【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學高二寒假鞏固提升訓練復習專題08+求數(shù)列通項17種常見考法歸類-練習.zip-試卷下載-教習網(wǎng)

思維導圖
核心考點聚焦
考點一、觀察法
考點二、等差等比定義求通項
考點三、由an與Sn的關系求通項
(一)消Sn
(二)消an
(三)內(nèi)部消化
(四)隱藏的Sn
考點四、因式分解
考點五、累加法求通項
考點六、累乘法求通項
考點七、構造法求通項
考點八、三項遞推法求通項
考點九、同除法
考點十、分式型取倒數(shù)求通項
考點十一、不動點法求通項
考點十二、對數(shù)變換法
考點十三、周期數(shù)列
考點十四、等和數(shù)列
考點十五、等積數(shù)列
考點十六、前n項積型
考點十七、正負相間討論、奇偶討論型
1、數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．即,不是每一個數(shù)列都有通項公式,也不是每一個數(shù)列都有一個個通項公式.數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)的表達式．
注：通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．
2、數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
3、通項公式和遞推公式的異同點
4、常見數(shù)列的通項
(1)1，2，3，4，…的一個通項公式為an＝n.
(2)2，4，6，8，…的一個通項公式為an＝2n.
(3)3，5，7，9，…的一個通項公式為an＝2n＋1.
(4)2，4，8，16，…的一個通項公式為an＝2n.
(5)－1，1，－1，1，…的一個通項公式為an＝(－1)n.
(6)1，0，1，0，…的一個通項公式為an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2).
(7)a，b，a，b，…的一個通項公式為an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).
(8)9，99，999，…的一個通項公式為an＝10n－1.
1.觀察法
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．
2.等差等比定義求通項
等差數(shù)列判定：
①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；
②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2；
③函數(shù)結論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù).
等比數(shù)列的判定方法：
(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)等比中項法：即證aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
3.利用與的關系
依據(jù)求出.
已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．
(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫
注：an與Sn關系的應用策略
(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實施消元法，將遞推關系轉化為僅含an的關系式或僅含Sn的關系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形后能否得到簡單可求的數(shù)列關系，如等差數(shù)列關系或等比數(shù)列關系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數(shù)列關系，那么就應當消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關系找”.具體如下：
(3)值得一提的是：數(shù)列通項公式an求出后，還需要驗證數(shù)列首項a1是否也滿足通項公式，即“通項求出莫疏忽，驗證首項滿足否”，這一步學生容易忘記，切記！
4.因式分解
如果式子中出現(xiàn)了2次項或者正項數(shù)列這些條件，可能需要因式分解
5.累加法與累乘法
（1）累加法：形如的解析式
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關于的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
注：累加法求通項公式的4步驟
累乘法：形如的解析式
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
注：累乘法求通項公式的4步驟
6.構造法
形如型的遞推式：
①待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）
解法：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解.
②待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）.（或其中均為常數(shù)）.
解法：在原遞推公式兩邊同除以，得：，令，得：，再按第①種情況求解.
③待定系數(shù)法：
解法：一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數(shù)列.
④待定系數(shù)法：
解法：一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數(shù)列.
7.三項遞推法求通項
形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
8.同除法
（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，從而構造數(shù)列為等差數(shù)列，進而可求得的通項公式.
（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，換元令：，則原式化為：，先利用構造法求出，再求出的通項公式.
9.分式型
取倒數(shù)法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．
形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，可通過換元：，化簡為：（可用“待定系數(shù)法”構造等比數(shù)列）
10.不動點法求通項
（1）定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點．
利用函數(shù)的不動點，可將某些遞推關系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種求數(shù)列通項的方法稱為不動點法．
（2）在數(shù)列中，已知，且時，（是常數(shù)），
①當時，數(shù)列為等差數(shù)列；
②當時，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；
③當時，數(shù)列為等比數(shù)列；
④當時，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列的通項公式為：；
（3）形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）．
（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；
（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．
(其中、可利用，求得)
（4）設，滿足遞推關系，初值條件．
令，即，令此方程的兩個根為，
①若,則有（其中）
②若,則有（其中）
（5）設函數(shù)有兩個不同的不動點,且由確定著數(shù)列,那么當且僅當時,
11.對數(shù)變換法
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
12.前n項積
對于數(shù)列，前項積記為；
； ②；①②：
考點剖析
考點一、觀察法
1、數(shù)列，，，，的一個通項公式是an=（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為數(shù)列，，，，的通項公式為，
則數(shù)列，，，，的通項公式為，
而數(shù)列，，，，的每一項都是上面數(shù)列對應項的，
所以數(shù)列，，，，的通項公式為.故選：C.
