【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學高二寒假提升訓練第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用（單元綜合測試卷）-練習-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．曲線在點處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，故，
所以在點處的切線方程為，
即.
故選：C
2．一質(zhì)點運動的位移方程為，當時，該質(zhì)點的瞬時速度為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以當時，.
故選：C.
3．函數(shù)在區(qū)間上的（）
A．最小值為0，最大值為
B．最小值為0，最大值為
C．最小值為，最大值為
D．最小值為0，最大值為2
【答案】B
【解析】，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因此的最小值為，最大值為.
故選：B
4．若為函數(shù)的極值點，則函數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
因為是函數(shù)的極值點，
所以，則，
所以，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
故選：C
5．已知函數(shù)，為的導函數(shù)，，則（）
A．的極大值為，無極小值
B．的極小值為，無極大值
C．的極大值為，無極小值
D．的極小值為，無極大值
【答案】C
【解析】的定義域為，，
所以，
求導得，令，得，
當時，；當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，取得極大值，無極小值．
故選：C．
6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，則函數(shù)的定義域是，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則，得，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
故選：A．
7．函數(shù)在區(qū)間的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
不妨設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點為，且
若，則恒成立，不符合題意，可排除A項；
所以，此時易知單調(diào)遞增，
要滿足題意則需.
故選：D
8．設(shè)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，則，當時，，單調(diào)遞增，
因此，即，
令，則，當時，，單調(diào)遞減，
因此，即
所以.
故選：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．已知定義域為的函數(shù)的導函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）

A．在上單調(diào)遞減B．有極小值
C．有2個極值點D．在處取得最大值
【答案】AB
【解析】由的圖象可知或時，，則單調(diào)遞減，故A正確；
又或時，，則單調(diào)遞增，
所以當時，有極小值，故B正確；
由的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，2，4時，有極值，所以有3個極值點，故C錯誤；
當時，，則單調(diào)遞增，
所以，在處不能取得最大值，故D錯誤．
故選：AB．
10．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（）
A．0B．1C．2D．
【答案】BCD
【解析】函數(shù)開口向上，對稱軸，因為在上是減函數(shù)，
所以.
故選：BCD.
11．已知函數(shù)，則所有正確的結(jié)論是（）
A．函數(shù)是增函數(shù)
B．函數(shù)的值域為
C．曲線關(guān)于點對稱
D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線
【答案】ABC
【解析】對于：函數(shù)，
函數(shù)在上為增函數(shù)，則復合函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以函數(shù)是增函數(shù)，故A正確；
對于：函數(shù)，
函數(shù)在上為增函數(shù)且，則，
于是，即，
所以，即函數(shù)的值域為，故B正確；
對于C：，，
則有，曲線關(guān)于點對稱，故C正確；
對于D：，其導數(shù)，
若，變形可得，
令，則，
因為，所以，又，
于是，即關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，
所以無解，即曲線不存在斜率為的切線，故D錯誤.
故選：ABC.
12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，，則（）
A．不可能在定義域內(nèi)單調(diào)遞增B．有一個極小值點
C．無極大值點D．無極小值點
【答案】BC
【解析】根據(jù)題意由可得，
即，
又可知，其中為常數(shù)，
所以，即；
又因為，則；所以，
則，
令，則，
由可得或；
所以時，，當或時，；
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
又，，；
函數(shù)的圖象如下圖所示：
顯然函數(shù)存在唯一變號零點，且，又恒成立，
所以也存在唯一變號零點，且；
因此可知時，，當時，；
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知A錯誤；
此時即為函數(shù)的一個極小值點，即B正確，D錯誤；且無極大值點，C正確；
故選：BC
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．若直線與曲線相切，則．
【答案】
【解析】由求導得，設(shè)切點為，
則切線的斜率為，解得，則切點坐標為，
將代入直線，得，解得，
所以.
