【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數學高二寒假鞏固提升訓練復習專題05+拋物線8種常見考法歸類-練習.zip-試卷下載-教習網

思維導圖
核心考點聚焦
考點一、求拋物線的標準方程
考點二、拋物線定義的應用
(一)利用拋物線的定義求距離或點的坐標
(二)與拋物線定義有關的最大(小)值問題
考點三、拋物線的軌跡問題
考點四、直線與拋物線的位置關系
考點五、直線與拋物線的弦長、焦點弦、中點弦問題
(一)弦長問題
(二)焦點弦問題
(三)中點弦問題
考點六、拋物線中的參數范圍及最值問題
考點七、拋物線的定值、定點、定直線問題
(一)定值問題
(二)定點問題
(三)定直線問題
考點八、拋物線的實際應用
知識點1 拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？
不一定是，若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線．
②定義的實質可歸納為“一動三定”
一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．
知識點2 拋物線的方程及簡單幾何性質
知識點3 直線與拋物線的位置關系
設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當Δ0)的焦點的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，那么線段AB叫做焦點弦，
如圖：設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直線AB的傾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點)．
1、求拋物線的標準方程的方法
注：當拋物線的焦點位置不確定時，應分類討論，也可以設y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程．
2、用待定系數法求拋物線標準方程的步驟
3、拋物線定義的兩種應用
(1)實現距離轉化．根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距離與點線距離的相互轉化，從而簡化某些問題．
(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．
4、直線與拋物線的位置關系
將直線方程與拋物線方程聯立，轉化為一元二次方程，可通過直線與拋物線的位置關系轉化為對判別式Δ或者對向量數量積的限制條件，利用限制條件建立不等式或等式，利用根與系數的關系運算求解.eq \a\vs4\al()
5、求拋物線實際應用的五個步驟
6、求軌跡問題的兩種方法
(1)直接法：按照動點適合條件直接代入求方程．
(2)定義法：若動點滿足某種曲線定義，可按待定系數法列方程(組)求解曲線方程．
考點剖析
考點一、求拋物線的標準方程
1.若拋物線：的焦點坐標為，則拋物線的方程為（）
A．B．C．D．
2.若拋物線的頂點是原點，準線為直線，則此拋物線的方程為 .
3.以坐標軸為對稱軸，焦點在直線上的拋物線的標準方程為（）
A．或B．或
C．或D．或
4.以橢圓的左焦點為焦點的拋物線的標準方程是（）
A．B．C．D．
5.點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（）
A．B．或
C．或D．
6.已知拋物線（）上一點M的縱坐標為，該點到準線的距離為6，則該拋物線的標準方程為（）
A．B．或
C．D．或
考點二、拋物線定義的應用
利用拋物線的定義求距離或點的坐標
7.若拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，則點到原點的距離為（）
A．B．1C．D．
8.已知拋物線的焦點為F，點P為E上一點，Q為PF的中點，若，則Q點的縱坐標為（）
A．7B．5C．3D．1
9.已知F為拋物線的焦點，點A在拋物線C上，O為原點，若為等腰三角形，則點A的橫坐標可能為（）
A．2B．C．D．
與拋物線定義有關的最大(小)值問題
10.已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（）
A．5B．6C．7D．8
11.已知拋物線和點，F是拋物線的焦點，P是拋物線上一點，則的最小值是（）．
A．5B．6C．7D．8
12.已知過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，Q為弦的中點，P為C上一點，則的最小值為（）
A．B．8C．D．5
13.已知直線和直線，則拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（）
A．B．C．2D．
14.設點P是拋物線:上的動點,點M是圓:上的動點,d是點P到直線的距離,則的最小值是（）
A．B．C．D．
15.已知拋物線：的準線為，點的坐標為，點在拋物線上，點到直線的距離為，則的最大值為（）
A．B．C．1D．
16.已知F為拋物線的焦點，P為該拋物線上的動點，點，則的最大值為（）
A．B．C．2D．
