思維導圖
核心考點聚焦
考點一：利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)
考點二：求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)
考點三：求復合函數(shù)的導數(shù)
考點四：利用導數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)
考點五：利用導數(shù)研究曲線的切線方程（在點處與過點處）
考點六：利用導數(shù)公式求切點坐標問題
考點七：與切線有關的綜合問題
考點八：切線平行、垂直問題
考點九：最值問題
考點十：公切線問題
知識點一：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
（1）（C為常數(shù)），
（2）（n為有理數(shù)），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），，這樣的形式．
要點詮釋：
1、常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0，即（C為常數(shù)）．其幾何意義是曲線（C為常數(shù)）在任意點處的切線平行于x軸．
2、有理數(shù)冪函數(shù)的導數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的次冪的乘積，即（）．
特別地，．
3、正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函數(shù)，即．
4、余弦函數(shù)的導數(shù)等于負的正弦函數(shù)，即．
5、指數(shù)函數(shù)的導數(shù)：，．
6、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：，．
有時也把記作：
以上常見函數(shù)的求導公式不需要證明，只需記住公式即可．
知識點二：函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)
運算法則：
（1）和差的導數(shù)：
（2）積的導數(shù)：
（3）商的導數(shù)：（）
要點詮釋：
1、上述法則也可以簡記為：
（ⅰ）和（或差）的導數(shù)：，
推廣：．
（ⅱ）積的導數(shù)：，
特別地：（c為常數(shù)）．
（ⅲ）商的導數(shù)：，
兩函數(shù)商的求導法則的特例
，
當時，．
這是一個函數(shù)倒數(shù)的求導法則．
2、兩函數(shù)積與商求導公式的說明
（1）類比：，，注意差異，加以區(qū)分．
（2）注意：且．
3、求導運算的技巧
在求導數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡（可能化去了商或積），然后進行求導，可避免使用積、商的求導法則，減少運算量．
復合函數(shù)的求導法則
1、復合函數(shù)的概念
對于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復合函數(shù)．
要點詮釋：常把稱為“內層”，稱為“外層”．
2、復合函數(shù)的導數(shù)
設函數(shù)在點處可導，，函數(shù)在點的對應點處也可導，則復合函數(shù)在點處可導，并且，或寫作．
3、掌握復合函數(shù)的求導方法
（1）分層：將復合函數(shù)分出內層、外層．
（2）各層求導：對內層，外層分別求導．得到，
（3）求積并回代：求出兩導數(shù)的積：，然后將，即可得到的導數(shù)．
要點詮釋：
1、整個過程可簡記為分層——求導——回代，熟練以后，可以省略中間過程．若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量．
2、選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵．求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏．求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數(shù)．
考點剖析
考點一：利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)
例1．（2024·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)．
例2．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)．
例3．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
考點二：求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)
例4．（2024·陜西延安·高二?？计谀┣笙铝泻瘮?shù)的導數(shù)．
(1)
(2)
(3)
(4)
例5．（2024·陜西西安·高二?？计谀┣笙铝泻瘮?shù)的導數(shù)
(1)
(2)
例6．（2024·新疆喀什·高二?？计谀┣笙铝泻瘮?shù)的導數(shù)
(1)；
(2)，．
變式1．（2024·全國·高二隨堂練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式2．（2024·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導數(shù)．
(1)；
(2)；
(3)．
變式3．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．
(1)；
(2)；
(3).
考點三：求復合函數(shù)的導數(shù)
例7．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．
(1)；
(2)．
例8．（2024·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例9．（2024·全國·高二隨堂練習）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復合函數(shù)的求導法則分別求出函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
考點四：利用導數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)
例10．（2024·湖南·高二邵陽市第二中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)（是的導函數(shù)），則（ ）
A．B．C．D．
例11．（2024·河北滄州·高二泊頭市第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．D．
例12．（2024·寧夏銀川·高二校考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．
變式4．（2024·江蘇鹽城·高二校考）已知函數(shù)（是的導函數(shù)），則（ ）
A．B．1C．2D．
考點五：利用導數(shù)研究曲線的切線方程（在點處與過點處）
例13．（2024·全國·高二隨堂練習）求曲線在點處的切線的方程．
例14．（2024·新疆和田·高二?？迹┮阎瘮?shù)，點在曲線上.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
例15．（2024·陜西渭南·高二?？迹┮阎€方程
(1)求以點為切點的切線方程；
(2)求過點與曲線相切的直線方程．
變式5．（2024·北京懷柔·高二校考）已知函數(shù)
(1)求的導數(shù)；
(2)求曲線在點處的切線方程．
(3)求曲線過點的切線方程
考點六：利用導數(shù)公式求切點坐標問題
例16．（2024·高二課時練習）已知曲線的一條切線傾斜角為，則切點坐標為 ．
例17．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習）函數(shù)有一條斜率為2的切線，則切點的坐標為
例18．（2024·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考）已知A為函數(shù)圖像上一點，在A處的切線平行于直線，則A點坐標為 ．
變式6．（2024·江蘇連云港·高二校考階段練習）已知曲線在點處的切線斜率為，則當時的點坐標為
考點七：與切線有關的綜合問題
例19．（2024·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，過原點作曲線的切線，則切線的斜率為 ．
例20．（2024·四川綿陽·高二統(tǒng)考）若直線為曲線的一條切線，則實數(shù)的值為 ；
例21．（2024·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為 .