故答案為：
14．已知函數(shù)，若不等式對于所有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】或
【解析】，，
，
函數(shù)在閉區(qū)間上為增函數(shù)，
而，
函數(shù)在上的最大值為4，
由對于所有，恒成立，
得，即，
解得：或.
實數(shù)的取值范圍是或.
故答案為：或.
15．知函數(shù)在上存在遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【解析】由題意得的定義域為，
所以，
因為函數(shù)在區(qū)間上存在遞增區(qū)間，即在區(qū)間上能成立，
即，設(shè)，開口向上，對稱軸為，
所以當時，單調(diào)遞增，所以，
所以，則，即.
故答案為：.
16．已知函數(shù)，直線，若直線與的圖象交于點，與直線交于點，則之間的最短距離是 .
【答案】
【解析】函數(shù)，直線，
若直線與的圖象交于點，與直線交于點，
直線的斜率為，直線的斜率為，兩直線垂直，
則函數(shù)圖象上的點到直線的最短距離，即為，之間的最短距離，
由題意可得，．
令，則，解得，
，取點，
點到直線的距離，
則，之間的最短距離是．
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
17．（10分）
設(shè)函數(shù)
(1)求的極大值點與極小值點及單調(diào)區(qū)間；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值．
【解析】（1）函數(shù)的導數(shù)為．
令，解得，．
由，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，
由，得或，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
的極大值點，極小值點．
（2）列表
當x變化時，，的變化表為：
當時，，
當時，，
當時，．
∴在區(qū)間上的最大值為63，最小值為0.
18．（12分）
已知函數(shù)，．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：在上單調(diào)遞增．
【解析】（1）因為，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
即．
（2）由（1）知，，
因為，，
所以，
所以
設(shè)，則導函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以在上單調(diào)遞增
19．（12分）
某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：m），其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計要求容器的體積為m3.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱體部分每平方米建造費用為3萬元，半球體部分每平方米建造費用為4萬元．設(shè)該容器的總建造費用為y萬元．
(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；
(2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用．
【解析】（1）由題意可知，，∴，
又圓柱的側(cè)面積為，兩端兩個半球的表面積之和為，
所以，
又，，
所以定義域為.
（2）因為，
所以令，得，令，得，
又定義域為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當米時，該容器的建造費用最小，為萬元，此時m.
20．（12分）
已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)若在區(qū)間有2個零點，求的取值范圍．
【解析】（1）因為，定義域為，所以，
當時，由于，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，無極值，
當時，令，解得，
當時，，則在上單調(diào)遞增；
當時，，則在上單調(diào)遞減：
所以當時，在處取極大值，無極小值；
（2），
令，得，令，在區(qū)間有2個零點，
即與在區(qū)間有2個交點，
，，，
當，，在上單增，
當，，在上單減，
，的最大值為，，
與在區(qū)間有2個交點，則．
21．（12分）
已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程為，求的值；
(2)當時，在恒成立，求的最大值.
【解析】（1）由得，
因為曲線在點處的切線方程為，
所以，所以；
（2）因為在恒成立，所以，
當時，，則，
記，，則，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
又，
所以，使得，即，
故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，
因為，所以，所以，
所以，所以，從而，
因為，所以，所以的最大值為0.
22．（12分）
已知函數(shù)，且曲線在原點處的切線方程為.
(1)求實數(shù)的值；
(2)討論在R上的零點個數(shù)，并證明.
【解析】（1）由已知可得，.
根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合已知可得，，
所以，，.
（2）由（1）可得，，.
①當時，有，
所以恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減，是一個零點；
②當時，，
設(shè)，則恒成立，
所以，，即在上單調(diào)遞增.
又，，
所以，根據(jù)零點存在定理可知，，使得.
當時，，所以在上單調(diào)遞減；
當時，，所以在上單調(diào)遞增.
又，所以.
因為，
根據(jù)零點存在定理可知，，使得.
綜上所述，在R上的零點個數(shù)為2.
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，在處取得最小值.
又，
所以，.
因為，
所以，，
所以，，.
x
0
－
0
＋
極小值

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