【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假鞏固訓(xùn)練專題04+數(shù)列通項與求和技巧總結(jié)（十大考點）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

核心考點聚焦
考點一：累加法
考點二：累乘法
考點三：待定系數(shù)法
考點四：同除以指數(shù)
考點五：取倒數(shù)法
考點六：已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題
考點七：錯位相減法
考點八：分組求和與并項求和法
考點九：裂項相消法
考點十：倒序相加法
知識點一：數(shù)列通項
類型Ⅰ觀察法：
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．
類型Ⅱ公式法：
若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．
類型Ⅲ累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
類型Ⅳ累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：
㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的遞推式：
⑴當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．
⑶當(dāng)為任意數(shù)列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類型Ⅵ對數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
類型Ⅶ倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．
類型Ⅷ形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式
知識點二：數(shù)列求和
1、公式法
（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
2、幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．
1、常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數(shù)型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
考點剖析
考點一：累加法
例1．（2024·福建·高二統(tǒng)考）若數(shù)列滿足，，則（）
A．511B．1023C．1025D．2047
例2．（2024·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（）
A．B．C．D．
例3．（2024·安徽安慶·高二安徽省桐城中學(xué)?？计谀┤绻麛?shù)列滿足，，且，那么此數(shù)列的第項為（）
A．B．C．D．
考點二：累乘法
例4．（2024·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的項滿足，而，則＝（）
A．B．C．D．
例5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則（）
A．2023B．2024C．4045D．4047
例6．（2024·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)?？计谀┮阎?，，則數(shù)列的通項公式是（）
A．nB．C．2nD．
考點三：待定系數(shù)法
例7．（2024·河北滄州·高二河北省吳橋中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的通項公式．
例8．（2024·寧夏中衛(wèi)·高二中寧一中校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足且，則數(shù)列的通項公式是．
例9．（2024·福建福州·高二校聯(lián)考期末）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項公式 .
考點四：同除以指數(shù)
例10．（2024·山東淄博·高二?？迹┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
例12．（2024·遼寧營口·高一營口市第二高級中學(xué)?？计谀?shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為 .
變式1．（2024·高二課時練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則．
考點五：取倒數(shù)法
例13．（2024·浙江杭州·高二杭州四中校考）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，則 .
例14．（2024·高三課時練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，則的通項公式為．
例15．（2024·湖北黃石·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為 .
變式2．（2024·湖北荊州·高二荊州中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列，則數(shù)列的通項公式．
考點六：已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題
例16．（2024·江蘇泰州·高二校聯(lián)考）已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為．
例17．（2024·天津·高二天津市咸水沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列的前項和，則此數(shù)列的通項公式為．
例18．（2024·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為 .
變式3．（2024·浙江杭州·高二杭州高級中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的首項，前n項和為，若，則．
變式4．（2024·新疆省直轄縣級單位·高二新疆石河子一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．則的通項公式為．
變式5．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考）設(shè)是數(shù)列的前項和，，，則 .
考點七：錯位相減法
例19．（2024·廣西玉林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
例20．（2024·河南商丘·高二商丘市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
例21．（2024·浙江溫州·高二溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知公差不為零的正項等差數(shù)列的前n項和為，，，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求的前項和.
變式6．（2024·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
考點八：分組求和與并項求和法
例22．（2024·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
例23．（2024·廣東·校聯(lián)考二模）在等差數(shù)列中，.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
例24．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項為1，公差為2．正項數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
變式7．（2024·河南濮陽·高二范縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知．
(1)求實數(shù)的值；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
考點九：裂項相消法
例25．（2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．
(1)求與通項公式；
(2)設(shè)，求的前項和．
例26．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的通項公式，其前項和為．
(1)若，求正整數(shù)；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
例27．（2024·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）給定數(shù)列，若滿足且，且對于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”. 若數(shù)列滿足: ，，.
(1)判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列” ? 若是，給出證明; 若不是，請說明理由;
(2)若，求數(shù)列的前項和 .
變式8．（2024·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且對于任意正整數(shù)，都有．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．
變式9．（2024·廣東·高二廣東兩陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和．
變式10．（2024·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．
變式11．（2024·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則；設(shè)數(shù)列滿足，則此數(shù)列的前2023項的和為．
變式12．（2024·高一單元測試）設(shè)，若，試求：
（1）；
（2）．
變式13．（2024·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為 .
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2024·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）
A．B．
C．D．
2．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的第項為（）
A．1B．
C．D．
3．（2024·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，且，則為（）
A．B．C．D．
4．（2024·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）
A．第21項B．第22項C．第23項D．第24項
5．（2024·廣東東莞·高二東莞實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，滿足條件，則的值是（）
A．4044B．4045C．4046D．4047
6．（2024·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前4項分別為，則該數(shù)列的一個通項公式為（）
A．B．
C．D．
7．（2024·陜西咸陽·高二校考階段練習(xí)）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，…設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．B．，
C．D．
8．（2024·湖北黃岡·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024·安徽蕪湖·高二校考階段練習(xí)）若數(shù)列的前項分別為，，，，則這個數(shù)列的通項公式可能是（）
A．B．
C．D．
10．（2024·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的前項和滿足，則下列說法正確的是（）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則（）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．
C．D．的前項和為
12．（2024·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若數(shù)列的前四項依次是2，0，2，0，則的通項公式可能是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2024·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項和為，且，，則．
14．（2024·安徽亳州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為 .
15．（2024·福建泉州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則 .
16．（2024·浙江嘉興·高二嘉興一中?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列中，若，數(shù)列的前項和為，則 .
四、解答題
17．（2024·湖北·高二期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和
18．（2024·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項和為是等差數(shù)列，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最大整數(shù)的值．
19．（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前項和滿足：，求數(shù)列的前項和.
20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前項和，試問：是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出滿足條件的所有，的值；若不存在，請說明理由．
21．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足．
(1)若為等差數(shù)列，求的通項公式；
(2)記的前項和為，不等式對恒成立，求的取值范圍．

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