【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假提升訓(xùn)練專題05 導(dǎo)數(shù)的綜合問題（九大考點）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點聚焦
考點一：構(gòu)造函數(shù)解不等式問題
考點二：證明不等式
考點三：恒成立問題
考點四：能成立問題
考點五：零點問題
考點六：方程的根問題
考點七：雙變量問題問題
考點八：實際應(yīng)用問題
考點九：極值點偏移問題
1、恒成立問題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担抑涤驗?，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
2、破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．
3、函數(shù)零點問題的常見考點：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍．
求解步驟：
第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù)．
1、極值點偏移的相關(guān)概念
所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往．如下圖所示．

圖1 極值點不偏移圖2 極值點偏移
極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏．
2、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．
（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題
（6）同構(gòu)變形
考點剖析
考點一：構(gòu)造函數(shù)解不等式問題
例1．（2024·陜西西安·高二統(tǒng)考）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，且對于任意的有．請你試用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，，則，
故在上單調(diào)遞增，
而，故，故是偶函數(shù)，
故，
即，
故A正確，BCD錯誤，
故選：A．
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且滿足恒成立，常數(shù)則下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增．
，
，即．
故選：A
例3．（2024·湖北武漢·高二武漢市育才高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知定義域為的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，
因為定義域為的奇函數(shù)，則過點，且，則過點，
由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，畫出示意圖如下：
或，
故選：D.
考點二：證明不等式
例4．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）證明以下不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）令，則有.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，即.
所以.
（2）令，則.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以.
（3）由（1）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）①.
由（2）得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）②
因為①式與②式取等號的條件不同，所以.
例5．（2024·全國·高二專題練習(xí)）當(dāng)時，證明：不等式.
【解析】設(shè)，其中，則，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，
故對任意的，.
例6．（2024·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)證明:對于任意的正整數(shù),不等式成立.
【解析】（1）,
為的極值點,
.
當(dāng)時,,
,
令,當(dāng),
的增區(qū)間是,減區(qū)間是,
符合題意.
（2）由（1）知當(dāng)時,,即,
令,則,即,
,
即.
考點三：恒成立問題
例7．（2024·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)其中為常數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，，則
，，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
（2）的定義域為，
由，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
（3）由（2）可知當(dāng)取得最大值，
因為對任意，不等式恒成立，
所以，即，，
解得或，
即的取值范圍為.
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為．
(1)求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1），
，
函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）可得：，．
令，則，
所以當(dāng)變化時，的變化情況如下：
由表格可知：當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，，又．
函數(shù)在上的最大值為8．
由，不等式恒成立，．
，
解得或．
的取值范圍是．
例9．（2024·陜西榆林·高二?？迹┮阎瘮?shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，，則，
令，得，令，得
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的極大值為，無極小值；
（2）
當(dāng)，，則是增函數(shù).
當(dāng)時，則是減函數(shù)，
∴的最大值為，
∵恒成立，
∴，解得，
∴的取值范圍為.
考點四：能成立問題
例10．（2024·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的極小值.
(2)存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時，則，令，得．
時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
所以函數(shù)的極小值為.
（2）由題設(shè)，在上，
設(shè)，則，顯然當(dāng)時恒成立，
所以在單調(diào)遞增，則，
綜上，，故．
例11．（2024·重慶銅梁·高二銅梁一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù).
（1）試確定的值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意，不等式有解，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意知，因此，從而．
由題意求導(dǎo)得，因此，解得；
（2）由（1）知．令，解得．
因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，而的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（3）由（2）知，在處取得極大值，此極大值也是最最值．
要使（）有解，只需．
即，從而．
解得．
所以的取值范圍為.
例12．（2024·陜西西安·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若，求曲線在處切線的方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.
【解析】（1）由已知，
，
曲線在處切線方程為，即.
（2）.
①當(dāng)時，由于，故，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
②當(dāng)時，由，得.
在區(qū)間上，，在區(qū)間上，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）由已知，轉(zhuǎn)化為，
由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的極大值即為最大值，，
所以，
解得.
