【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假提升訓(xùn)練專題11 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（六大考點(diǎn)）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值
考點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)
考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用
考點(diǎn)四：求離散型隨機(jī)變量的方差
考點(diǎn)五：方差的性質(zhì)的應(yīng)用
考點(diǎn)六：均值與方差的綜合應(yīng)用
1、離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望
正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為
則稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．
2、兩點(diǎn)分布的期望
一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么；
3、離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
設(shè)X的分布列為．
一般地，下面的結(jié)論成立：．
4、離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
考慮所有可能取值與的偏差的平方，因?yàn)閄取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機(jī)變量X取值與其均值的偏離程度，我們稱
為隨機(jī)變量的方差，有時也記為，并稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為．
幾個常見的結(jié)論
（1）．
（2）若服從兩點(diǎn)分布，則．
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值
例1．（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下表：則數(shù)學(xué)期望等于（）
A．B．C．D．
例2．（2024·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則X的數(shù)學(xué)期望（）
A．B．2C．D．3
例3．（2024·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有10張獎券，8張2元的、2張5元的，某人從中隨機(jī)抽取3張，則此人得獎金額的均值是（）
A．6B．7.8
C．9D．12
變式1．（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考）已知隨機(jī)變量X的分布列如下所示，則（）
A．2B．3C．4D．5
考點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)
例4．（2024·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)的分布列如圖，又，則 .
例5．（2024·高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的概率分布為
若，且，則．
例6．（2024·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：若離散型隨機(jī)變量，則．
變式2．（2024·高二課時練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的期望為，則．
變式3．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為：
已知，則 .
考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用
例7．（2024·江西鷹潭·高二貴溪市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某校在一次慶?；顒又校O(shè)計(jì)了一個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個套圈，向，兩個目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標(biāo)連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)累計(jì)得分發(fā)放獎品．已知小明每投擲一次，套中目標(biāo)的概率為，套中目標(biāo)的概率為，假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立，累計(jì)得分記為．
(1)求小明恰好套中2次的概率；
(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
例8．（2024·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)?？计谀┠掣咝Ｔ诮衲甑淖灾髡猩荚囍兄贫巳缦碌囊?guī)則：筆試階段，考生從6道備選試題中一次性抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題，至少正確完成其中2道試題則可以進(jìn)入面試．已知考生甲能正確完成6道試題中的4道題，另外2道題不能完成．
(1)求考生甲能通過筆試進(jìn)入面試的概率；
(2)記所抽取的三道題中考生甲能正確完成的題數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
例9．（2024·高二課時練習(xí)）某地最近出臺一項(xiàng)機(jī)動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的均值．
變式4．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”，某中學(xué)舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動.為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在，的數(shù)據(jù)）.

(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
(2)在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取4名學(xué)生參加“中國漢字聽寫大會”，設(shè)隨機(jī)變量X表示所抽取的4名學(xué)生中得分在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
考點(diǎn)四：求離散型隨機(jī)變量的方差
例10．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（）
A．B．C．D．
例11．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？迹┮阎姆植剂腥缦卤硭?，設(shè)，則的值為（）
A．B．C．D．
例12．（2024·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則（）
A．2B．3C．4D．5
變式5．（2024·高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：
若，則的最小值等于（）
A．0B．2
C．1D．
考點(diǎn)五：方差的性質(zhì)的應(yīng)用
例13．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考）已知隨機(jī)變量的分布列如表：
若，則．
例14．（2024·高二課時練習(xí)）隨機(jī)變量的取值為，若，，則．
例15．（2024·海南?？凇じ叨Ｄ现袑W(xué)?？计谀┰O(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若，，且的均值為5，則方差為 .
變式6．（2024·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件數(shù)，則；若將抽出的產(chǎn)品送往專門的檢測部門檢測，且檢測費(fèi)用Y元與二等品件數(shù)X滿足：，則
變式7．（2024·高二課時練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量滿足為非零常數(shù))，若，則，．
考點(diǎn)六：均值與方差的綜合應(yīng)用
例16．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖是2023年11月1日到11月20日，某地區(qū)甲流疫情新增數(shù)據(jù)的走勢圖．
(1)從這20天中任選1天，求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過100的概率；
(2)從新增確診的人數(shù)超過100的日任選兩天，用表示新增確診的人數(shù)超過140的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)記每天新增確診的人數(shù)為，每天新增疑似的人數(shù)，根據(jù)這20天統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試判斷與的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．
例17．（2024·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．
例18．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）袋中有形狀、大小完全相同的3個球，編號分別為1，2，3.用表示取出的2個球中的最大號碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個球
(1)寫出的分布列；
(2)求的均值與方差.
變式8．（2024·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考）不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的個紅球，個白球，若從中不放回地取出個球，在第一個取出的球是紅球的前提下，第二個取出的球是白球的概率為．
(1)求白球的個數(shù)；
(2)若有放回的取出兩個球，記取出的紅球個數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）有兩個隨機(jī)變量和，它們的分布列分別如下表：
則關(guān)于它們的期望，和它們的方差和，下列關(guān)系正確的是（）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
2．（2024·陜西渭南·高二合陽縣合陽中學(xué)?？计谀┮阎S機(jī)變量的分布列如下，則（）
A．3B．9C．27D．11
3．（2024·浙江嘉興·高二校聯(lián)考）已知的分布列為
則下列說法錯誤的是（）
A．B．
C．D．
4．（2024·山東濟(jì)寧·高二嘉祥縣第一中學(xué)?？迹┤綦S機(jī)變量的分布列為
且，則的值為（）
A．B．C．D．
5．（2024·高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：
則的均值是（）
A．2B．2.1
C．2.3D．隨的變化而變化
6．（2024·高二單元測試）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù).若，則隨機(jī)變量X的均值（）
A．B．
C．D．
7．（2024·高二課時練習(xí)）若離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，則隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為（）
A．8B．15
C．16D．32
8．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示.
則（）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列
表2 股票乙收益的分布列
關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．投資股票甲的期望收益較大D．投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險高
10．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為
若隨機(jī)變量，，，則下列選項(xiàng)正確的為（）
A．B．C．D．
11．（2024·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．B．C．D．
12．（2024·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）編號為1，2，3的三位學(xué)生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是，則（）
A．的所有取值是1，2，3B．
C．D．
三、填空題
13．（2024·山東德州·高二校考期末）體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是
14．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？迹┮阎x散型隨機(jī)變量的概率分布如下表，則其數(shù)學(xué)期望；
15．（2024·福建福州·高二校聯(lián)考）隨機(jī)變量的概率分布列如下：
其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的期望，則其方差＝．
16．（2024·高二課時練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃．已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，則ξ的方差為．
四、解答題
17．（2024·北京豐臺·高二統(tǒng)考期末）2023年4月18日至27日，第二十屆上海國際汽車工業(yè)展覽會在上海國家會展中心舉行，本次展會以“擁抱汽車行業(yè)新時代”為主題在今年的展會中，社會各界不僅能看到中國市場的強(qiáng)大活力，也能近距離了解各國產(chǎn)汽車自主品牌在推動“智電化”和可持續(xù)發(fā)展進(jìn)程中取得的最新成果，為了解參觀者對參展的某款國產(chǎn)新能源汽車的滿意度，調(diào)研組從這款新能源汽車的參觀者中隨機(jī)抽取了50名參觀者作為樣本進(jìn)行問卷測評，記錄他們的評分，問卷滿分100分.問卷結(jié)束后，將數(shù)據(jù)分成6組：，并整理得到如下頻率分布直方圖.

