思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：求函數(shù)的極值
考點(diǎn)二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍
考點(diǎn)三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題
考點(diǎn)四：不含參函數(shù)的最值問題
考點(diǎn)五：含參函數(shù)的最值問題
考點(diǎn)六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題
考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用
考點(diǎn)八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題
考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題
考點(diǎn)十：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題
考點(diǎn)十一：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
考點(diǎn)十二：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題
知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的極值
（一）函數(shù)的極值的定義：
一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，
（1）若對(duì)于附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；
（2）若對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．
極大值與極小值統(tǒng)稱極值．
在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
由函數(shù)的極值定義可知：
（1）在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)在及其附近有定義，否則無從比較．
（2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，是一個(gè)局部概念；在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極值，也可能無極值．由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最?。?br>（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值．極小值不一定是整個(gè)定義區(qū)間上的最小值．
（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．
（二）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：
①確定函數(shù)的定義域；
②求導(dǎo)數(shù)；
③求方程的根；
④檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則在這個(gè)根處取得極小值．（最好通過列表法）
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
①可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．即是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要非充分條件．例如函數(shù)，在處，，但不是函數(shù)的極值點(diǎn)．
②可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是，且在兩側(cè)的符號(hào)相異．
知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的最值
（一）函數(shù)的最大值與最小值定理
若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
①函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得．
②函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只有一個(gè)．
（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：
若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：
（1）求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)；
（2）求方程在內(nèi)的根；
（3）求在內(nèi)使的所有點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，；
（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
①求函數(shù)的最值時(shí)，不需要對(duì)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)討論其是極大還是極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可．
②若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲担?br>（三）最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系
①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域上的函數(shù)值得出的（具有絕對(duì)性），是整個(gè)定義域上的整體性概念．最大值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有函數(shù)值中的最小值．函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的（具有相對(duì)性），是局部的概念；
②極值可以有多個(gè)，最大（?。┲等舸嬖谥挥幸粋€(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點(diǎn)取得；最大（?。┲悼赡苁悄硞€(gè)極大（小）值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
③有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值．
1、不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題．
一些含參不等式，一般形如，
若能分離參數(shù)，即可化為：（或）的形式．若其恒成立，則可轉(zhuǎn)化成（或），從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．
若不能分離參數(shù)，就是求含參函數(shù)的最小值，使．所以仍為求函數(shù)的最值問題，只是再求最值時(shí)可能需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．
2、證不等式問題．
當(dāng)所要證的不等式中只含一個(gè)未知數(shù)時(shí)，一般形式為，則可化為，一般設(shè)，然后求的最小值，證即可．所以證不等式問題也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題．
3、兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（方程解的個(gè)數(shù)問題）
一般可轉(zhuǎn)化為方程的問題，即的解的個(gè)數(shù)問題，
我們可以設(shè)，然后求出的極大值、極小值，根據(jù)解的個(gè)數(shù)討論極大值、極小值與0的大小關(guān)系即可．所以此類問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題．
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：求函數(shù)的極值
例1．（2024·陜西渭南·高二合陽縣合陽中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，在時(shí)有極大值，則的極大值為
【答案】
【解析】由得，
∵在處取得極大值，∴，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，，令，得或，令得，
∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
∴在處取得極小值，故不滿足題意舍去，
當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，
∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴在處取得取大值，符合題意．綜上， ．
則的極大值為
故答案為:.
例2．（2024·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．若在上有極大值，則極大值一定是上的最大值．
B．若在上有極小值，則極小值一定是上的最小值．
C．若在上有極大值，則極大值一定是在和處取得．
D．若在上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值．
【答案】D
【解析】函數(shù)在上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，故AB錯(cuò)誤；
函數(shù)在上的極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，故C錯(cuò)誤；
若在上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值，故D正確.
故選：D.
例3．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的極值.
(1)；
(2).
【解析】（1）由題意得，,
令，解得.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在處有極小值，且，無極大值.
（2），,
令，解得.
所以當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且，無極大值.
變式1．（2024·北京·高二北京八十中?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)求的圖象在處的切線方程；
(2)求的極值.