考點五：零點問題
例13．（2024·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知a，b為實數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．
(1)求a，b的值；
(2)證明：函數(shù)有唯一零點．
【解析】（1）因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，，
因此，恒成立，所以.
（2）由（1）知，，，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)至多有一個零點，
又，所以函數(shù)有唯一零點．
例14．（2024·四川資陽·高二?？迹┮阎魏瘮?shù)的極大值是，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示，求
(1)，，的值；
(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．
【解析】（1）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，
于是有，
由，
所以有；
（2）由（1）函數(shù)的極小值為，極大值為，
而知函數(shù)的圖象如下圖所示
因為函數(shù)有三個零點，
所以函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
所以.
例15．（2024·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恰有一個零點，求a的值．
【解析】（1），
令，得．
因為，則，即原方程有兩根設(shè)為
，所以（舍去），．
則當(dāng)時，，當(dāng)時，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
（2）由（1）可知．
①若，則，即，可得，
設(shè)，在上單調(diào)遞減
所以至多有一解且，則，
代入解得．
②若，則，即，可得，
結(jié)合①可得，
因為，，
所以在存在一個零點．
當(dāng)時，，
所以在存在一個零點．因此存在兩個零點，不合題意
綜上所述：．
考點六：方程的根問題
例16．（2024·四川樂山·高二期末）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)求方程有兩個不同的根，求的取值范圍．
【解析】（1）∵，
∴的定義域為，，
令，解得．
則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
∴當(dāng)時，有極小值，沒有極大值.
（2）∵時，，時，，
則的圖象如下：
由圖象可知，當(dāng)時，方程有兩個不同的根.
故的取值范圍為．
例17．（2024·北京大興·高二統(tǒng)考）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)比較的大小，并畫出的大致圖像；
(3)若關(guān)于的方程有實數(shù)解，直接寫出實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）的定義域為，，
于是時，單調(diào)遞增；
時，單調(diào)遞減，
又，則在處取到極小值，無極大值.
（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減．故．
又因為當(dāng)時，，故，所以．
因為，所以．結(jié)合（1）中的單調(diào)性，大致圖像如下：
（3）的解的個數(shù)可以看成和直線在同一坐標(biāo)系下圖像交點的個數(shù)，
由（2）的圖像知，當(dāng)?shù)娜≈挡恍∮谧钚≈导纯?，?br>例18．（2024·北京·高二北京市第三十五中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
(3)若方程有三個根，寫出k的取值范圍（無需解答過程）.
【解析】（1）,
令可得或，
令可得，
故函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.
（2）由（1）知，上遞增，在遞減，
故當(dāng)時，，
又，故.
（3）由（1）（2）知函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，且極大值為，極小值為，
若方程有三個根，即與圖象有3個交點，
故k的取值范圍為.
考點七：雙變量問題問題
例19．（2024·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由，
若，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，
若，令得，即在上單調(diào)遞增，
令得，即在上單調(diào)遞減，
綜上所述當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由（1）得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨近于時，趨近于，不符合題意，
故，則，
所以，
令，
顯然當(dāng)時，，時，，故在時單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，即，
所以，即
例20．（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考階段練習(xí)）已知，函數(shù)．
(1)當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為0時，求實數(shù)的值；
(2)當(dāng)時，若，求證：
【解析】（1），定義域均為，
，
當(dāng)時，則，在單調(diào)遞增，無極值，與題不符；
當(dāng)時，令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
又，
當(dāng)時：，在單調(diào)遞減，無極值，與題不符；
當(dāng)時：令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
依題意，
解得：，
（2）當(dāng)時，，
由題意可知，，兩式相減得，
整理為，
要證明，即證明，
不妨設(shè)，即證明，即，
設(shè)，即證明，
設(shè)，
，
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，
即在區(qū)間恒成立，即,
即，得證.
例21．（2024·吉林長春·高二長春市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)對任意的、，當(dāng)時都有，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)定義域為，.
當(dāng)時，對任意的，，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時，由得，由得.
此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）由，即.