2、大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.其前10項依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，現(xiàn)將大衍數(shù)列各數(shù)按照如圖排列形成一個數(shù)表，則該數(shù)表中第8行第3個數(shù)是（）
A．152B．480C．512D．840
【答案】B
【分析】首先求得大衍數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)表的形式，求得第8行第3個數(shù)的序號，代入通項公式，即可求解.
【詳解】由已知條件將大衍數(shù)列前10項按奇數(shù)項排列前5個數(shù)依次為0，4，12，24，40，按偶數(shù)項排列前5個數(shù)依次為2，8，18，32，50，可得大衍數(shù)列通項為
數(shù)表前7行共有個數(shù)，第8行第3個數(shù)字是大衍數(shù)列中第31項，
該數(shù)為.
故選：B.
3、南宋數(shù)學家楊輝所著的《解析九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（）個球．
A．12 B．20 C．55 D．110
【答案】C
【解析】由題意知：，，，，
所以.故選：C
4、如圖，第1個圖形需要4根火柴，第2個圖形需要7根火柴，，設第n個圖形需要根火柴．
(1)試寫出，并求；
(2)記前n個圖形所需的火柴總根數(shù)為，設，求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)由題意知：，，，，
可得每增加一個正方形，火柴增加3根，即，
所以數(shù)列是以4為首項，以3為公差的等差數(shù)列，則.
(2)由題意可知，，
所以，則，
所以，，
即．
考點二、等差等比定義求通項
5、在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為________．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出其通項即可計算作答.
【詳解】由得：，而，
于是得數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
則有，
所以數(shù)列的通項公式為：.
故答案為：
6、數(shù)列的各項都是正數(shù)，，，那么此數(shù)列的通項公式為________．
【答案】
【分析】，，即，可得：數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
【解析】，，即，
數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，首項為4．，，
．故答案為：．
7、已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項公式，再利用與的關系求出即可.
【詳解】∵a1 = 1，－ = 1，
∴是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴，即，
∴（）.
當時，也適合上式，.
故選：A.
8、已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，，則數(shù)列的通項公式為_________.
【答案】
【分析】先由題干求出是以為首項，公差為的等差數(shù)列，并且求得，進而寫出數(shù)列的通項公式.
【解析】，，當時，由，可得，
即.是以為首項，公差為的等差數(shù)列..
.當時，.當時，上式成立.
故數(shù)列的通項公式為.故答案為：.
9、已知數(shù)列滿足，，則=（）
A．80B．100C．120D．143
【答案】C
【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項，即可得解.
【詳解】解：因為，
所以，即，
等式兩邊開方可得：，即，
所以數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以，
所以.
故選：C．
考點三、由an與Sn的關系求通項
消Sn
10、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋n，則an＝________.
【解析】當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝4n－1.
當n＝1時，a1＝S1＝3＝4×1－1，故an＝4n－1.
答案：4n－1
11、已知Sn＝3n＋2n＋1，則an＝____________.
【解析】因為當n＝1時，a1＝S1＝6；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]
＝2·3n－1＋2，
由于a1不適合此式，
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2))
12、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \f(1,3)an＋eq \f(2,3)，則{an}的通項公式an＝________.
【解析】當n＝1時，a1＝S1＝eq \f(1,3)a1＋eq \f(2,3)，所以a1＝1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)an－eq \f(1,3)an－1，所以eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2)，所以數(shù)列{an}為首項a1＝1，公比q＝－eq \f(1,2)的等比數(shù)列，故an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1.
13、已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且lg2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為____________．
【解析】由lg2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3，n＝1，,2n，n≥2.))
14、已知數(shù)列的前項和為，若，()，則______.
