思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理的正用、逆用
考點(diǎn)二：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用
考點(diǎn)三：求兩個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)
考點(diǎn)四：余數(shù)和整除的問(wèn)題
考點(diǎn)五：近似計(jì)算
考點(diǎn)六：二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題
考點(diǎn)七：二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
考點(diǎn)八：三項(xiàng)式及多項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理
1、定義
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：
這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式．
式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)
2、二項(xiàng)式的展開(kāi)式的特點(diǎn)：
（1）項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；
（2）二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；
（3）次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到0；字母升冪排列，次數(shù)從0到，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為；
知識(shí)點(diǎn)二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通頂公式
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：
公式特點(diǎn)：
（1）它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；
（2）字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
知識(shí)點(diǎn)三：二頂式系數(shù)及其性質(zhì)
1、的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：
①對(duì)稱(chēng)性：二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離"的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；
②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且最大．
（3）各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；
（4）二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即．
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式的系數(shù)的區(qū)別
二項(xiàng)展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開(kāi)式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等．
2、展開(kāi)式中的系數(shù)求法的整數(shù)且
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開(kāi)式問(wèn)題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決．
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
1、求展開(kāi)式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）．
2、利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和．
3、利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題及余數(shù)的求法：
4、證明有關(guān)的不等式問(wèn)題：
5、進(jìn)行近似計(jì)算：
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理的正用、逆用
例1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求的二項(xiàng)展開(kāi)式．
例2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：
(1)；
(2)．
例3．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：
(1)；
(2).
變式1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開(kāi)式.
考點(diǎn)二：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的應(yīng)用
例4．（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）給出下列條件：
①若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于16；
②若展開(kāi)式中倒數(shù)第三項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)的系數(shù)比為4:1.
從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答，
已知，___________.
(1)求展開(kāi)式中第四項(xiàng)；
(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).
例5．（2024·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）式子二項(xiàng)式定理展開(kāi)中的第6項(xiàng)為 ．
例6．（2024·云南保山·高二統(tǒng)考期末）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為 .
變式2．（2024·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 .（用數(shù)字作答）
考點(diǎn)三：求兩個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)
例7．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
例8．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）的展開(kāi)式中的系數(shù)是 ．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）
例9．（2024·四川眉山·高二?？茧A段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
變式3．（2024·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中x的系數(shù)為2，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
考點(diǎn)四：余數(shù)和整除的問(wèn)題
例10．（2024·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）除以所得的余數(shù)是 .
例11．（2024·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）被4除的余數(shù)為 .
例12．（2024·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)校考期中）若，則除以7的余數(shù)是 .
變式4．（2024·山西·高二統(tǒng)考期中）除以所得的余數(shù)為 .
考點(diǎn)五：近似計(jì)算
例13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）將精確到0.01的近似值是 ．
例14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理估算 .（精確到0.001）
例15．（2024·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）的近似值（精確到）為 ．
變式5．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）1.028的近似值是 .(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)
考點(diǎn)六：二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題
例16．（2024·廣東梅州·高二校考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，求：
(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；
(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；
(3)所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；
(4)系數(shù)絕對(duì)值之和.
例17．（2024·上海·高二上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
例18．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（1）若，求的值；
（2）已知（，n為正整數(shù)），求的值．
變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)．
考點(diǎn)七：二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
例19．（2024·廣西防城港·高二防城港市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則 .
例20．（2024·山東泰安·高二寧陽(yáng)縣第四中學(xué)校考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，若第7項(xiàng)系數(shù)最大，則n的值可能等于 .
例21．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為 .
變式7．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考期末）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字填寫(xiě)答案）；
考點(diǎn)八：三項(xiàng)式及多項(xiàng)式展開(kāi)問(wèn)題
例22．（2024·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若，且，則的值為 .
例23．（2024·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
例24．（2024·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）中常數(shù)項(xiàng)是 ．（寫(xiě)出數(shù)字）
變式8．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谀┑恼归_(kāi)式中，的系數(shù)為 ．
過(guò)關(guān)檢測(cè)
一、單選題
1．（2024·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．128B．56C．D．
2．（2024·云南紅河·高二開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．21C．189D．
3．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·遼寧本溪·高二?？计谀┑恼归_(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．B．7C．77D．
5．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則該展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．B．46C．61D．190
6．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）若的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．8B．28C．56D．70
7．（2024·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）被8除的余數(shù)為（ ）
A．1B．3C．5D．7
8．（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）若的展開(kāi)式中的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024·云南紅河·高二開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，則（ ）
A．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)
C．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64D．常數(shù)項(xiàng)為
10．（2024·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，則（ ）
A．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)
B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0
C．常數(shù)項(xiàng)為
D．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64
11．（2024·福建福州·高二校聯(lián)考期中）若均為常數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·遼寧本溪·高二校考期末）若，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2024·江西宜春·高二江西省萬(wàn)載中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，若.則 .
14．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）若，則 ．
15．（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┑恼归_(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為 .
16．（2024·山東日照·高二日照一中校考階段練習(xí)）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù) ．
四、解答題
17．（2024·遼寧大連·高二育明高中校考期中）若.求：
(1)；
(2).
18．（2024·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
19．（2024·安徽安慶·高二安慶一中?？计谥校┮阎恼归_(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是．
(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和；
(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
20．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求的值．
21．（2024·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；
（2）在的展開(kāi)式中，
①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)；
22．（2024·江西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（）.
(1)當(dāng)時(shí)，用二項(xiàng)式定理證明能被50整除；
(2)設(shè)，，求的值.

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