(1)求圖中的a的值；
(2)在樣本中，從分?jǐn)?shù)在60分以下的參觀者中隨機(jī)抽取3人，用X表示分?jǐn)?shù)在中的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)在頻率分布直方圖中，用每一個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為該組參觀者評分的平均數(shù)，估計(jì)本次車展所有參觀者對這款新能源汽車評分的平均數(shù)為m，若中位數(shù)的估計(jì)值為n，寫出m與n的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）
18．（2024·山西長治·高二統(tǒng)考期末）猜歌名游戲根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，節(jié)目組準(zhǔn)備了兩組歌曲的主旋律制成的鈴聲，隨機(jī)從兩組歌曲中各播放兩首歌曲的主旋律制成的鈴聲，該嘉賓根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.已知該嘉賓猜對組中每首歌曲的歌名的概率均是，猜對組中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立.
(1)求該嘉賓至少猜對2首歌曲的歌名的概率；
(2)若嘉賓猜對一首組歌曲的歌名得1分，猜對一首組歌曲的歌名得2分，猜錯均得0分，記該嘉賓累計(jì)得分為，求的分布列與期望.
19．（2024·河南開封·高二統(tǒng)考期末）某商場進(jìn)行有獎促銷，一次性消費(fèi)5000元以上的顧客可以進(jìn)行線上抽獎，游戲規(guī)則如下：盒中初始裝有2個白球和1個紅球．每次從盒中有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪，如果某輪取到的兩個球都是紅球，則記該輪中獎并停止抽球；否則，在盒中再放入一個白球，然后進(jìn)行下一輪抽球，如此進(jìn)行下去，最多進(jìn)行三輪．已知顧客甲獲得了抽獎機(jī)會．
(1)記甲進(jìn)行抽球的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；
(2)按照三輪中獎概率由小到大分別發(fā)放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金額的期望．
20．（2024·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習(xí)）每年4月23日是世界讀書日，設(shè)立的目的是推動更多的人去閱讀和寫作，享受閱讀帶來的樂趣．為了鼓勵同學(xué)們閱讀四大名著，學(xué)校組織了相關(guān)知識競答活動，該活動有個人賽和團(tuán)體賽，每人只能參加其中的一項(xiàng)，根據(jù)各位學(xué)生答題情況，獲獎學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：
(1)從獲獎學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自高一的概率；
(2)從高一和高二獲獎?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以X表示這2人中團(tuán)體賽獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
21．（2024·高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為
求．
22．（2024·高二課時練習(xí)）有甲、乙兩家單位都愿意聘用你做兼職員工，而你能獲得如下信息:
根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位?
…
…
…
…
…
…
…
…
X
1
2
3
P
X
0
2
4
P
m
1
2
3
4
P
a
X
－2
－1
0
1
2
P
m
0
1
2
3
X
1
2
3
4
P
m
n
X
P
0
1
2
m
n
1
2
3
4
5
0.03
0.3
0.5
0.16
0.01
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
1
2
3
0.2
0.5
收益X（元）
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y（元）
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
0
2
P
－1
0
1
獎項(xiàng)組別
個人賽
團(tuán)體賽獲獎
一等獎
二等獎
三等獎
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
0
1
2
3
0.2
0.3
0.2
甲單位不同職位月工資/元
1200
1400
1600
1800
獲得相應(yīng)職位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
乙單位不同職位月工資/元
1000
1400
1800
2200
獲得相應(yīng)職位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1

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