考點三、拋物線的軌跡問題
17.若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是（）
A．B．
C．D．
18.在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
19.若動點滿足，則點M的軌跡是（）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
20.【多選】已知，，直線AP，BP相交于P，直線AP，BP的斜率分別為，則（）
A．當時，點的軌跡為除去A，B兩點的橢圓
B．當時，點的軌跡為除去A，B兩點的雙曲線
C．當時，點的軌跡為拋物線
D．當時，點的軌跡為一條直線
21.設圓C與圓外切，與直線相切，則圓C的圓心的軌跡為（）
A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓
22.已知點P是曲線上任意一點，，連接PA并延長至Q，使得，求動點Q的軌跡方程．
考點四、直線與拋物線的位置關系
23.過點作直線與拋物線相交，恰好有一個交點，則符合條件的直線的條數為（）
A．0B．1C．2D．3
24.直線與拋物線的位置關系為（）
A．相交B．相切C．相離D．不能確定
25.已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個公共點，則p是q的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
26.拋物線上一點到直線距離的最小值為（）
A．B．C．D．
27.在平面直角坐標系中，拋物線上一點的橫坐標為4，且點到的距離為5，
(1)求拋物線的方程；
(2)若斜率為1的直線交拋物線于、兩點（位于對稱軸異側），且，求直線的方程.
考點五、直線與拋物線的弦長、焦點弦、中點弦問題
弦長問題
28.過拋物線的焦點作傾斜角為120°的直線交拋物線于、兩點，則長為（）
A．2B．C．D．1
29.根據拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經A點反射后交拋物線于B點，則 .
30.入射光線由點出發(fā)，沿軸反方向射向拋物線：上一點，反射光線與拋物線交于點，則的值為（）
A．4B．C．2D．
31.已知拋物線過點（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率為的直線過C的焦點，且與C交于A，B兩點，求線段的長度．
32.斜率為直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則三角形（為坐標原點）的面積是（）
A．B．C．D．
33.已知拋物線上任意一點M到焦點F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．
(1)求E的標準方程；
(2)，，交E于A，C兩點，交E于B，D兩點．求四邊形ABCD的面積的最小值．
焦點弦問題
34.已知拋物線的焦點為，過的動直線與拋物線交于兩點，滿足的直線有且僅有一條，則．
35.過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，且，則直線l的斜率為（）
A．B．C．D．
36.已知拋物線C的焦點為F，準線為l，過F的直線m與C交于A、B兩點，點A在l上的投影為D，若，則（）
A．B．2C．D．3
37.設F為拋物線的焦點，點M在C上，點N在準線l上，滿足，，則（）
A．B．C．2D．
38.過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則（）
A．2B．4C．D．
39.【多選】已知拋物線的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（其中點A在x軸上方），則（）
A．
B．弦AB的長度最小值為l
C．以AF為直徑的圓與y軸相切
D．以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切
40.【多選】已知拋物線的焦點為，準線為為拋物線上任意一點，點為在上的射影，線段交軸于點為線段的中點，則（）
A．
B．直線與拋物線相切
C．點的軌跡方程為
D．可以是直角
中點弦問題
41.若拋物線的弦AB中點坐標為，則直線AB的斜率為（）
A．－4B．4C．－2D．2
42.已知拋物線，過點引拋物線的一條弦，使它恰在點P處被平分，則這條弦所在的直線l的方程為（）
A．B．C．D．
43.已知拋物線C：的焦點為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點，線段AB的中點為，則點F到直線l的距離為（）
A．B．C．D．
44.已知點F為拋物線的焦點，過F的直線l與C交于A、B兩點．若中點的縱坐標為2，則( )
A．6B．7C．9D．10
45.已知直線與拋物線相交于、兩點.
(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；
(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.