【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?
所以.
的圖象在處的切線方程為.
（2）
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
.
故的極大值為，無極小值.
考點(diǎn)二：由極值求參數(shù)的值或取值范圍
例4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，
∴導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的變號(hào)零點(diǎn)，
∴，即，解得或．
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B．
例5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考期末）若函數(shù)與函數(shù)有相等的極小值，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】由對(duì)勾函數(shù)可知：在時(shí)取到極小值，
對(duì)于，則有：
當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極小值為，解得.
故選：B.
例6．（2024·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的極小值為，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，沒有極值.
當(dāng)時(shí)，由得；
時(shí)，，為增函數(shù)；
時(shí)，，為減函數(shù)；
時(shí)，，為增函數(shù)；
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，，解得.
故選：C.
變式2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)有極大值，在內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
因?yàn)樵趦?nèi)有極大值，在內(nèi)有極小值，
所以，
解得．
故選：C．
變式3．（2024·福建福州·高二福州三中?？计谀┤艉瘮?shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵函數(shù)有極值點(diǎn)，
∴有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴，解得
故選：B
考點(diǎn)三：利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題
例7．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處有極值．
(1)求的極值；
(2)若在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【解析】（1）
由條件知，得
所以隨x變化情況如下表：
所以函數(shù)的極大值為，極小值為.
（2）因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，只需,
所以.
例8．（2024·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，取得極大值；
當(dāng)時(shí)，取得極小值.
由三次函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以若有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得.
所以的取值范圍為.
例9．（2024·天津武清·高二天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)的減區(qū)間是，求a的值；
(3)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，，
，
在點(diǎn)處的切線方程為，即
（2）函數(shù)的減區(qū)間是(-1，4)，
而
令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不符合題意，
當(dāng)，無實(shí)數(shù)解，不符合題意,
故.
（3）=
令，所以，
令得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故在上遞減；在上遞增
所以，即，
所以，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
變式4．（2024·廣西南寧·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的導(dǎo)函數(shù)；
(2)若在上有零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>（2）由（1）知，
因?yàn)?，所以?br>所以，
從而在上單調(diào)遞增，
所以，．
因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，所以，
解得．
考點(diǎn)四：不含參函數(shù)的最值問題
例10．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為m，n，則 .
【答案】20
【解析】函數(shù)，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
因此，而，則，
所以.
故答案為：20
例11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，2，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為 ．
【答案】/
【解析】，因?yàn)榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)分別為，2，
所以，所以，
所以，，
令，解得：或；
令，解得：.
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，2是的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.
故答案為：.
例12．（2024·山西晉城·高二晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為 .
【答案】1
【解析】由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故答案為：1
變式5．（2024·云南臨滄·高二校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則在上的最小值是 ．
【答案】/
【解析】因?yàn)椋裕?br>則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
故在的最小值為.
故答案為：
考點(diǎn)五：含參函數(shù)的最值問題
例13．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)若，求在區(qū)間的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)定義域?yàn)镽，
且，
所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，
即，；
（2）函數(shù)定義域?yàn)镽，則，
令，解得或，
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；
若，即時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以在上的最小值為，
若，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在的最小值為，
所以
例14．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.求的最小值；
【解析】， 令，解得，
由為增函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以的最小值為.
例15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，（為實(shí)數(shù)）．求在區(qū)間上的最小值．
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以．
②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，
綜上，．
變式6．（2024·江蘇常州·高二校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【解析】由題意可得：，則，
∵，則有：
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)恒成立，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)恒成立，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則；
當(dāng)時(shí)，則，
令，解得，令，解得，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
①當(dāng)，即時(shí)，則在區(qū)間上的最大值為；
②當(dāng)，即時(shí)，則在區(qū)間上的最大值為；
③當(dāng)，即時(shí)，則在區(qū)間上的最大值為；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上的最大值為；
當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上的最大值為；
當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上的最大值為.
考點(diǎn)六：由函數(shù)的最值求參數(shù)問題
例16．（2024·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)，的最小值為1，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【解析】，，
令，解得，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以的最小值為，令，解得.