令，
因為，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，在上恒成立，即在上恒成立，
只需，
設(shè)，，在單調(diào)遞增，所以.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
考點八：實際應(yīng)用問題
例22．（2024·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知某商品的成本和產(chǎn)量滿足關(guān)系（元），該商品的銷售單價和產(chǎn)量滿足關(guān)系式（元），記該商品的利潤為（假設(shè)生產(chǎn)的商品能全部售出，利潤=銷售額-成本）．
(1)將利潤（元）表示為產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少萬元？
【解析】（1）由題意可知，
，
（2）因為，由，解得．
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時，取得最大值，且最大值為315萬元．
答：當(dāng)產(chǎn)量為200時，可獲得最大利潤為315萬元．
例23．（2024·全國·高二專題練習(xí)）為進一步推進國家森林城市建設(shè)，我市準備制定生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列兩個條件：①每年用于風(fēng)景區(qū)改造的費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；②每年用于風(fēng)景區(qū)改造的費用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的，但不得高于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的.若每年改造生態(tài)環(huán)境的總費用至少億元，至多億元；請你分析能否采用函數(shù)模型作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案．
【解析】因為，，
所以當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，滿足條件①.
設(shè)，
則
令，得.
當(dāng)變化時，，的變化情況，如下表：
當(dāng)時，有最小值為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，滿足條件②.
所以能采用函數(shù)模型作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案．
考點九：極值點偏移問題
例24．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.
【解析】（1），
該方程有兩個不等實根，由，
所以直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，
由，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此，
當(dāng)時，，當(dāng)，，
如下圖所示：
所以要想有兩個不同交點，只需，即的取值范圍為；
（2）因為是函數(shù)的兩個極值點，
所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，
要證明，只需證明，顯然，
由（2）可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以只需證明，
而，所以證明即可，
即證明函數(shù)在時恒成立，
由，
顯然當(dāng)時，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有，所以當(dāng)時，恒成立，因此命題得以證明.
例25．（2024·四川南充·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，記，當(dāng)時，若方程有兩個不相等的實根，求證：．
【解析】（1）的定義域為，
.
令，則得到導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，或，由于分母為正，
故我們只關(guān)注分子函數(shù)，其為二次函數(shù)，借助其圖像，
以兩個零點的大小關(guān)系為分類標(biāo)準得到如下：
①當(dāng)時，即時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，即時，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；
當(dāng)時，只有單增區(qū)間；
（2）由題可知，，
設(shè)是方程的兩個不等實根，不妨設(shè)為，
則，兩式相減整理得到
，從而得到，
要證，故只需要證明，
由于，
轉(zhuǎn)化為，
即，即，
令，則上述式子轉(zhuǎn)化為
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故在上單調(diào)遞增，故有，
故得證，
即.
例26．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)是兩個不相等的實數(shù)，且．求證：
【解析】（1）當(dāng)時，，
因為，所以，即，不符合題意；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以．
由恒成立可知，所以．
又因為，所以的取值范圍為．
（2）因為，所以，即．
令，由題意可知，存在不相等的兩個實數(shù)，，使得．
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
不妨設(shè)，則．
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即在區(qū)間上恒成立．
因為，所以．
因為，所以．
又因為，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即．
過關(guān)檢測
1．（2024·陜西西安·高二校考）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是．若恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，
則，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增，
因為，所以關(guān)于的不等式
可轉(zhuǎn)化為，即，
因為，所以，
即不等式的解集為.
故選：A
2．（2024·湖北·高二校聯(lián)考）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于x的不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
，
因為，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
所以，
解得
所以.
故選：B
3．（2024·陜西商洛·高二校考）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時，證明：不等式在上恒成立．
【解析】（1）當(dāng)時，，則，令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取得最小值為．
（2），且，，
設(shè)，，，，
故在上恒成立，故單調(diào)遞增，，
故在上單調(diào)遞增，恒成立．
4．（2024·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，證明：不等式.
【解析】（1）定義域為，，
①若恒成立，即恒成立，因為，所以恒成立，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，即時，在上是單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，則的根為，，
由，得，，由，得或，，得.∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，時，在上是單調(diào)遞增；
時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
（2）要證，只須證.
∵，即證.
法一：∵，∴只需證，
則，令，恒成立，
∴在上單調(diào)遞增，又，.
