【寒假作業(yè)】高中數(shù)學(xué) 高一寒假鞏固提升訓(xùn)練專題04+平面向量的應(yīng)用+（十大考點(diǎn)）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：向量在平面幾何中的應(yīng)用
考點(diǎn)二：向量在解析幾何中的應(yīng)用
考點(diǎn)三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用
考點(diǎn)四：余弦定理的應(yīng)用
考點(diǎn)五：正弦定理的應(yīng)用
考點(diǎn)六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀
考點(diǎn)七：正余弦定理舉例應(yīng)用
考點(diǎn)八：面積與周長問題
考點(diǎn)九：解三角形范圍與最值問題
考點(diǎn)十：三角形多解問題
知識(shí)點(diǎn)一：向量在平面幾何中的應(yīng)用
向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：
（1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)用到向量減法的意義．
（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件：（或）．
（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：（或）．
（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式．
（5）向量的坐標(biāo)法，對(duì)于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
用向量知識(shí)證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個(gè)方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運(yùn)算法則運(yùn)算就可以達(dá)到解決幾何問題的目的了．
知識(shí)點(diǎn)二：向量在解析幾何中的應(yīng)用
在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．
常見解析幾何問題及應(yīng)對(duì)方法：
（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)．
（2）垂直條件運(yùn)用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程．
（3）定比分點(diǎn)問題：轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線及向量共線的等式條件．
（4）夾角問題：利用公式．
知識(shí)點(diǎn)三：向量在物理中的應(yīng)用
（1）利用向量知識(shí)來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．
（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動(dòng)量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．
（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．
知識(shí)點(diǎn)四、余弦定理
三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：
余弦定理的變形公式：
知識(shí)點(diǎn)五、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：
①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角；
②已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一．
知識(shí)點(diǎn)六、正弦定理
正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）正弦定理適合于任何三角形；
（2）可以證明（為的外接圓半徑）；
（3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：
= 1 \* GB3 ①已知兩個(gè)角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；
= 2 \* GB3 ②已知兩邊和其中—邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊．
知識(shí)點(diǎn)七、解三角形的概念
一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對(duì)的邊叫做三角形的幾何元素．任何一個(gè)三角形都有六個(gè)元素：三邊、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．
有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，還有即將學(xué)習(xí)的余弦定理等），三角學(xué)特別是測量學(xué)得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角．
1、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；
2、利用正、余弦定理解三角形
已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知兩角及一邊時(shí)，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時(shí)，通常選擇余弦定理來解三角形．特別是求角時(shí)盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論．
在中，已知和A時(shí)，解的情況主要有以下幾類：
①若A為銳角時(shí)：

一解一解

兩解無解
② 若A為直角或鈍角時(shí)：
3、三角形的形狀的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余關(guān)系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號(hào)）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
4、解三角形應(yīng)用題的步驟
解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計(jì)算正確．其解題的一般步驟是：
（1）準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；
（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；
（3）分析與所研究的問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；
（4）將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問題．
5、解三角形應(yīng)用題的基本思路
實(shí)際問題畫圖數(shù)學(xué)問題解三角形數(shù)學(xué)問題的解檢驗(yàn)實(shí)際問題的解
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：向量在平面幾何中的應(yīng)用
例1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，求證：．
例2．（2024·廣東東莞·高一東莞市厚街中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

(1)求的余弦值．
(2)若點(diǎn)自點(diǎn)逆時(shí)針沿正方形的邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在這個(gè)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．
例3．（2024·河南信陽·高一校聯(lián)考）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．

(1)請用，表示向量；
(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．
變式1．（2024·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．
(1)判斷四邊形的形狀，并給出證明；
(2)若，，與的夾角為，為中點(diǎn)，求．
考點(diǎn)二：向量在解析幾何中的應(yīng)用
例4．（2024·貴州貴陽·高一貴陽市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，，，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)

(1)若，求AE的長；
(2)若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求．
例5．（2024·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考）如圖，在邊長為2的等邊三角形中，D是的中點(diǎn).
(1)求向量與向量的夾角；
(2)若O是線段上任意一點(diǎn)，求的最小值.
例6．（2024·高一課前預(yù)習(xí)）梯形中，，，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求；
(2)求的最大值.
變式2．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

變式3．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）用向量的方法證明如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD和DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別交AC于點(diǎn)R，T．你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？

