【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假提升訓(xùn)練專題10 離散型隨機(jī)變量及其分布列（六大考點(diǎn)）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：隨機(jī)變量的概念
考點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的判斷
考點(diǎn)三：用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果
考點(diǎn)四：求離散型隨機(jī)變量的分布列
考點(diǎn)五：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用
考點(diǎn)六：兩點(diǎn)分布
1、隨機(jī)變量
隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．
定義：一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X（ω）與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．
2、離散型隨機(jī)變量
可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值．
3、隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系
隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．
4、離散型隨機(jī)變量的分布列
離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和
（1）離散型隨機(jī)變量的分布列
一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率為X的概率分布列，簡稱為分布列．
（2）可以用表格來表示X的分布列，如下表
還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．
1、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
（1）；
（2）．
2、兩點(diǎn)分布
對于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么的分布列如表所示
我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：隨機(jī)變量的概念
例1．（2024·河南周口·高二統(tǒng)考）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：
①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；
②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；
③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；
④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．
其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】對于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機(jī)變量；
對于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機(jī)變量；
對于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機(jī)變量；
對于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機(jī)變量，
所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．
故選：B．
例2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（）
A．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和
B．兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)
C．第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差
D．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)
【答案】D
【解析】A中，將一個(gè)骰子擲兩次，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量．
B中，兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量．
C中，第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，之差也都是隨機(jī)變量，
D中，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)不是一個(gè)變量，所以不是隨機(jī)變量．
故選：D.
例3．（2024·廣東茂名·高二統(tǒng)考）5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（）
A．取到產(chǎn)品的件數(shù)B．取到正品的概率
C．取到次品的件數(shù)D．取到次品的概率
【答案】C
【解析】對于A，5件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，
BD也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能為0、1、2是隨機(jī)變量.
故選：C
變式1．（2024·安徽合肥·高二合肥一中?？计谀┐杏写笮∠嗤|(zhì)地均勻的5個(gè)黑球、3個(gè)白球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（）
A．至少取到1個(gè)黑球B．取到黑球的個(gè)數(shù)
C．至多取到1個(gè)黑球D．取到的球的個(gè)數(shù)
【答案】B
【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項(xiàng)，其中A、C選項(xiàng)是事件，D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是2個(gè)為確定值，ACD錯(cuò)誤；
故選：B．
考點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的判斷
例4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）
A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和
B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間
C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)
D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性
【答案】C
【解析】對于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯(cuò)誤；
對于B，等出租車的事件是隨機(jī)變量，但無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；
對于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)是有限個(gè)或可列舉的無限多個(gè)，是離散型隨機(jī)變量，C正確；
對于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤.
故選：C.
例5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則假命題是（）
A．X取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù)
B．X取所有可能值的概率之和為1
C．X取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和
D．X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和
【答案】D
【解析】對于A，每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù)，故A為真命題；
對于B，取所有可能值的概率之和為1，故B為真命題；
對于C，X取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和，故C為真命題；
對于D, X在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和，故D為假命題.
故選:D.
例6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在下列表述中不是離散型隨機(jī)變量的是（）
①某機(jī)場候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量；
②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；
③某籃球下降過程中離地面的距離；
④某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X．
A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的
【答案】C
【解析】①②④中的隨機(jī)變量可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機(jī)變量；③中的可以取一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量.
故選：C
變式2．（2024·北京·高二期末）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（）
①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；
②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；
③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；
④某電子元件的壽命；
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【解析】對于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，故①是離散型隨機(jī)變量；
對于②，沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機(jī)變量；
對于③，某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來，故③是離散型隨機(jī)變量；
對于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，故④不是離散型隨機(jī)變量；
故選：C.
考點(diǎn)三：用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果
例7．（2024·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（）
A．2枚都是4點(diǎn)
B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)
C．2枚都是2點(diǎn)
D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)
【答案】D
【解析】A表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的其中一個(gè)結(jié)果，
B，C中表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的部分結(jié)果，
而D是代表隨機(jī)試驗(yàn)中的所有試驗(yàn)結(jié)果.
故選：D.
例8．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示（）
A．甲贏三局
B．甲贏一局
C．甲、乙平局三次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】由題意知，甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，
其中甲得3分，有兩種情況：
甲贏一局輸兩局，甲得分為3分；
甲、乙平局三次，甲得分為3分.
所以{ξ＝3}表示甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.
故選：D.