【解析】當時，；
當時，，，
數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列，；
經(jīng)檢驗：不滿足.
綜上所述：.
故答案為：.
（二）消an
15、設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
【解析】∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
又eq \f(1,S1)＝－1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列．
∴eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq \f(1,n).
答案：－eq \f(1,n)
16、設是數(shù)列的前n項和，且，，則________．
【解析】因為，所以，所以，
所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，所以.
故答案為：
17、若數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＋1＋Sn＝eq \f(1,an＋1)(n∈N*)，則a25＝________．
【解析】在數(shù)列{an}中，因為Sn＋1＋Sn＝eq \f(1,an＋1)，所以Sn＋1＋Sn＝eq \f(1,Sn＋1－Sn)，所以Seq \\al(2,n＋1)－Seq \\al(2,n)＝1，所以數(shù)列{Seq \\al(2,n)}是以1為公差的等差數(shù)列，因為a1＝1，所以Seq \\al(2,n)＝1＋(n－1)×1＝n，又因為Sn＞0，所以Sn＝eq \r(n)，所以a25＝S25－S24＝eq \r(25)－eq \r(24)＝5－2eq \r(6).故填5－2eq \r(6).
18、已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且當n≥2時，有eq \f(2an,anSn－S\\al(2,n))＝1成立，則S2 019＝________.
【解析】當n≥2時，由eq \f(2an,anSn－S\\al(2,n))＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)·Sn－Seq \\al(2,n)＝－SnSn－1，所以eq \f(2,Sn)－eq \f(2,Sn－1)＝1，又eq \f(2,S1)＝2，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,Sn)))是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以eq \f(2,Sn)＝n＋1，故Sn＝eq \f(2,n＋1)，則S2 019＝eq \f(1,1 010).
（三）內(nèi)部消化
19、設數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n項和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(5,4)，且當n≥2時，
4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)證明：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－\f(1,2)an))為等比數(shù)列．
【解析】(1)當n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)＋a4))＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)))＋1，解得a4＝eq \f(7,8).
(2)證明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
∵4a3＋a1＝4×eq \f(5,4)＋1＝6＝4a2，
∴4an＋2＋an＝4an＋1，
∴eq \f(an＋2－\f(1,2)an＋1,an＋1－\f(1,2)an)＝eq \f(4an＋2－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq \f(4an＋1－an－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq \f(2an＋1－an,2?2an＋1－an?)＝eq \f(1,2)，
∴數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－\f(1,2)an))是以a2－eq \f(1,2)a1＝1為首項，eq \f(1,2)為公比的等比數(shù)列．
（四）隱藏的Sn
20、設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝____________.
【解析】因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故當n≥2時，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
兩式相減得(2n－1)an＝2，
所以an＝eq \f(2,2n－1)(n≥2)．
又由題設可得a1＝2，滿足上式，
從而{an}的通項公式為an＝eq \f(2,2n－1)(n∈N*)．
答案：eq \f(2,2n－1)(n∈N*)
21、已知數(shù)列滿足,則的通項公式是_______.
【答案】
【解析】因為數(shù)列滿足,所以當時,
,整理得,當時,,解得,上式也成立,所以數(shù)列的通項公式為.
22、已知數(shù)列，時，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，已知，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)的關系求通項公式；
(2)利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）因為，①
所以當時，，②
①②可得，
所以，
當時，滿足上式，
所以.
（2）因為，
且為各項非零，所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
23、已知數(shù)列滿足，則___________.
【答案】
【解析】①，
②，
兩式相減得：，
所以，經(jīng)檢驗符合要求.
則，
則③，
④，
③-④得：
，
所以
故答案為：
考點四、因式分解
24、已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
【解析】(1)由題意可得a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4).
(2)由aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因此{an}的各項都為正數(shù)，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).
故{an}是首項為1，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq \f(1,2n－1).