變式7．（2024·遼寧·高二鳳城市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則曲線所有的切線中斜率最小的切線方程為 ．
考點八：切線平行、垂直問題
例22．（2024·全國·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，則該切線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
例23．（2024·高二單元測試）曲線在處的切線與直線平行，則m的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
例24．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．1D．2
變式8．（2024·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A．B．C．D．
考點九：最值問題
例25．（2024·北京·高二北京一七一中校考階段練習）拋物線上的一動點到直線:距離的最小值為
例26．（2024·全國·高三專題練習）曲線上的點到直線的距離的最小值為
例27．（2024·四川瀘州·高二?？茧A段練習）若點是曲線上任意一點，則點P到直線：距離的最小值為 .
變式9．（2024·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，直線．若A，B分別是曲線和直線l上的動點，則的最小值是
考點十：公切線問題
例28．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預測）若直線與函數(shù)和的圖象都相切，則（ ）
A．B．C．D．
例29．（2024·山東臨沂·高二統(tǒng)考）已知函數(shù)，，若直線與曲線，都相切于點，則 ， ．
例30．（2024·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若一直線與曲線和曲線相切于同一點，則的值為 .
變式10．（2024·高二課時練習）已知函數(shù)，若直線l：與曲線相切，則實數(shù) ．
過關檢測
一、單選題
1．（2024·內蒙古赤峰·高三?？迹┮阎€在點處的切線與直線平行，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江蘇蘇州·高三校考階段練習）已知是奇函數(shù)，則在處的切線方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高二課時練習）函數(shù)的導數(shù)是（ ）
A．cs xB．－cs x
C．－sin xD．sin x
4．（2024·湖南長沙·高二長郡中學?？茧A段練習）函數(shù)的圖象在點處的切線方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西宜春·高二校考期末）已知，且．若在處的切線與直線垂直，則（ ）
A．B．C．D．0
6．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考）我們把分子?分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子?分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2024·湖北·高二期末）點M是曲線上的動點，則點M到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·湖北·高二期末）已知函數(shù)，則在處的導數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）下列求導運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·高二課時練習）若曲線在點處的切線方程是，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高二課時練習）已知曲線在點處的切線斜率為，則當時的點坐標為（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在R上可導，且，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2024·內蒙古赤峰·高二?？迹┣€在點處的切線方程為 ．
14．（2024·全國·高二期末）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的周長為 .
15．（2024·貴州黔東南·高二?？计谀┰O函數(shù)的導數(shù)為，且，則 ．
16．（2024·黑龍江雞西·高二校考期末）已知函數(shù)在處的切線方程為，則 ．
四、解答題
17．（2024·河北·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，且.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程.
18．（2024·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學校考階段練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)
(2)
19．（2024·安徽蕪湖·高二?？计谀┮阎€．
(1)求平行于直線且與曲線相切的直線方程；
(2)求過點且與曲線相切的直線方程．
20．（2024·高二課時練習）求下列各函數(shù)的導數(shù)．
(1)；
(2)；
(3).
21．（2024·貴州黔東南·高二?？计谀┮阎瘮?shù)與的圖像都過點，且在點處有公共切線．
(1)求的表達式；
(2)過點作曲線的切線，使切點在第三象限，求點的坐標．
22．（2024·湖南·高二邵陽市第二中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積等于曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積，試判斷與之間的關系；
(2)若，是否存在直線與曲線和都相切？若存在，求出直線的方程（若直線的方程含參數(shù)，則用表示）；若不存在，請說明理由.

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