故選：C
例17．（2024·天津紅橋·高三統(tǒng)考期中）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值-2，
所以，即，，定義域?yàn)椋?
又因?yàn)樵谔幦〉米畲笾担栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，， 則，所以.
故選：A.
例18．（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可得：
∵，則
當(dāng)，則當(dāng)時(shí)恒成立，即
∴在上單調(diào)遞減，則在上無最值，即不成立
當(dāng)，則當(dāng)時(shí)恒成立，即
∴在上單調(diào)遞增，則在上無最值，即不成立
當(dāng)，令，則
∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則在上有最小值，即成立
故選：A.
變式7．（2024·廣東揭陽·高三揭東二中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴在處取得極小值，
又∵在區(qū)間上有最小值，
∴，解得．
故選：A．
考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用
例19．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）一艘船航行所需的燃料費(fèi)與船速的平方成正比．如果船速是10km/h，那么每小時(shí)的燃料費(fèi)是80元．已知該船航行的其他費(fèi)用為每小時(shí)480元，在100km的航程中，保持怎樣的船速可使航行總費(fèi)用最少？（結(jié)果精確到1km/h）
【解析】設(shè)當(dāng)船速為xkm/h時(shí)，每小時(shí)所需燃料費(fèi)為元．
根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，從而解得．
因此，船在100km航程中的總費(fèi)用為，．
求導(dǎo)，得，令，得（舍去負(fù)值）．
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)嚴(yán)格減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)嚴(yán)格增．
因此，函數(shù)在（km/h）處取得最小值．
所以，在100km的航程中，保持約24km/h的船速可使航行總費(fèi)用最少．
例20．（2024·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）喀什二中擬在高二年段舉行手工制作書柜比賽，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙板，紙板的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方柜，
(1)試把方柜的容積表示為的函數(shù)？
(2)多大時(shí)，方柜的容積最大？并求最大容積．
【解析】（1），
又，解得，
故關(guān)于的函數(shù)為，；
（2），令，解得（舍去）或，
令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故時(shí)，方柜的容積最大，最大容積為.
例21．（2024·黑龍江綏化·高二?？茧A段練習(xí)）消毒液已成為生活必需品，日常的消費(fèi)需求巨大．某商店銷售一款酒精消毒液，每件的成本為元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該款消毒液的日銷售量（單位：件）與銷售價(jià)格（單位：元/件）滿足關(guān)系式．
(1)求該款消毒液的日利潤(rùn)與銷售價(jià)格間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求當(dāng)該款消毒液每件售價(jià)為多少元時(shí)，每日銷售該款消毒液所獲得的利潤(rùn)最大，并求出日最大利潤(rùn)．
【解析】（1）由題意知：，
即.
（2）由（1）得：，
令，解得：（舍），，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)該款消毒液每件售價(jià)為元時(shí)，每日銷售該款消毒液所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元.
變式8．（2024·江西·高二統(tǒng)考期末）某品牌汽車準(zhǔn)備在一次車展過程中給顧客免費(fèi)發(fā)放冰淇淋，現(xiàn)欲從家源頭工廠批發(fā)進(jìn)購冰淇淋.已知該工廠在這筆訂單中的固定成本為2萬元，生產(chǎn)的最大上限是8萬個(gè)，另外，每生產(chǎn)1萬個(gè)冰淇淋成本會(huì)增加0.5萬元，每x萬個(gè)冰淇淋的銷售額滿足關(guān)系式（單位：萬元，其中a是常數(shù)）；若該工廠賣出2萬個(gè)冰淇淋的利潤(rùn)是12萬元.
(1)設(shè)賣出x萬個(gè)冰淇淋的利潤(rùn)為（單位：萬元），求的解析式；
(2)這筆訂單的銷售量為多少時(shí)這家工廠的利潤(rùn)最大？并求出利潤(rùn)的最大值.
【解析】（1）賣出萬個(gè)冰淇淋的利潤(rùn)（單位：萬元）：，，
即，，當(dāng)時(shí)，，解得，
故，；
（2），
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴時(shí)，利潤(rùn)最大為萬元.