25、已知數(shù)列的前項和為，且，.求數(shù)列的通項公式；
【解析】當時，，整理得，，解得；
當時，①，可得②，
①－②得，即，
化簡得，
因為，，所以，
從而是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以；
26、已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用與的關系結合已知條件等式推出數(shù)列是等差數(shù)列，從而求得數(shù)列的通項公式；
（2）利用(1)求，結合等比數(shù)列通項公式求得的表達式，然后利用錯位相減法求解即可．
【詳解】（1）由可得，①
，②
由可得：，
，
，
又數(shù)列為正項數(shù)列，
所以，
因為，所以，
所以數(shù)列為以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，
故.
（2）由(1)得：，又，，
所以，∵數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，
則，所以，
所以，
則，③
，④
得：，
則.
27、設是首項為1的正項數(shù)列，且，求通項公式=___________
【答案】
【分析】由條件可得，化簡得，再由遞推即可得到所求通項.
【詳解】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又滿足上式，∴.故答案為：
考點五、累加法求通項
28、設數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________________．
【解析】由題意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq \f(?n－1??2＋n?,2)＝eq \f(n2＋n－2,2).
∵a1＝1，∴an＝eq \f(n2＋n,2)(n≥2)．
∵當n＝1時也滿足此式，∴an＝eq \f(n2＋n,2).
29、若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求數(shù)列{an}的通項公式．
【解析】由題意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.又因為當n＝1時滿足此式，所以an＝2n－1.
30、在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,n?n＋1?)，則通項公式an＝________.
【解析】原遞推公式可化為an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
則a2＝a1＋1－eq \f(1,2)，a3＝a2＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，
a4＝a3＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…，an－1＝an－2＋eq \f(1,n－2)－eq \f(1,n－1)，an＝an－1＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)，累計相加得，an＝a1＋1－eq \f(1,n)，故an＝4－eq \f(1,n).
31、在數(shù)列中, ,,則該數(shù)列的通項公式= ．
【解析】因為,所以運用累加法即可得到：,所以,故應填．
32、已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋eq \f(1,n))，則an＝________；
【解析】∵an＋1＝an＋ln(1＋eq \f(1,n))，
∴an－an－1＝ln(1＋eq \f(1,n－1))＝ln eq \f(n,n－1)(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝lneq \f(n,n－1)＋lneq \f(n－1,n－2)＋…＋ln eq \f(3,2)＋ln 2＋2
＝2＋ln(eq \f(n,n－1)·eq \f(n－1,n－2)·…·eq \f(3,2)·2)
＝2＋ln n(n≥2)．
顯然滿足上式
∴an＝2＋ln n
33、已知數(shù)列滿足，，則等于（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，得，則當時，
，，，，
以上各式相加得，
所以，即，
當時，適合此式，所以.故選：D.
考點六、累乘法求通項
34、在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為__________．
【解析】∵an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，
∴an－1＝eq \f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq \f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq \f(1,2)a1.
以上(n－1)個式子相乘得
an＝a1·eq \f(1,2)·eq \f(2,3)·…·eq \f(n－1,n)＝eq \f(a1,n)＝eq \f(1,n).
當n＝1時，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq \f(1,n)(n∈N*)．
答案：an＝eq \f(1,n)(n∈N*)
35、數(shù)列滿足，，則______．
【答案】
【分析】利用累乘法求得正確答案.
【詳解】
，
也符合上式，
所以.
故答案為：
36、已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
【解析】∵an＋1＝2nan，∴eq \f(an＋1,an)＝2n，當n≥2時，an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2.又a1＝2也符合上式，∴an＝2.
答案：2
37、已知數(shù)列的首項為1，前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式___________.
【答案】n
【解析】∵，∴
當時，，
當時，成立，
∴，
當時，，
當時，滿足上式，
∴.
故答案為：n
38、已知數(shù)列滿足，，則（）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【解析】，，
即，
可得，
.故選：C.
考點七、構造法求通項
類型一: )
39、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，則數(shù)列{an}的通項公式為________________．
【解析】∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，
∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1．
答案：an＝2·3n－1－1
40、已知數(shù)列中，，（且），則數(shù)列通項公式為（）
A．B．C．D．
【解析】由，知：且()，而，，∴是首項、公比都為3的等比數(shù)列，即，故選：C
41、已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
【解析】因為點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，
所以4an－an＋1＋1＝0.
所以an＋1＋eq \f(1,3)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3))).
因為a1＝3，所以a1＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3).
