學校聯(lián)考）如果一個三位正整數(shù)如“”滿足，且，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成 個無重復數(shù)字的凹數(shù).
例12．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習）在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構成無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”有 個，其中偶數(shù)有 個．
變式4．（2024·全國·模擬預測）由數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有 個.
考點五：占位模型中標準的選擇
例13．（2024·廣東·清遠市博愛學校高二階段練習）3名志愿者，每人從4個不同的崗位中選擇1個，則不同的選擇方法共有（ ）
A．12種B．64種C．81種D．24種
例14．（2024·福建福州·高二期末）6名同學參加3個課外知識講座，每名同學必須且只能隨機選擇其中的一個，不同的選法種數(shù)是（ ）
A．20B．C．D．120
例15．（2024·廣東廣州·高二期末）3名同學報名參加足球隊、籃球隊，每名同學限報其中的一個運動隊，則不同的報名方法的種數(shù)是（ ）
A．8B．6C．5D．9
變式5．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（ ）
A．10種B．20種C．25種D．32種
考點六：涂色問題
例16．（2024·江西新余·高二校考階段練習）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．12種B．24種C．48種D．72種
例17．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（ ）

A．240B．360C．480D．600
例18．（2024·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習）某小區(qū)有5個區(qū)域要種上鮮花（如圖），現(xiàn)有四種不同品種的鮮花可供選擇，每個區(qū)域只能種一種鮮花，要求相鄰區(qū)域不能種同一種鮮花，則符合條件的方案有（ ）種

A．36B．48C．54D．72
變式6．（2024·江蘇南京·高二南京師大附中?？迹┤鐖D，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（ ）
A．B．C．D．
考點七：種植問題
例19．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學?？迹┰谌鐖D所示的四個區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個區(qū)域只能種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有 種（用數(shù)字作答）
例20．（2024·安徽六安·高二?？迹┤鐖D一個正方形花圃被分成5份．若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，則不同的種植方法有 種
例21．（2024·吉林·高二開學考試）．將3種作物種植在如圖5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有 種.（以數(shù)字做答）
變式7．（2024·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）某學校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有 種．（用數(shù)字作答）
考點八：列舉法
例22．（2024·北京·高二北大附中?？计谀┠彻居屑抑睜I店，現(xiàn)需將箱貨物運送至直營店進行銷售，各直營店出售該貨物以往所得利潤統(tǒng)計如下表所示.

根據(jù)此表，該公司獲得最大總利潤的運送方式有（ ）
A．種B．種C．種D．種
例23．（2024·河北邯鄲·高二校聯(lián)考）有序數(shù)對滿足，且使關于的方程有實數(shù)解，則這樣的有序數(shù)對的個數(shù)為（ ）
A．15B．14C．13D．10
例24．（2024·河南·馬店第一高級中學模擬預測）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數(shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（ ）
A．144B．96C．72D．60
變式8．元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）
A．6種B．9種C．11種D．23種
過關檢測
一、單選題
1．（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學?？计谀┨咔驎r甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經(jīng)過3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（ ）
A．6種B．8種C．2種D．4種
2．（2024·重慶·高三重慶南開中學?？茧A段練習）已知集合，且，用組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．14B．17C．20D．23
3．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學?？迹┘住⒁?、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山東臨沂·高二?？茧A段練習）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是（ ）
A．2B．4C．5D．6
5．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考）若3名學生報名參加天文?計算機?文學?美術這4個興趣小組，每人選1組，則不同的報名方式有（ ）
A．12種B．24種C．64種D．81種
6．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考）2022年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運動的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項運動中任選一項進行體驗，則不同的選法共有（ ）
A．12種B．24種C．64種D．81種
7．（2024·浙江湖州·高二校聯(lián)考）將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．90B．135C．270D．360
8．（2024·全國·高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是（ ）
A．48B．18C．24D．36
二、多選題
9．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┯梅N不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（ ）

A．B．
C．D．
10．（2024·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習）下列結論正確的是（ ）
A．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同
B．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事
C．在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成
D．在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法可以相同
11．（2024·高二課時練習）(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可?。? ）
A．－8B．－12
C．11D．24
12．（2024·吉林長春·高二?？茧A段練習）高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（ ）
A．所有可能的方法有種
B．如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
C．如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種
D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種
三、填空題
13．（2024·甘肅白銀·高二校考期末）星期二下午的3節(jié)課排物理?化學和自習課各一節(jié)，要求第一節(jié)不排自習課，那么不同的排課方法種數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）．
14．（2024·廣東廣州·高三廣州六中校考期末）某社區(qū)年終活動設置抽獎環(huán)節(jié)，方案如下：準備足夠多的寫有“和諧”、“和睦”、“復興”的卡片，參與者隨機逐一抽取四張，若集齊三種卡片就獲獎.王大爺按規(guī)定參與抽獎，則他直到第四次抽取出卡片才確定獲獎的不同情況種數(shù)為 .
15．（2024·上?！じ叨？茧A段練習）正整數(shù)240的正約數(shù)有 個．
16．（2024·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習）5名同學去聽同時舉行的3個課外知識講座，每名同學可自由選擇聽其中的1個講座，且甲乙聽同一個講座，則不同選擇的種數(shù)是 ．
四、解答題
17．（2024·山東菏澤·高二?？茧A段練習）口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現(xiàn)從中取出2個球．
(1)至少有一個白球的取法有多少種？
(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？
18．（2024·全國·高二隨堂練習）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？
19．（2024·全國·高二課堂例題）某班班委由2位女同學、3位男同學組成，現(xiàn)要從該班委里選出2人去參加學校組織的培訓活動，要求至少要有1位女同學參加，則不同的選法共有多少種？
20．（2024·高二課時練習）如圖，要接通從A到B的電路，只有一條支路連接，則不同的接通方法有多少種？

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2
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4
5
6
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