知識(shí)聚焦
考點(diǎn)聚焦
知識(shí)點(diǎn)1 向量在幾何中的應(yīng)用
1、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”
（1）建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問題中涉及到的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
（2）通過向量運(yùn)算，研究元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。
2、利用向量證明平面幾何的兩種經(jīng)典方法
（1）線性運(yùn)算法
第一步：選取合適的基底（一般選擇夾角和模長已知的兩個(gè)向量）；
第二步：利用基底表示相關(guān)向量；
第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；
第四步：把計(jì)算結(jié)果“翻譯”為幾何問題。
（2）坐標(biāo)運(yùn)算法
第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（盡可能讓更多的點(diǎn)在坐標(biāo)系上）；
第二步：把相關(guān)向量坐標(biāo)化；
第三步：用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；
第四步：利用向量關(guān)系回答幾何問題。
知識(shí)點(diǎn)2 向量在物理中的應(yīng)用
1、向量在物理應(yīng)用中的主要解題思路
（1）轉(zhuǎn)化問題：將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；
（2）建立模型：建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；
（3）求解參數(shù)：求向量的模長、夾角、數(shù)量積等；
（4）回答問題：把所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題。
2、力學(xué)問題的向量處理方法
（1）解決此類問題必須用向量知識(shí)將力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即將力學(xué)各量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，再利用建立的數(shù)學(xué)模型解析或回答相關(guān)物理現(xiàn)象；
（2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段可以有共同的起點(diǎn)，也可以沒有共同的起點(diǎn)，力是既有大小，又有方向的量，用向量知識(shí)解決共點(diǎn)力的問題，往往需要把向量平移到同一作用點(diǎn)上。
3、速度、位移問題的向量處理方法
速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)是向量的加減運(yùn)算，運(yùn)動(dòng)的疊加也用到了向量的合成
（1）向量在速度、加速度上的應(yīng)用，實(shí)質(zhì)是通過向量的線性運(yùn)算解決物理問題，最后獲得物理結(jié)論；
（2）用向量解決速度、加速度和位移問題，用的知識(shí)主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘，有時(shí)也可借助坐標(biāo)來求解。
3、功、動(dòng)量問題的向量處理方法
物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是力與位移的數(shù)量積，即（為與的夾角），功是一個(gè)標(biāo)量，它可正，也可負(fù)。動(dòng)量實(shí)際上是數(shù)乘向量。在解決問題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合。
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)1 利用向量證明線段證明
【例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，求證：．
【變式1-1】（2023·山東濟(jì)南·高一山東師范大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．
（1）求重心E的坐標(biāo)；
（2）用向量法證明：．
【變式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如圖所示，已知在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)M.
（1）設(shè)，，用，表示，；
（2）猜想與的位置關(guān)系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.
【變式1-3】（2023·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．

（1）請(qǐng)用，表示向量；
（2）若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．
考點(diǎn)2 利用向量證明線段平行
【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使BE=DF．用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形．
【變式2-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)P，Q分別是梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)
（1）試用向量證明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【變式2-2】（2023·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知，如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且三點(diǎn)共線．
（1）求的最小值．
（2）若點(diǎn)滿足，證明：．
【變式2-3】（2023·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三點(diǎn)不共線，，，設(shè)，.
（1）試用表示向量；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，試證明三點(diǎn)共線.
考點(diǎn)3 用向量求線段長度
【例3】（2023·福建·高一校聯(lián)考期中）在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┰谥?，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且滿足，若為邊上中線，，，則 .
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)分別是四邊形的邊的中點(diǎn)，且，，，，則線段的長為是
【變式3-3】（2023·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，.
（1）求的長；
（2）求的長.
