思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一、平均變化率和瞬時(shí)變化率
考點(diǎn)二、導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用
考點(diǎn)三、導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算
考點(diǎn)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用
考點(diǎn)五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
考點(diǎn)六、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用
考點(diǎn)七、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題
考點(diǎn)八、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題
考點(diǎn)九、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
考點(diǎn)十、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問(wèn)題
考點(diǎn)十一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)
考點(diǎn)十二、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)1 函數(shù)的平均變化率
函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率
(1)定義式：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x2?－f?x1?,x2－x1).
(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比．
(3)作用：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．
(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．
知識(shí)點(diǎn)2 瞬時(shí)速度
(1)物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度．
(2)一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).如果Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq \f(Δs,Δt)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說(shuō)當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，eq \f(Δs,Δt)的極限是v，這時(shí)v就是物體在時(shí)刻t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).
(3)瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系：從物理角度看，當(dāng)時(shí)間間隔|Δt|無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度eq \x\t(v)就無(wú)限趨近于t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度．
注意點(diǎn)：（1）Δt可正，可負(fù)，但不能為0.
（2）瞬時(shí)變化率的變形形式
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－Δx?－f?x0?,－Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋nΔx?－f?x0?,nΔx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0－Δx?,2Δx)＝f′(x0)．
知識(shí)點(diǎn)3 函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq \f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq \f(Δy,Δx)有極限，則稱(chēng)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
知識(shí)點(diǎn)4 割線斜率與切線斜率及導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．切線：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過(guò)點(diǎn)A(x0，f(x0))與點(diǎn)B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的切線．
切線的斜率：當(dāng)Δx→0時(shí)，割線AB的斜率無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn)A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
切線的斜率與割線的斜率的關(guān)系：從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Δx|無(wú)限變小時(shí)，點(diǎn)B無(wú)限趨近于
點(diǎn)A，于是割線AB無(wú)限趨近于點(diǎn)A處的切線AD，這時(shí)，割線AB的斜率無(wú)限趨近于點(diǎn)A處的切線AD的斜率k.
注意點(diǎn)：極限的幾何意義：曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率．
4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說(shuō)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知識(shí)點(diǎn)5 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
若f′(x0)＝0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k＝0；
若f′(x0)>0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k>0，且函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞增，且f′(x0)越大，說(shuō)明函數(shù)圖象變化的越快；
若f′(x0)0，函數(shù)在解集所表示的定義域內(nèi)為增函數(shù)．
(4)解不等式f′(x)0(或f′(x)0
單調(diào)遞增
f′(x)

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