【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假提升訓(xùn)練專題03 函數(shù)的單調(diào)性（五大考點(diǎn)）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
考點(diǎn)二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系
考點(diǎn)三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
考點(diǎn)四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性
考點(diǎn)五：含參數(shù)單調(diào)性討論
情形一：函數(shù)為一次函數(shù)
情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)
情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型
1、可因式分解
2、不可因式分解型
情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型
知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：
一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，
①若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
②若，則在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；
③若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)．
反之，若在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為正時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為負(fù)時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減．
2、若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有，則仍單調(diào)遞增（減函數(shù)的情形完全類似）．
即在某區(qū)間上，在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，但反之不成立．
3、在某區(qū)間上單調(diào)遞增在該區(qū)間；
在某區(qū)間上單調(diào)遞減在該區(qū)間．
在區(qū)間內(nèi)，．．（或）是在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！
例如：，，，而在R上遞增．
4、只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù)．
5、注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法
設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，
（1）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；
（3）如果恒有，則函數(shù)在內(nèi)為常數(shù)函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則．
（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法——分離參數(shù)法：或．
知識(shí)點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式或；
（4）確定的單調(diào)區(qū)間．
或者：令，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根．把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集．
2、求單調(diào)區(qū)間常常通過列表的方法進(jìn)行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確．
討論單調(diào)區(qū)間問題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；
（3）求根做圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；
（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；
（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；
（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；
求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．
（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；
（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；
（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谀┑膯握{(diào)增區(qū)間為 .
【答案】
【解析】函數(shù)定義域是，
由已知，由得，
所以遞增區(qū)間為.
故答案為：．
例2．（2024·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
【答案】
【解析】易知的定義域?yàn)椋?br>則，令，解得；
即可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故答案為：
例3．（2024·福建漳州·高二漳州三中?？迹┖瘮?shù)的增區(qū)間為．
【答案】
【解析】有題知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>令，解得，
故函數(shù)的增區(qū)間為
故答案為：
變式1．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【答案】/
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
由得，由得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．
故答案為：
考點(diǎn)二：函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系
例4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圖可知，當(dāng)x＜0時(shí)，即在(－∞,0)上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，即在(0,2)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞2時(shí)，即在(2,＋∞)上單調(diào)遞減.
結(jié)合各選項(xiàng)，只有D符合要求.
故選：D
例5．（2024·廣東深圳·高二深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)校考）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圖可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，由此排除BD選項(xiàng).
當(dāng)時(shí)，從左向右，是遞增、遞減、遞增，
對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為，由此排除C選項(xiàng)，
所以A選項(xiàng)正確.
故選：A
例6．（2024·四川樂山·高二?？迹┮阎瘮?shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函數(shù)的圖象可知當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
等價(jià)于或，
故不等式的解集為，
故選：A
變式2．（2024·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二校考階段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是
（）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由的圖象可知當(dāng)和時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合選項(xiàng)，可知C中圖象符合題意，
故選：C
考點(diǎn)三：已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例7．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故.
故選：A.
例8．（2024·廣西南寧·高二賓陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題可知，在上恒成立，
顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：D．
例9．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
令，得，
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，
所以，解得：
故選：B.
變式3．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)k的值為（）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】由，由已知遞減區(qū)間，則得：，
故，1是的兩根，，，
故選：A
變式4．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?
由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上恒成立，
即，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以．
因?yàn)?，所以，所以?br>因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故選：D．
考點(diǎn)四：判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性
例10．（多選題）（2024·貴州黔東南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的有（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由在上是增函數(shù)，故A正確；
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在定義域上不是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
函數(shù)的定義域?yàn)?，所以在定義域上是增函數(shù)，故C正確；
，
定義域?yàn)椋?br>在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
例11．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．
【解析】由于在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增.
例12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性．
【解析】因?yàn)?，所以?br>令，，故單調(diào)遞增．
又，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
變式5．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？迹┮阎?，且，證明函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)．
【解析】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?br>所以，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?br>所以，即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；
綜上所述，函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).
考點(diǎn)五：含參數(shù)單調(diào)性討論
情形一：函數(shù)為一次函數(shù)
例13．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解析】由題意知：定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
例14．（2024·四川眉山·高二?？迹┮阎瘮?shù)．
(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．
(2)求的單調(diào)區(qū)間.
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去）或，要使在上單調(diào)遞增，則，所以.
綜上，的取值范圍為.
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
令，解得，在單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
例15．（2024·甘肅武威·高二統(tǒng)考）已知函數(shù).
(1)若曲線在x＝1處的切線與直線2x－y＋3＝0平行，求a的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解析】（1）由已知可得，.
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，即，所以.
（2）由（1）知，，的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由可得，.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，其中，.討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】由題意知：的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)
例16．（2024·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．
討論的單調(diào)性；
【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞增，所以至多有一解；
又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
例17．（2024·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>令，解得，
則有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
例18．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù) 設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】由，得，
設(shè)，
，
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
在上遞增，
②當(dāng)時(shí)，令得，
得，
在上遞減，在上遞增，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型
1、可因式分解
例19．（2024·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，所以，曲線在處的切線方程為.
（2），
①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，則(舍)或，
，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
③當(dāng)時(shí)，令，則或(舍)，
，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增
例20．（2024·廣東江門·高二?？迹┮阎瘮?shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)其求導(dǎo)得，
令，注意到的定義域?yàn)?，由此可以列出以下表格?br>因此由以上表格可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，
令，接下來對(duì)分兩種情形來討論：
情形一：當(dāng)時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增.