考點(diǎn)4 用向量求幾何夾角
【例4】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若向量， 與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)與相交于點(diǎn)，則 ．
【變式4-2】（2023·貴州貴陽·高一貴陽市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)
（1）若，求AE的長；
（2）若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求．
【變式4-3】（2023·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．
（1）判斷四邊形的形狀，并給出證明；
（2）若，，與的夾角為，為中點(diǎn)，求．
考點(diǎn)5 用向量判斷多邊形形狀
【例5】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【變式5-1】（2023·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎校?，，則此三角形為（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【變式5-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形中，若，則四邊形為（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【變式5-3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在四邊形中，，則四邊形的形狀是 .
考點(diǎn)6 力的合成
【例6】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動(dòng)的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為，此時(shí)兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）
A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5
【變式6-1】（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面上的三個(gè)力，，作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．若，，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【變式6-2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為 .（注：重力加速度取，精確到0.01N）
【變式6-3】（2023·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）如圖，1kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下處于平衡狀態(tài)，已知兩根細(xì)繩與水平線分別成30°與60°角，則兩根細(xì)繩受到的拉力分別為 ．（取g=10m/s2）
考點(diǎn)7 速度與位移的合成
【例7】（2023·河南·高一濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知船在靜水中的速度大小為，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為，船垂直到達(dá)對(duì)岸用的時(shí)間為，則水流的速度大小為 .
【變式7-1】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高一?？茧A段練習(xí)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求此時(shí)小貨船航行速度為多少. （ ）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
【變式7-2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）飛機(jī)從A地向西北飛行200km到達(dá)B地后，又從B地向東飛行km到達(dá)C地，再從C地向南偏東60°飛行km到達(dá)D地，求飛機(jī)從D地飛回A地的位移．
【變式7-3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）一架飛機(jī)從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達(dá)B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移．
考點(diǎn)8 功與動(dòng)量的計(jì)算
【例8】（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）一物體在力的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，若，則對(duì)物體所做的功為（ ）
A． B．23 C． D．19
【變式8-1】（2023·廣西·高一校聯(lián)考期中）一物體在力和的作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體所作的功等于（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)力作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（其中分別是軸正方向?軸正方向上的單位向量，力的單位：，位移的單位：）．試求：
（1）分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；
（2）的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
【變式8-3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在傾角為、高m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的倍，N/kg．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對(duì)物體所做的功，（參考數(shù)據(jù)，）．
過關(guān)檢測(cè)
一、單選題
1．（2023·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知力作用于一物體，使物體從點(diǎn)處移動(dòng)到點(diǎn)處，則力對(duì)物體所做的功為（ ）
A．9 B． C．21 D．
2．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若平面上的三個(gè)力，，作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知，，與的夾角為，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，是邊的中點(diǎn)，且對(duì)于邊上任意一點(diǎn)，恒有，則一定是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
4．（2023·廣東佛山·高一校考期中）若非零向量與滿足，則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
5．（2023·河南信陽·高一信陽高中校考期末）已知非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
6．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）一艘船從河岸邊出發(fā)向河對(duì)岸航行.已知船的速度，水流速度，那么當(dāng)航程最短時(shí)船實(shí)際航行的速度大小為（ ）
A．5 B．10 C．8 D．
7．（2023·吉林長春·高一?？计谥校┠澈恿髂媳眱砂镀叫?，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好到達(dá)B處時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京·高一?？计谥校┰谌粘Ｉ钪?，我們會(huì)看到如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結(jié)論：
①越大越費(fèi)力，越小越省力；②的范圍為；
③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、多選題
9．（2023·湖北·高一荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的外心
B．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過的垂心
C．若，則點(diǎn)的軌跡可能經(jīng)過的重心
D．若，則點(diǎn)的軌跡可能經(jīng)過的內(nèi)心
10．（2023·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正的邊長為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則（ ）
A． B．滿足的點(diǎn)只有1個(gè)
C． D．滿足的點(diǎn)有2個(gè)
11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校校考期中）已知向量，，記向量，的夾角為θ，則（ ）
A．λ>2時(shí)θ為銳角 B．λ

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