考點六、拋物線中的參數范圍及最值問題
46.已知拋物線的焦點為F，過點的直線l與拋物線C交于，P，Q兩點，則的最小值是（）
A．8B．10C．13D．15
47.已知拋物線，圓．若點，分別在，上運動，且設點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
48.已知拋物線的焦點為F，動點M在C上，圓M的半徑為1，過點F的直線與圓M相切于點N，則的最小值為（）
A．5B．6C．7D．8
49.已知為拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于，兩點，若在軸負半軸上存在一點，使得為銳角，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
50.已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于、兩點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標原點，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線與拋物線的另一交點為，的中點為，求的取值范圍．
考點七、拋物線的定值、定點、定直線問題
(一)定值問題
51.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點且斜率存在的直線交拋物線于不同的兩點，設為坐標原點，直線的斜率分別為，求證：為定值．
52.已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.
(1)求該拋物線的標準方程；
(2)若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.
53.已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，橢圓的短軸長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，交拋物線于兩點，請問是否存在實常數，使為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，說明理由.
54.已知點在拋物線上，過點的直線與相交于兩點，直線分別與軸相交于點.
(1)當弦的中點橫坐標為3時，求的一般方程;
(2)設為原點，若，求證:為定值.
（二）定點問題
55.已知拋物線的焦點為，點在直線上運動，直線，經過點，且與分別相切于兩點．
(1)求的方程；
(2)試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
56.已知拋物線：上一點到焦點的距離為，
(1)求拋物線的方程；
(2)若在第一象限，不過的直線與拋物線相交于，兩點，且直線，的斜率之積為，證明：直線過定點．
57.已知拋物線上一動點G，過點G作x軸的垂線，垂足為D，M是上一點，且滿足.
(1)求動點M的軌跡C；
(2)若為曲線C上一定點，過點P作兩條直線分別與拋物線交于A，B兩點，若滿足，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標.
58.已知圓過點，且與直線相切．
(1)求圓心的軌跡的方程；
(2)為軌跡上的動點，為直線上的動點，求的最小值；
(3)過點作直線交軌跡于、兩點，點關于軸的對稱點為．問是否經過定點，若經過定點，求出定點坐標；若不經過，請說明理由．
59.已知曲線的焦點為，曲線上有一點滿足.
(1)求拋物線的方程；
(2)過原點作兩條相互垂直的直線交曲線于異于原點的兩點，直線與軸相交于，試探究軸上存在一點是否存在異于的定點滿足恒成立.若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由.
（三）定直線問題
60.已知拋物線，，是C上兩個不同的點．
(1)求證：直線與C相切；
(2)若O為坐標原點，，C在A，B處的切線交于點P，證明：點P在定直線上．
61.已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為.F是拋物線C的焦點，過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M，N.
（1）求拋物線C的方程.
（2）過點M，N作拋物線C的切線，，是，的交點，求證：點P在定直線上.
62.如圖，過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標軸，垂足依次為M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；
(2)求證：直線MN與直線CD交點在定直線上．
考點八、拋物線的實際應用
63.清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（）

A．B．C．D．
64.探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（）
A．B．C．D．
65.如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm．
(1)以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；
(2)為滿足生產的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長．
66.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為（）

A．4B．3C．2D．1
67.某單行隧道橫斷面由一段拋物線及一個矩形的三邊組成，尺寸如圖所示（單位：m），某卡車載一集裝箱，車寬3 m，車與集裝箱總高4.5 m，此車能否安全通過隧道？說明理由．
過關檢測
一、單選題
1．（2023上·甘肅隴南·高二?？计谀┮阎獟佄锞€（）與傾斜角為45°的一直線相切于點，則該拋物線的焦點坐標為（）
A．B．
C．D．
2．（2023上·黑龍江佳木斯·高二校考期末）已知拋物線，是拋物線上一點，則點到點距離的最小值是（）
A．1B．2C．D．
3．（2023上·陜西西安·高二校考期末）已知拋物線（）的焦點為F，點在拋物線C上，且，則（）
A．4B．6C．8D．10
4．（2023上·江西宜春·高二?？计谀┮阎菕佄锞€的焦點，點在拋物線上，則（）
A．B．C．D．