情形二：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合以上分析可列出以下表格：
由以上表格可知：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
例21．（2024·河北滄州·高二校考階段練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性
【解析】的定義域?yàn)椋?br>，
，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
例22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解析】的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，令，即，得；
令，即，得．
當(dāng)時(shí)，令，即，得；
令，即，得或．
當(dāng)時(shí)，在恒成立．
當(dāng)時(shí)，令，即，得；
令，即，得或．
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，．
2、不可因式分解型
例23．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性．
【解析】由題意知，定義域?yàn)椋?br>令，則.
①當(dāng)，即時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），
在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)，即時(shí)，令，解得，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
變式7．（2024·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解析】（1）因?yàn)椋缘亩x域?yàn)椋?br>則，
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，即在上恒成立，
則在上恒成立，
因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立?br>即在上恒成立，即，
因?yàn)椋?，則，
所以，則.
（2）由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，
所以；
或；
，
所以在上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù).
變式8．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性．
【解析】的定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型
例24．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明:，有；
(2)設(shè)，討論的單調(diào)性.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以.
（2）因?yàn)?
所以，
因?yàn)?，令，得或?br>若，則，時(shí)，，單調(diào)遞減；
和時(shí)，，單調(diào)遞增；
若，則，，在上單調(diào)遞增；
若，則，時(shí)，，單調(diào)遞減；
和時(shí)，，單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
例25．（2024·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性.
【解析】（1）由已知，則，
當(dāng)時(shí)，，，
則曲線在處的切線方程為，即
（2）由（1）知，，
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，由，得，
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
例26．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【解析】；
①當(dāng)時(shí)，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
過關(guān)檢測(cè)
一、單選題
1．（2024·陜西西安·高二校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】定義域?yàn)?，?br>令，解得：，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故選：A
2．（2024·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，定義域?yàn)椋?，解得，所以在上單調(diào)遞減.
故選：D.
3．（2024·重慶江北·高二重慶十八中校考）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>由題意可知：存在，使得，整理得，
且在上單調(diào)遞減，則，可得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
4．（2024·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則在區(qū)間上恒成立，所以，
故選：B．
5．（2024·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，，，即，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
6．（2024·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)B、D，
令，，
當(dāng)，，也就是在遞減，排除A，故C正確.
故選：C．
7．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，排除D．
故選：C
8．（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>且函數(shù)的定義域?yàn)?，所以是偶函?shù).
當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)，所以.
令，則.
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.
所以不等式等價(jià)于，兩邊平方得，化為，
即，解得.
所以不等式的解集為.
故選：A
二、多選題
9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）
A．在區(qū)間上是減函數(shù)
B．在區(qū)間上是減函數(shù)
C．在區(qū)間上是增函數(shù)
D．在區(qū)間上是增函數(shù)
【答案】AC
【解析】對(duì)A：由導(dǎo)函數(shù)的圖象知在區(qū)間上，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)正確；
對(duì)B、D：在區(qū)間，上分別有大于零和小于零的部分，故在區(qū)間，上不單調(diào)，故B、D項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)C：在區(qū)間上，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.
故選:AC.
10．（2024·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知，下列說法正確的是（）
A．在處的切線方程為B．的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．在處的切線方程為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】BC
【解析】對(duì)于AC，，由，得，
所以切線的斜率，所以在處的切線方程為，所以A錯(cuò)誤，C正確，
對(duì)于BD，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上遞增，在上遞減，所以B正確，D錯(cuò)誤，
故選：BC
11．（2024·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，都是單調(diào)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，令，則下列說法中一定正確的是（）
A．若，，則單調(diào)遞增B．若，，則單調(diào)遞增
C．若，，則單調(diào)遞減D．若，，則單調(diào)遞減
【答案】AD
【解析】，若，則單調(diào)遞增，故A正確；
若，則單調(diào)遞減，故D正確；
取，則滿足，，顯然是常函數(shù)，不單調(diào)遞增，故B不一定正確；
取，，則滿足，顯然是常函數(shù)，不單調(diào)遞減，故C不一定正確．
故選：AD．
12．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，，且，若，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）
A．B．C．1D．2
【答案】ABC
【解析】設(shè)，則，
由于，所以為偶函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，
故由可得，所以，
故選：ABC
三、填空題
13．（2024·上海·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上恒成立，
即，又，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【答案】
【解析】由題意得，則，又，
解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：.
15．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】.
【解析】易知，且，
即為奇函數(shù)，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故為增函數(shù)，
對(duì)于，
所以，
故答案為：.
16．（2024·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是．
【答案】
【解析】由題意可知在上恒成立，所以在上恒成立，
記，
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，故當(dāng)取極小值也是最小值，且，
故，即，所以，
故答案為：
四、解答題
17．（2024·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】（1）由題設(shè)，則，
所以且，則，，
所以點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）由（1），
當(dāng)，即或，故在區(qū)間，上遞增，
所以的增區(qū)間為，.
18．（2024·浙江杭州·高二杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（1），則
則，又，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即
（2），
則，
由可得或，
則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.
19．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，若在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∵在上為減函數(shù)，
則，∴，
∵在上為增函數(shù)，
則，∴.
綜上所述.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>∴，
①當(dāng)，即時(shí)，
得，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)，即時(shí)，
令，得，
解得，
（i）若，則，
∵，令，得，或；
令，得，
∴在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
（ii）若，則，令，得，
令，得，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增.
20．（2024·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)在點(diǎn)處切線斜率為，且．
(1)求和；
(2)試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)，
由，得
解得：．
（2）由（1）得，求導(dǎo)，
令，得，
當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
21．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值．
(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
則在處的切線斜率為，
由于在處的切線與直線平行，
則，解得，，點(diǎn)不在直線上，
所以.
（2）由于，在上單調(diào)遞增，
即為在上恒成立，即有在上恒成立，
由于在上值域?yàn)椋瑒t有，即．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

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