例9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）
A．第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)B．第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)
C．第一枚2點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)D．第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)
【答案】A
【解析】由題意知表示第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差，
當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)時(shí)，，滿足題意，所以選項(xiàng)A正確；
當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)時(shí)，，不滿足，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)時(shí)，，不滿足，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
當(dāng)?shù)谝幻?點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)時(shí)，，不滿足，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：A
變式3．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行7局4勝制比賽，則最終甲獲勝時(shí)兩人比賽的局?jǐn)?shù)記為X，則表示的含義為（）
A．共進(jìn)行了5局比賽，甲贏了前四局
B．共進(jìn)行了5局比賽，其中甲贏了第五局，且前四局甲贏了其中3局
C．共進(jìn)行了5局比賽，甲贏了其中4局
D．共進(jìn)行了7局比賽，甲贏了其中4局
【答案】B
【解析】7局4勝制比賽就是誰先打贏四局誰就獲勝.
由于甲獲勝時(shí)兩人比賽的局?jǐn)?shù)記為X且，說明一共比賽五局，
甲獲勝說明甲贏得了其中的四局且第五局必贏，這樣就是前四局中甲輸了一局，即前四局甲贏了其中3局，
所以選項(xiàng)B正確.
故選：B
考點(diǎn)四：求離散型隨機(jī)變量的分布列
例10．（2024·全國·高二課堂例題）全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績?nèi)缦拢?br>現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績，求隨機(jī)變量X的分布列．
【解析】由題意可得，，
，，
，．
因此，隨機(jī)變量X的分布列是
例11．（2024·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？迹熬G水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí)，高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組，分為兩組討論學(xué)習(xí).甲組一共有人，其中男生人，女生人；乙組一共有人，其中男生人，女生人.現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競賽.
(1)設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中，要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須來自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；
(2)用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列.
【解析】（1）.
（2）可能取值為，
，
，
，
，
的分布列為
例12．（2024·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用X表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)．
(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；
(2)求甲取到白球的概率．
【解析】（1）設(shè)袋中原有個(gè)白球，
由題意知，，
可解得：或（舍去），即袋中原有3個(gè)白球．
（2）由題意，的可能取值為.
，
，
，
，
，
因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在?次、第3次和第5次取球，記“甲取到白球”為事件，
則.
變式4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列.
【解析】（1）甲學(xué)校獲得冠軍,需要在3場比賽中至少獲勝2場，
甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，
甲學(xué)校3場全勝，概率為：，
甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：，
所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
考點(diǎn)五：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用
例13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：
則，．
【答案】 / /
【解析】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，可得，解得，
所以.
故答案為：；
例14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量服從二點(diǎn)分布，，則 .
【答案】/
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二點(diǎn)分布，且，
可得，可得.
故答案為：.
例15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的概率分布中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：
則等于 .
【答案】/
【解析】由概率分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量的所有取值的概率和為1，
則.
故答案為: .
變式5．（2024·貴州遵義·高二統(tǒng)考）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則m的值為 .
【答案】/
【解析】依題意，，整理得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，，，，符合題意，
所以m的值為.
故答案為：
考點(diǎn)六：兩點(diǎn)分布
例16．（2024·全國·高二課堂例題）從裝有個(gè)白球和個(gè)紅球的口袋中任取個(gè)球，用表示“取到的白球個(gè)數(shù)”，則的取值為或，即，求隨機(jī)變量的概率分布．
【解析】由題意知，，
故隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示：
例17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)品．顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列．
【解析】抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有1和0兩種情況．
，
則.
因此X的分布列為：
例18．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）擲一顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù).
(1)求點(diǎn)數(shù)X的分布；
(2)只關(guān)心點(diǎn)數(shù)6是否出現(xiàn).若出現(xiàn)，則記，否則記.求Y的分布.
【解析】（1）因?yàn)閿S得每個(gè)點(diǎn)數(shù)為等可能事件，所以點(diǎn)數(shù)X的分布為．
（2）因?yàn)?，而，所以Y的分布為．
變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）袋中有除顏色外都相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從中摸出2個(gè)球，如果只關(guān)心摸出兩個(gè)紅球的情形，問如何定義隨機(jī)變量X，才能使X滿足兩點(diǎn)分布，并求分布列．
【解析】從含有10個(gè)紅球，5個(gè)白球的袋中摸出2個(gè)球，其結(jié)果是隨機(jī)的，可能是一紅一白、兩紅、兩白三種情況，為此我們定義隨機(jī)變量如下：
當(dāng)時(shí)，兩個(gè)球非全紅；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)球全紅.
則X顯然服從兩點(diǎn)分布，且，.
∴X的分布列為：
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：
則下列各式正確的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】＋＋＋＝，A錯(cuò)誤；
＋＝，B錯(cuò)誤；
，C正確；
＋＝，D錯(cuò)誤.
故選：C
2．（2024·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？迹┰O(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，．
故選：A．
3．（2024·重慶·高二統(tǒng)考期末）下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可得：，解得.
故選：C.