考點(diǎn)八：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題
例22．（2024·浙江溫州·高二溫州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)若（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值.
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)可得，，
因此可知當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
可得和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，又，所以；
所以可得，
即當(dāng)時(shí)，；
（2）易知，
又，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理可得，
所以
，
設(shè)，由可得，令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
可得，
故可知的最大值為.
例23．（2024·黑龍江雞西·高三雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．
(1)求的極值；
(2)對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，可得或，列表如下：
故函數(shù)的極大值為，極小值為.
（2）對(duì)于，，都有，則.
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，且，則且不恒為零，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
由題意可得，故.
例24．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求極值：
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，在處取得極小值，
綜上，的極大值為，極小值為；
（2），，
故，，
令得或，
因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)椋?br>，
所以，所以；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)椋?br>，
所以；
綜上：
變式9．（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).
(1)若，求在定義域內(nèi)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域是，且，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在有極小值，無極大值.
（2）因?yàn)?，則，因?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以，所以（舍去）；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以.
綜上，.
考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題
例25．（2024·山東淄博·高二校考階段練習(xí)）（1）已知對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，試求a的取值范圍.
【解析】（1）對(duì)于恒成立，
令，，
只需即可，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，
所以，
故，
實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2），故在R上恒成立，
即在R上恒成立，
令，
只需，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，
故，
所以，故a的取值范圍為.
例26．（2024·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）．
由，得或，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
（2）由，，得．
因?yàn)椋?，?br>故當(dāng)時(shí)，．
要使對(duì)于恒成立，只需，
解得．
例27．（2024·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，
由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；由得，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為；
所以函數(shù)有極小值為，無極大值．
（2）當(dāng)時(shí)，不等式化簡(jiǎn)為，令，則；
令得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
因?yàn)椋裕?br>又，所以．
變式10．（2024·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若的最大值為
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求b的取值范圍.
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>根據(jù)題意可得，令，得，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因?yàn)?，所以可化為?br>設(shè)，
所以，則在上恒成立，
即可得在上單調(diào)遞減，
，
因此的取值范圍是
考點(diǎn)十：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題
例28．（2024·湖北武漢·高二武漢市育才高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則過點(diǎn)，且，則過點(diǎn)，
由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，畫出示意圖如下：
或，
故選：D.
例29．（2024·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列不等式一定成立的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】構(gòu)造函數(shù)，
在時(shí)恒成立，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
故選:C.
例30．（2024·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┮押瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，且，，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，設(shè)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，且，
所以由，
故選：B
變式11．（2024·湖北武漢·高二江夏一中?？计谥校┒x在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若對(duì)任意恒成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
因?yàn)閷?duì)任意恒成立，
所以，
所以在區(qū)間上遞增，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?br>所以，可化為，即，
因?yàn)樗栽趨^(qū)間上遞增，
所以，
所以關(guān)于x的不等式的解集為，
故選：C
考點(diǎn)十一：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
例31．（2024·山西大同·高二大同一中?？计谀┰O(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且，結(jié)合（1）的結(jié)論，你能得到怎樣的不等式？
(3)利用（2）中的不等式證明：.
【解析】（1）由題意，函數(shù)，其中函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>可得，
令，可得或，
若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由函數(shù)且，可得，
因?yàn)?，可得?br>解得或（與矛盾，舍去），
故
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在時(shí)取得最小值，最小值，即，
故對(duì)于任意恒成立，有不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立.
（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，有成立，
令，則
整理得，，
所以.
例32．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）證明不等式：，
【解析】由題設(shè)，要證只需證即可，
令，則，而，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
故，即在上恒成立，
∴，得證.
