思維導圖
核心考點聚焦
考點一、求圓的方程
考點二、點和圓的位置關(guān)系
考點三、直線和圓的位置關(guān)系
考點四、圓的弦長問題
考點五、圓的切線問題
考點六、判斷圓與圓的位置關(guān)系
考點七、由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)范圍
考點八、圓的公共弦
考點九、圓的公切線
考點十、圓的軌跡問題
考點十一、與圓有關(guān)的最值問題
知識點1 圓的標準方程
1．圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
2．圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。鐖D所示．
3．圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
當a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．
知識點2 點與圓的位置關(guān)系
(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d＞r?點在圓外；d＝r?點在圓上；d＜r?點在圓內(nèi)．
(2)根據(jù)點M(x0，y0)的坐標與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系判斷：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點在圓外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點在圓內(nèi)．
知識點3 圓的一般方程
1．圓的一般方程的概念
當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
注：將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，當D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓．當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一個點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圓的一般方程對應的圓心和半徑
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑長為eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長需要代數(shù)運算才能得出，且圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F(xiàn)為常數(shù))具有以下特點：
(1)x2，y2項的系數(shù)均為1；
(2)沒有xy項；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常見圓的方程的設法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知識點4 直線與圓的三種位置關(guān)系
注：直線與圓的位置關(guān)系及判斷
知識點5 直線與圓相交
1．解決圓的弦長問題的方法
2．當直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距所構(gòu)成的直角三角形(如圖中的Rt△ADC)，在解題時要注意把它和點到直線的距離公式結(jié)合起來使用．
知識點6 直線與圓相切
1．求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求切線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意切線斜率不存在的情況．（注：過圓內(nèi)一點，不能作圓的切線）
2．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法
先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq \f(1,k)，由點斜式可寫出切線方程．
3．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的方法
4.圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
5.切線長公式
記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為,利用勾股定理求；
知識點7 圓上點到直線的最大（小）距離
設圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
知識點8 圓與圓的位置關(guān)系
1．種類：圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．
2．判定方法
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：
(2)代數(shù)法：設兩圓的一般方程為
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
聯(lián)立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：
注：(1)圓和圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內(nèi)含；
(2)圓和圓相交，兩圓有兩個公共點；
(3)圓和圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內(nèi)切和外切．
(4)圓與圓的位置關(guān)系不能簡單仿照直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法將兩個方程聯(lián)立起來消元后用判別式判斷，因為當方程組有一組解時，兩圓只有一個交點，兩圓可能外切，也可能內(nèi)切；當方程組無解時，兩圓沒有交點，兩圓可能外離，也可能內(nèi)含．
知識點9圓與圓位置關(guān)系的應用
設圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程．
(1)當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．
(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．
(3)求公共弦長時，幾何法比代數(shù)法簡單易求．
兩圓公共弦長的求法
兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq \f(l,2)，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．
知識點10 圓與圓的公切線
1、公切線的條數(shù)
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
2、公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離求解
知識點11 圓系方程
(1) 以為圓心的同心圓圓系方程：；
(2) 與圓同心圓的圓系方程為；
(3) 過直線與圓交點的圓系方程為

4 過兩圓，圓：交點的圓系方程為
（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
1、求圓的標準方程的方法
確定圓的標準方程就是設法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標和半徑．常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷．
2、待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟
3、判斷點與圓的位置關(guān)系的方法
(1)確定圓的方程：化為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)將點的坐標代入代數(shù)式(x－a)2＋(y－b)2，比較代數(shù)式的值與r2的大小關(guān)系．
(3)下結(jié)論：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示點在圓上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示點在圓外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示點在圓內(nèi)．
此外，也可以利用點與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷．當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d

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