4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列表中能稱為隨機(jī)變量X的分布列的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】對于A，由，故A錯(cuò)誤；
對于B，由，故B錯(cuò)誤；
對于C，由，故C正確；
對于D，由，故D錯(cuò)誤.
答案：C
5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某袋中裝有大小相同的10個(gè)紅球，5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球，若取到黑球，則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?，若抽取的次?shù)為X，則表示“放回5個(gè)球”的事件為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】第一次取到黑球，則放回1個(gè)球；第二次取到黑球，則放回2個(gè)球……共放了五回，第六次取到了紅球，試驗(yàn)終止，故.
故選：C
6．（2024·貴州遵義·高二統(tǒng)考）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊?，第個(gè)球?yàn)榧t球，
此時(shí)，
則．
故選：A．
7．（2024·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？迹┰O(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)可得，
即，解得或，
時(shí)，不合題意，
．
故選：B．
8．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為，隨機(jī)變量滿足，，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足，
所以，
也即，又因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，
所以，則有，，，
所以，則，
，，
因?yàn)?，所以，解得?br>故選：.
二、多選題
9．（2024·河南周口·高二校聯(lián)考）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為
則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．B．若，則
C．若，則D．
【答案】ABD
【解析】對于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確；
對于B中，若，可得，則，故B正確；
對于C中，由概率的定義知，所以C不正確；
對于D中，由，，則，所以D正確．
故選：ABD.
10．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）給出下列四個(gè)命題正確的是（）
A．某次數(shù)學(xué)考試前，其中一個(gè)考場30名考生中做對選擇題第12題的人數(shù)是隨機(jī)變量
B．黃河每年的最大流量是隨機(jī)變量
C．某體育館共有6個(gè)出口，散場后從某一出口退場的人數(shù)是隨機(jī)變量
D．方程根的個(gè)數(shù)是隨機(jī)變量
【答案】ABC
【解析】選項(xiàng) ABC對應(yīng)的量都是隨機(jī)的實(shí)數(shù)，故正確；
選項(xiàng)D中方程的根有2個(gè)是確定的，不是隨機(jī)變量．
故選：ABC.
11．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為（），其中是常數(shù)，則（）
A．B．
C． D．以上均不正確
【答案】ABC
【解析】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，
則，解得，
則.
故選：ABC.
12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：
若，則實(shí)數(shù)的值可以是（）
A．5B．7
C．9D．10
【答案】ABC
【解析】由隨機(jī)變量的分布列，知：
的可能取值為，
且，
，
，
，
則，.
若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：ABC.
三、填空題
13．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下：
則 .
【答案】/
【解析】由分布列的性質(zhì)知：，
則，解得：，即.
故答案為：.
14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量的取值范圍是{1，2，3，4，5}，且．則Y的取值范圍是．
【答案】{3，5，7，9，11}
【解析】因?yàn)榈娜≈捣秶莧1，2，3，4，5}，
且，
所以的取值范圍是{3，5，7，9，11}．
故答案為：{3，5，7，9，11}
15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）連續(xù)不斷地射擊某一目標(biāo)，首先擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是．
【答案】前次未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo)
【解析】由于隨機(jī)變量表示首次擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，
表示前次均未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo)，
故表示的試驗(yàn)結(jié)果為前次未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo)．
故答案為：前次未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo).
16．（2024·上?！じ叨谀?名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則等于 .
【答案】/0.8
【解析】∵從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，
∴.
故答案為：．
四、解答題
17．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2，3需要調(diào)整的概率分別為0.1，0.2，0.2，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立．
(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；
(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．
【解析】（1）部件1，2都不需要調(diào)整的概率為，
則部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為P＝1－0.72＝0.28；
（2）由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且
，
，
，
，
18．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
(1)求隨機(jī)變量的分布列；
(2)求隨機(jī)變量的分布列.
【解析】（1）由分布列的性質(zhì)知：，解得，
列表為
即隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，
可得，
，
，
故的分布列為
（2）列表得
即隨機(jī)變量的可能取值為0，1，4，9，16.
從而的分布列為
19．（2024·上海寶山·高二上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200km，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如下表所示：
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率.
【解析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合分布列的性質(zhì)，可得：
，解得.
（2）事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4，事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5，事件為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及以上，
則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為，因?yàn)槭录コ猓?br>所以，
所以至少遇到4個(gè)紅燈的概率為.
20．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）某食堂為了了解同學(xué)們在高峰期打飯的時(shí)間，故安排一名食堂阿姨隨機(jī)收集了在食堂某窗口打飯的100位同學(xué)的相關(guān)數(shù)據(jù)(假設(shè)同學(xué)們打飯所用時(shí)間均為下表列出時(shí)間之一)，如下表所示.