例33．（2024·湖北·高二期末）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)，時(shí)，證明：
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，當(dāng)或，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，當(dāng)或，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減．
（2），
由可得，或，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減．
又因?yàn)椋?br>所以恒成立．
變式12．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)證明：．
【解析】（1）由題意可知：，
若，則恒成立，即單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)不等零點(diǎn)，
故，
顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以若要符合題意，需，
此時(shí)有，且，
令，
而，
即在上遞減，故，
所以，
又，
故在區(qū)間和上函數(shù)存在各一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，
綜上；
（2）結(jié)合（1），不妨令，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
即單調(diào)遞減，所以，
即，
因?yàn)椋裕?br>由（1）知在上單調(diào)遞增，所以由，
故.
考點(diǎn)十二：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題
例34．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且，函數(shù).
(1)若且，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，
所以，
又因?yàn)?，?br>所以；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
故有兩解，
所以方程有兩個(gè)不同的解，
即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，
如圖所示
而，所以，所以，
令，
因?yàn)?，?br>所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又當(dāng)時(shí)，，，，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
例35．（2024·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若是的2個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.
【解析】（1）由題意可知：的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，可知至多1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，
所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可知：當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；
可得，解得，
且，要證，只需證，注意到，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故只需證，
結(jié)合，故只需證，即證，
令，
則，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以，從而成立.
例36．（2024·陜西榆林·高二校考期中）已知函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．
(1)若時(shí)，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴．
由，解得；由，解得．
∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）由可知是偶函數(shù)，
又，
∴函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)（）恰有2個(gè)零點(diǎn)．
令，解得，
∵，∴，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，∴，解得．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
過關(guān)檢測(cè)
一、單選題
1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 的圖像如圖所示，以下命題錯(cuò)誤的是（ ）

A．是函數(shù)的最小值
B．是函數(shù)的極值
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．在處的切線的斜率大于0
【答案】A
【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；
易知是函數(shù)的極值，故B正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則不是函數(shù)的最小值，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于0，即切線的斜率大于零，故D正確.
故選：A．
2．（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),
∴兩根分別位于和中，
得，即，解得.
故選：B
3．（2024·高二單元測(cè)試）設(shè)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，分別為的導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，
∴函數(shù)是R上的減函數(shù)．
∴當(dāng)時(shí)，，
故選：C.
4．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谀┤缬覉D所示為的圖像，則下列判斷正確的是 （ ）
①在上是增函數(shù)；
②是的極小值點(diǎn)；
③在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增；
④是的極小值點(diǎn)
A．①②③B．①③④C．③④D．②③
【答案】D
【解析】由的圖像可得：在區(qū)間上函數(shù)的符號(hào)及函數(shù)的單調(diào)性，如下表：
所以①④是錯(cuò)誤的；②③是正確的.
故選：D
5．（2024·陜西西安·高二?？计谀┤艉瘮?shù)在處有極值，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>又在處有極值，
所以，所以，得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
函數(shù)在處有極小值，滿足題意.
故選：A.
6．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考階段練習(xí)）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方向留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)記為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于，則，
得，由于在上為“凸函數(shù)”，
所以 在上恒成立，即在上恒成立，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
于是，故.
故選: C
7．（2024·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考）函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，且，令，則或（舍），
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，即最大值為.
故選：A
8．（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┒x在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立．則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)，
則不等式等價(jià)為，
即，
設(shè)，，
則，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，，，，
即，，
，，
則，故A正確；
，得不出，故B錯(cuò)誤．
，故C錯(cuò)誤．
，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
二、多選題
9．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．是函數(shù)的極值點(diǎn)B．3是函數(shù)的極大值點(diǎn)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．1是函數(shù)的極小值點(diǎn)
【答案】AC
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由圖象可知，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得極大值.故A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由圖象可知，
當(dāng)時(shí)，恒成立，且不恒為0，所以在上單調(diào)遞減.
所以，3不是函數(shù)的極大值點(diǎn).故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由B可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減.故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由B可知，在上單調(diào)遞減.