變式4．（2024·陜西商洛·高一?？迹┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．
(1)求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
(2)判斷四邊形的形狀，并求出其周長．
考點(diǎn)三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用
例7．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知兩個(gè)力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（）．
A．NB．5NC．10ND．N
例8．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動(dòng)的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為，此時(shí)兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
例9．（2024·廣東清遠(yuǎn)·高一校考階段練習(xí)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求此時(shí)小貨船航行速度為多少. （）
A．km/hB．km/h
C．km/hD．km/h
變式5．（2024·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若平面上的三個(gè)力，，作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知，，與的夾角為，則的大小為（）
A．B．C．D．
變式6．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考）一艘船從河岸邊出發(fā)向河對(duì)岸航行.已知船的速度，水流速度，那么當(dāng)航程最短時(shí)船實(shí)際航行的速度大小為（）
A．5B．10C．8D．
考點(diǎn)四：余弦定理的應(yīng)用
例10．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高一包頭市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，，的對(duì)邊分別是，，，且面積為，若，則角等于( )
A．B．C．D．
例11．（2024·新疆·高二學(xué)業(yè)考試）在中，角的對(duì)邊分別是，已知，，，則等于（）
A．1B．2C．D．
例12．（2024·河南駐馬店·高一校聯(lián)考）在中，若，則角的值是（）
A．B．C．D．
變式7．（2024·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）已知中，角的對(duì)邊分別為，，則角．
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則C＝
考點(diǎn)五：正弦定理的應(yīng)用
例13．（2024·江蘇淮安·高一校聯(lián)考）在中，若，則 .
例14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，則= .
例15．（2024·河南鄭州·高一校聯(lián)考）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角的值為．
變式9．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，且，，，則的值為 .
變式10．（2024·江西新余·高二新余市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，，，則．
變式11．（2024·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bc＝20，△ABC的面積為5，且其外接圓的半徑為4，則a＝．
變式12．（2024·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則．
考點(diǎn)六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀
例16．（2024·河北保定·高一保定一中校考階段練習(xí)）在中，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
例17．（2024·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則的形狀是（）
A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．三邊比為1：2：3的三角形
例18．（2024·高一?？紗卧獪y試）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則的形狀為（）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
變式13．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考）的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
變式14．（2024·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且滿足，則的形狀為（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
考點(diǎn)七：正余弦定理舉例應(yīng)用
例19．（2024·陜西銅川·高二?？计谀┤鐖D，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（）
A．B．C．D．
例20．（2024·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考）某數(shù)學(xué)興趣小組欲測量一下校內(nèi)旗桿頂部M和教學(xué)樓M?頂部N之間的距離，已知旗桿AM高15m，教學(xué)樓BN高21m，在與A,B同一水平面C處測得的旗桿頂部M的仰角為，教學(xué)樓頂部N的仰角為，，則M,N之間的距離為（）

A．B．C．D．
例21．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥爾摩的愛立信球形體育館（瑞典語：），在世界上最大的瑞典太陽系模型中，由該體育館代表太陽的位置，其外形像一個(gè)大高爾夫球，可容納16000名觀眾觀看表演和演唱會(huì)，或14119名觀眾觀看冰上曲棍球比賽．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得愛立信體育館的直徑，在體育館外圍測得，，，（其中，，，四點(diǎn)共面），據(jù)此可估計(jì)該體育館的直徑大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）

A．B．C．D．
變式15．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）金山寺位于江蘇省鎮(zhèn)江市潤州區(qū)，始建于東晉時(shí)期，是中國佛教禪宗名寺，民間傳說《白蛇傳》中的金山寺即指此，與普陀寺?文殊寺?大明寺并列為中國的四大名寺，其中慈壽塔為金山標(biāo)志，磚木結(jié)構(gòu)，七級(jí)八面，矗立于數(shù)重樓臺(tái)殿宇之上，如圖：記慈壽塔塔高OT，某測量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量點(diǎn)A，B.現(xiàn)測得.，，在B點(diǎn)處測得塔頂T的仰角為30°，則塔高OT為（）

A．36mB．C．45mD．
變式16．（2024·河北邯鄲·高一統(tǒng)考）老虎甲在A地發(fā)現(xiàn)野鹿乙在北偏東方向上的B地，立刻以的速度進(jìn)行追捕，與此同時(shí)，野鹿乙以的速度往北偏東方向逃竄，假設(shè)甲、乙都是勻速直線運(yùn)動(dòng)，且，則甲能夠一次性捕獲乙的最短時(shí)間為（）
A．60sB．80sC．100sD．120s
變式17．（2024·福建龍巖·高一校聯(lián)考）如圖所示，為了測量處島嶼的距離，小明在D處觀測，分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）