∴使，即，∴.
當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴.
∴，得證.
法二：令，只須證.
，令，則.∵，∴，∴在上單調(diào)遞增.
又∵，而，∴，使，∴，即.
∵，在上單調(diào)遞增，∴，即，
又知，知.當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，得證.
5．（2024·安徽蕪湖·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)在與處都取得極值．
（1）求，的值；
（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由題設(shè)，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
當(dāng)時，，隨的變化情況如下表：
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，為極大值，又，則為在上的最大值，
要使對任意恒成立，則只需，解得或，
∴實數(shù)的取值范圍為．
6．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值(參考數(shù)據(jù)：)；
（2）若不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）求導(dǎo)得：，令可得，令可得
，于是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
于是當(dāng)時，取最大值為，
又，，于是當(dāng)時，取最小值為
綜上：當(dāng)時，取最大值為，當(dāng)時，取最小值為
（2）原不等式即為：，可化簡為
記，則原不等式有解可轉(zhuǎn)化為的最大值
求導(dǎo)得：，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
于是：，于是，解得：.
7．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因為，所以，
所以當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又，，
因為函數(shù)在上有兩個不同的零點，
所以，即，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
8．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)方程恰有兩個不同的實根，求的取值范圍.
【解析】（1）依題意，，
，
所以，又，所以切線方程為.
（2）因為，
所以：
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減.
所以在處取得極大值也即是最大值，
對于函數(shù)，
，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以的取值范圍是.
9．（2024·廣東揭陽·高二惠來縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時，，則定義域為，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）定義域為，，
有兩個極值點等價于在上有兩個不等實根，
，，，，
；
設(shè)，
則，
在上單調(diào)遞減，，
即，
的最小值為.
10．（2024·高二單元測試）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：m），其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計要求容器的體積為m3.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱體部分每平方米建造費用為3萬元，半球體部分每平方米建造費用為4萬元．設(shè)該容器的總建造費用為y萬元．
(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；
(2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用．
【解析】（1）由題意可知，，∴，
又圓柱的側(cè)面積為，兩端兩個半球的表面積之和為，
所以，
又，，
所以定義域為.
（2）因為，
所以令，得，令，得，
又定義域為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)米時，該容器的建造費用最小，為萬元，此時m.
11．（2024·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某汽車公司生產(chǎn)一種品牌汽車，上年度成本價為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5萬輛．本年度公司為了進一步擴大市場占有量，計劃降低成本，實行降價銷售．設(shè)本年度成本價比上年度降低了，本年度出廠價比上年度降低了．
(1)若本年度年銷售量比上年度增加了倍，問在什么取值范圍時，本年度的年利潤比上年度有所增加？
(2)若本年度年銷售量關(guān)于的函數(shù)為，則當(dāng)為何值時，本年度年利潤最大？
【解析】（1）本年度年利潤為．
要使本年度的年利潤比上年度有所增加，則有．
解得．
（2）本年度年利潤為
．
令，解得．又．
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
故當(dāng)時，取得最大值，即當(dāng)時，本年度的年利潤最大．
12．（2024·河南平頂山·汝州市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點．
(1)求a的取值范圍；
(2)設(shè)是的兩個零點，證明：．
【解析】（1）由，得，
設(shè)，則，，
因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因為，所以，
，
，
所以a的取值范圍是．
（2）證明：不妨設(shè)，
由（1）知，則，，，
又在上單調(diào)遞增，
所以等價于，即．
設(shè)，
則．
設(shè)，則，
設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又因為，，，
所以存在，使得，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因為，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
因為，所以，
所以，即原命題得證．
13．（2024·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)若有兩個不同的零點，求a的取值范圍，并證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，，定義域為
令，則
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，所以，得；
（2）因為有兩個不同的零點，則在定義域內(nèi)不單調(diào)；
由
當(dāng)時，在恒成立，則在上單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時，在上有，在上有，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設(shè)
令
則
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增
所以
故，因為
所以，又，
則，又在上單調(diào)遞減，
所以，則．
，
0
2
，
0
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
1
＋
0
－
極大值



1
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增

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