5．（2023上·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學校聯考期中）若是拋物線位于第一象限的點，是拋物線的焦點，，則直線的斜率為（）
A．B．C．D．
6．（2023上·河南新鄉(xiāng)·高二?？计谀┮阎c在拋物線上，是拋物線的焦點，點為直線上的動點，則的最小值為（）
A．8B．C．D．
7．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知拋物線：的焦點為，點為上一點，為靠近點的三等分點，若，則點的縱坐標為（）
A．2B．4C．6D．8
8．（2023上·陜西西安·高三長安一中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為，其準線與軸的交點為，點在拋物線上，且，則（）
A．B．C．D．
9．（2023下·河南焦作·高二焦作市第一中學校考期末）已知點，拋物線的焦點為，射線與拋物線交于點，與拋物線準線相交于，若，則的值為（）
A．B．1C．2D．3
10．（2023下·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）已知，，是拋物線上三個動點，且的重心為拋物線的焦點，若，兩點均在軸上方，則的斜率恒有，則的最大值為（）
A．1B．C．D．
二、多選題
11．（2023上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學校考期末）已知拋物線的焦點為F，過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點，以下結論中正確的有（）
A．直線l的方程為
B．原點到直線l的距離為
C．
D．以AB為直徑的圓過原點
12．（2023上·浙江臺州·高二校聯考期末）已知拋物線的焦點為，為上一動點，，則下列結論中正確的是（）
A．的準線方程為B．直線與相切
C．的最小值為4D．的最小值為3
13．（2023上·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學校考期末）已知拋物線的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則下列選項正確的是（）
A．B．以MF為直徑的圓與軸相切
C．D．
14．（2023上·吉林長春·高二?？计谀┮阎獟佄锞€：的的焦點為，、是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（）
A．點的坐標為
B．若直線過點，則
C．若，則的最小值為
D．若，則線段的中點到軸的距離為
三、填空題
15．（2023上·陜西西安·高二?？计谀佄锞€，過焦點的弦AB長為8，則AB中點M的橫坐標為 .
16．（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┬甭蕿榈闹本€過拋物線的焦點，且與C交于A，B兩點，則 .
17．（2023下·內蒙古·高二校聯考期末）已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點F，O為坐標原點，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為．
18．（2023下·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谀┮阎菕佄锞€的焦點，過點且斜率為2的直線與交于兩點，若，則 .
19．（2023下·云南保山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為為坐標原點，不經過點的直線與拋物線交于兩點，且，則點到直線距離的最大值為 .
四、解答題
20．（2023上·青海西寧·高二校聯考期末）已知拋物線C：的焦點為F，過F作垂直于軸的直線與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標原點，的面積為2.
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)若直線l與拋物線C交于P，Q兩點，是線段PQ的中點，求直線l的方程.
21．（2023上·云南曲靖·高二?？计谀┤魴E圓過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點.
(1)求橢圓的方程；
(2)不過原點的直線與橢圓交于兩點，求面積.
22．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）為拋物線上一點，過作兩條關于對稱的直線分別交于兩點．
(1)求的值及的準線方程；
(2)判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
23．（2023上·青海玉樹·高二校聯考期末）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.
24．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知拋物線（）的焦點F到雙曲線的漸近線的距離是．
(1)求p的值；
(2)已知過點F的直線與E交于A，B兩點，線段的中垂線與E的準線l交于點P，且線段的中點為M，設，求實數的取值范圍．
25．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過點的直線與拋物線交于兩點，過線段的中點作直線軸，垂足為，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為上異于點的任意一點，且直線與直線交于點，證明：以為直徑的圓過定點.
類型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖象
性質
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
準線
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
對稱軸
x軸
y軸
頂點
O(0,0)
離心率
e＝1
開口方向
向右
向左
向上
向下
定義法
根據定義求p，最后寫標準方程
待定系數法
設標準方程，列有關的方程組求系數
直接法
建立恰當的坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應方程，化簡方程

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