所以，1不是函數(shù)的極小值點(diǎn).故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．（2024·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1
C．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則
【答案】AC
【解析】因?yàn)?，?br>所以，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
即，故C正確；
因?yàn)椋瘮?shù)大致圖象如圖，
要使方程在區(qū)間上有兩解，
則，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．（2024·浙江寧波·高二余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）你是否注意過，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴一些？高二某研究小組針對(duì)飲料瓶的大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響進(jìn)行了研究，調(diào)查如下：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分（不考慮瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．下面結(jié)論正確的有（ ）（注：；利潤(rùn)可為負(fù)數(shù)）
A．利潤(rùn)隨著瓶子半徑的增大而增大B．半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大
C．半徑為2cm時(shí)，利潤(rùn)最小D．半徑為3cm時(shí)，制造商不獲利
【答案】BCD
【解析】由已知，每個(gè)瓶子的利潤(rùn)為，，
則，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故B正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，故C正確；
又，故D正確．
故選：BCD．
12．（2024·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，則（ ）
A．曲線在點(diǎn)處的切線方程為
B．有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．，都能使方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根
D．曲線是中心對(duì)稱圖形
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A：，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：令，得或；令，得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C：結(jié)合B選項(xiàng)，，，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于，都能使方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故C正確；
對(duì)于D：解法一：，
，
.
∴曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.
解法二：，
令，則是R上的奇函數(shù)，且，
曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．（2024·廣東河源·高二河源市河源中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的極小值點(diǎn)為 ．
【答案】2
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，
令得， ，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.
綜上所述，在處取得極小值，即的極小值點(diǎn)為2．
故答案為：2.
14．（2024·天津·高二統(tǒng)考）若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)存在極小值點(diǎn)，
依題意，，解得，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：
15．（2024·河南鄭州·高二校考階段練習(xí)）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】
【解析】函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
則有兩個(gè)不同正根，
即有兩個(gè)不同正根，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
16．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考）已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，則的最小值為 .
【答案】12
【解析】顯然，當(dāng)時(shí)，，，
令函數(shù)，
則.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以，即的最小值為12.
故答案為：12
四、解答題
17．（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)
(1)求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值．
【解析】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．
令，解得，．
由，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，
由，得或，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)．
（2）列表
當(dāng)x變化時(shí)，，的變化表為：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
∴在區(qū)間上的最大值為63，最小值為0.
18．（2024·貴州遵義·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【解析】（1）時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，
令，解得，令，解得，
故在處取得極小值，，
的極小值為，無極大值.
（2）在區(qū)間上為減函數(shù)，
∴在區(qū)間上，
，
令，只需，
顯然在區(qū)間上為減函數(shù)，
，
19．（2024·陜西延安·高二?？计谀┰O(shè)函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)如果對(duì)所有的，都有，求a的取值范圍．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，
又，，
故，
則，
故a的取值范圍為.
20．（2024·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）己知函數(shù)．
(1)求曲線的斜率等于的切線方程；
(2)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br>若，解得，則切點(diǎn)為；
所以切線方程為，即.
（2）易知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為,
令，可得；令，可得；
所以可得，
則，
令可得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
所以在處取得極小值，也是最小值，即.
即可得的最小值為.
21．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù) .
(1)若 恒成立, 求的最大值;
(2)若 恒成立, 求的最小值.
【解析】（1）因?yàn)椋?，整理得?br>由題意可知：對(duì)任意恒成立，
令，，則，
令，，則對(duì)任意恒成立，
則在上單調(diào)遞減，可知，
即對(duì)任意恒成立，
則在上單調(diào)遞減，可知，
可得，所以的最大值為.
（2）由題意可得：，
因?yàn)?，由題意可得，則，
若，則，
可知在上單調(diào)遞減，則，即符合題意；
綜上所述：，即的最小值為1.
22．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）將代入可得，其定義域?yàn)镽，則.
和都在上增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增且，
因此，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增；
綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）（2）由得，，令，
則，
時(shí)，單調(diào)遞減；
時(shí)，單調(diào)遞增；
時(shí)，單調(diào)遞減；
由單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，取得極小值，即；
當(dāng)時(shí)，取得極大值，即.
所以和的大致圖象如下：
綜上所述，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．
x
0
1
-
0
＋
0
＋
極小值
無極值
0
1
＋
0
－
0
＋
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
增
極大值
減
極小值
增
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
x
0
－
0
＋
極小值

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