A．海里B．海里C．海里D．海里
考點(diǎn)八：面積與周長問題
例22．（2024·河南開封·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面積為，求的周長.
例23．（2024·廣東揭陽·?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面積為，求b.
例24．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？迹┰谥?，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，請你再從條件①；②；③中任意選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
(1)求a的值；
(2)求的面積.
變式18．（2024·北京·高一東直門中學(xué)?？迹┰谥校?
(1)求A；
(2)若，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.
注：如果選擇了不合適的條件，則第（2）問記0分.
變式19．（2024·廣西南寧·高一南寧三中?？迹┰谥?，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是，，，且．
(1)求；
(2)已知，，求的面積.
考點(diǎn)九：解三角形范圍與最值問題
例25．（2024·四川樂山·高一期末）已知銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且______．
(1)求角；
(2)求面積的取值范圍．
在①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并解答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
例26．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
例27．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對(duì)的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.
變式20．（2024·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范圍.
變式21．（2024·山西運(yùn)城·高三河津中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且
（1）求角C；
（2）若，求的最大值.
變式22．（2024·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．
(1)求角A；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．
變式23．（2024·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習(xí)）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.
(1)求角A；
(2)若，求△ABC周長的取值范圍.
考點(diǎn)十：三角形多解問題
例28．（2024·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┰谥校瑑?nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例29．（2024·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)校考期末）在中角所對(duì)的邊分別為，若，，，則（）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解
C．當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解D．對(duì)一切，都有解
例30．（2024·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考）已知在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
變式24．（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的取值范圍為（）
A．B．C．D．
變式25．（2024·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？迹┮阎谥?，，若滿足條件的三角形有且只有一個(gè)，則a的取值范圍是（）
A．B．或
C．D．或
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2024·河南鄭州·高一鄭州中學(xué)?？计谀┰谥?，分別是，，的對(duì)邊.若，且，則的大小是（）
A．B．C．D．
2．（2024·寧夏銀川·高二校考期末）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則角為（）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·統(tǒng)考二模）在中，已知，，，則邊的長為（）
A．B．C．D．
4．（2024·山東·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，面積為S，且，則角的值為（）
A．B．C．D．
5．（2024·江西九江·高二江西省都昌縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）靈運(yùn)塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當(dāng)代新建仿古塔．某校開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測量靈運(yùn)塔的高度，為此，他們設(shè)計(jì)了測量方案．如圖，靈運(yùn)塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運(yùn)塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得米，在A，B兩點(diǎn)觀察塔頂C點(diǎn)，仰角分別為和，，則靈運(yùn)塔的高度CD是（）
A．45米B．50米C．55米D．60米
6．（2024·山東棗莊·高二階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，且，則的面積為（）
A．B．C．3D．
7．（2024·甘肅隴南·高二?？计谀┰谥?，，，分別是角，，的對(duì)邊，的面積為，，，則的值為（）
A．4B．3C．2D．1
8．（2024·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（）
A．2B．C．D．3
二、多選題
9．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）在中角，，所對(duì)的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（）
A．B．
C．D．
10．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（）
A．處與處之間的距離是
B．燈塔與處之間的距離是
C．燈塔在處的西偏南
D．在燈塔的北偏西
11．（2024·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)?？迹┮阎校?，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則（）
A．B．C．3D．
12．（2024·遼寧大連·高一遼師大附中校考階段練習(xí)）已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，．（）
A．面積的最大值為
B．的最大值為
C．的取值范圍為
D．
三、填空題
13．（2024·新疆·高二學(xué)業(yè)考試）在中，已知，，，則 .
14．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一校考階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則該三角形為三角形.
15．（2024·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)一中?？茧A段練習(xí)）在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為 .
16．（2024·四川廣安·高三廣安二中?？茧A段練習(xí)）在中，，點(diǎn)D在線段上，且滿足，，則等于 .
四、解答題
17．（2024·云南·高二校聯(lián)考）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，是的中點(diǎn)，求.
18．（2024·云南保山·高一?？迹┑膬?nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量與平行.
(1)求A；
(2)若，，求的面積.
19．（2024·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？迹┰谥?，AD為BC邊上的中線，，．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并完成下面問題．條件①：；條件②：條件③：的面積為2．
(1)求AD的長；
(2)求AB的長．
注：如果選擇的條件不符合要求，本題得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
20．（2024·河北保定·高一校聯(lián)考）已知銳角內(nèi)角及對(duì)邊，滿足.
(1)求的大?。?br>(2)若，求周長的取值范圍.
21．（2024·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求證：.
22．（2024·江西·高一統(tǒng)考）已知內(nèi)角，，的對(duì)邊長分別為，，，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.

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