已知這100位同學(xué)的打飯時(shí)間從小排到大的第65百分位數(shù)為17.5秒．
(1)確定x，y的值；
(2)若各學(xué)生的結(jié)算相互獨(dú)立，記X為該窗口開始打飯至20秒末已經(jīng)打飯結(jié)束的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列．(注：將頻率視為概率)
【解析】（1）因?yàn)榈?5百分位數(shù)為17.5＝，所以，
所以.
（2）由已知得打飯時(shí)間為10秒的概率為，打飯時(shí)間為15秒的概率為，
打飯時(shí)間為20秒的概率為，打飯時(shí)間為25秒的概率為，
由題可知X的可能取值為0，1，2，
∴，，，
∴分布列如下：
21．（2024·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知新高考數(shù)學(xué)共4道多選題，評分標(biāo)準(zhǔn)是每題滿分5分，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯(cuò)選或不選的得0分．每道多選題共有4個(gè)選項(xiàng)，正確答案往往為2項(xiàng)或3項(xiàng). 為了研究多選題的答題規(guī)律，某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：多選題正確答案是“選兩項(xiàng)”的概率為，正確答案是“選三項(xiàng)”的概率為.現(xiàn)有學(xué)生甲、乙兩人，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很差，多選題完全沒有思路，只能靠猜.
(1)已知某題正確答案是“選兩項(xiàng)”，求學(xué)生甲不得0分的概率；
(2)學(xué)生甲的答題策略是“猜一個(gè)選項(xiàng)”，學(xué)生乙的策略是“猜兩個(gè)選項(xiàng)”，試寫出甲、乙兩名學(xué)生得分的分布列.
【解析】（1）某題正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下，他不得0分的情況有兩種：
①只選一個(gè)選項(xiàng)得2分的概率為：;
②選兩個(gè)選項(xiàng)，得5分的概率為：;
所以某題正確答案是“選兩項(xiàng)”的條件下，學(xué)生甲不得0分的概率為：;
（2）結(jié)合題意：設(shè)學(xué)生甲得分為,則的可能取值為，
;
;
學(xué)生甲得分的分布列為:
設(shè)學(xué)生乙得分為,則的可能取值為，
;
;
;
學(xué)生乙得分的分布列為:
22．（2024·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)嘗試運(yùn)用所學(xué)的概率知識(shí)研究如下游戲規(guī)則設(shè)置：游戲在兩人中進(jìn)行，參與者每次從裝有3張空白券和2張獎(jiǎng)券的盒子中輪流不放回地摸出一張，規(guī)定摸到最后一張獎(jiǎng)券或能判斷出哪一方獲得最后一張獎(jiǎng)券時(shí)游戲結(jié)束，能夠獲得最后一張獎(jiǎng)券的參與者獲勝.
(1)設(shè)游戲結(jié)束時(shí)參與雙方摸券的次數(shù)為X，求X的所有可能的取值及對應(yīng)的概率；
(2)從勝負(fù)概率的角度，判斷游戲規(guī)則設(shè)置是否公平.
【解析】（1）依題意，的可能取值為，，，
所以，，
.
（2）將每張空白券簡記為“白”，將每張獎(jiǎng)券簡記為“獎(jiǎng)”，率先摸券的一方獲勝，包括以下兩種情況：
雙方共摸券3次，出現(xiàn)“獎(jiǎng)白獎(jiǎng)”，“白獎(jiǎng)獎(jiǎng)”，“白白白”這三種情形，
對應(yīng)的概率為；
雙方共摸券4次，出現(xiàn)的恰好是“三白一獎(jiǎng)且前三次必定出現(xiàn)一次獎(jiǎng)券”，
對應(yīng)的概率為；
故先摸券的一方獲勝的概率，而，
所以這場游戲不公平.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
0
1
分?jǐn)?shù)
0
1
2
3
4
5
人數(shù)
0
1
3
12
20
4
X
0
1
2
3
4
5
P
0
0.025
0.075
0.3
0.5
0.1
0
1
2
3
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
1
2
3
P
m
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
x
0.10
y
0.20
0
1
2
3
0
1
X
0
1
P
X
0
1
P
ξ
－1
0
1
2
3
P
X
3
4
5
9
P
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
X
1
2
3
P
0.4
0.7
X
0
1
P
0.3
0.4
0.3
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4

1
2
4
6
0.2
0.1
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
0
1
2
3
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
1
0
1
2
3
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
X
0
1
2
3
4
0
1
4
9
16
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
遇到紅燈個(gè)數(shù)
0
1
2
3
4
5
6個(gè)及6個(gè)以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
學(xué)生數(shù)(人)
x
25
y
10
打飯時(shí)間(秒/人)
10
15
20
25
X
0
1
2
P
0.1
0.74
0.16

0
2

0
2
5

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