故數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3)))是首項為eq \f(10,3)，公比為4的等比數(shù)列．
所以an＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)×4n－1，
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3).
答案：eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3)
42、已知數(shù)列中，，又，，若，則（）
A．7B．9C．15D．17
【解析】因為，所以，則，即，
又，所以，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，得.
故選：C.
43、在數(shù)列中，，，若，則的最小值是（）
A．9B．10C．11D．12
【解析】因為，所以，即，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
則，即.
因為，所以，所以，所以.
故選：C
44、設等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（）
A．80 B．160 C．121 D．242
【答案】D
【解析】由，得（），
所以，得，
所以等比數(shù)列的公比為，
所以由，得，
所以，解得，
所以，故選：D
類型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數(shù))
45、已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【解析】解法一：設，整理得，可得，
即，且，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時除以得：，
整理得，且，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，
當時，則
，
故，
顯然當時，符合上式，故.
故答案為：.
46、已知在數(shù)列中，，，則．
【答案】
【解析】因為，，所以，
整理得，所以數(shù)列是以為首項，
為公比的等比數(shù)列，所以，解得．
故答案為：.
類型三：
47、已知數(shù)列滿足，．數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________．
【答案】
【分析】由，可得，即，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項公式.
【解析】∵，∴即,∴,
且，，則,又，
∴數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列．∴．故答案為：.
48、已知首項為的數(shù)列的前項和為，若，則的通項公式為________．
【答案】
【分析】由題知，進而得，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，進而根據(jù)等比數(shù)列通項公式計算即可.
【解析】依題意，，故，
則，又，故數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
故，即．答案為：
考點八、三項遞推法求通項
49、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
【解析】由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1，
∴n≥2時，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，
將以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，
∴an＝3×2n－1－2(n≥2)，
經(jīng)檢驗，當n＝1時，an＝1，符合上式．
∴an＝3×2n－1－2.
答案：3×2n－1－2
50、已知數(shù)列{an}中, a1=1, a2=2, an＋2＝ eq \f(2,3)an＋1＋ eq \f(1,3)an, 求{an}的通項公式。
【解析】由an＋2＝ eq \f(2,3)an＋1＋ eq \f(1,3)an可轉化為an＋2－san＋1= t(an＋1－san)
即an＋2＝（s＋t）an＋1－s· tan,
∴ eq \b\lc\{(\a\al(s＋t＝ eq \f(2,3),s·t＝－ eq \f(1,3))) 解得 eq \b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－ eq \f(1,3))) 或 eq \b\lc\{(\a\al(s＝－ eq \f(1,3),t＝1)) 這里不妨選用 eq \b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－ eq \f(1,3))) （當然也可以選用 eq \b\lc\{(\a\al(s＝－ eq \f(1,3),t＝1)) ）
an＋2－an＋1= － eq \f(1,3) (an＋1－an)
所以{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項, － eq \f(1,3)為公比的等比數(shù)列，
所以an＋1－an＝(－ eq \f(1,3))n-1 再用累加法an－a1＝(－ eq \f(1,3))0＋(－ eq \f(1,3))1+…＋(－ eq \f(1,3))n-2＝ eq \f(1－(－ eq \f(1,3))n-1,1＋ eq \f(1,3))又a1=1，因此an＝ eq \f(7,4)－ eq \f(3,4)(－ eq \f(1,3))n-1
51、數(shù)列滿足，且，求通項.
【答案】
【解析】因為，所以，
又，所以，
由等比數(shù)列定義知，數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以，
累加法可得：，
所以，又符合該式，故.
52、已知數(shù)列滿足，則（）
A． B．2525 C． D．2526
【答案】C
【解析】由已知，∴數(shù)列為等差數(shù)列，
，
∴
∴．
∴故選：C．
考點九、同除法
53、數(shù)列滿足，那么的值為（）．
A．4B．12C．18D．32
【解析】由可得，即，
所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以，
故選：D.
54、已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；
【解析】由，
得：，
∴，
即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
得．
55、數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為___________.
【答案】．
【解析】∵，所以，即，
∴是等差數(shù)列，而，
所以，
所以．
故答案為：．
56、已知數(shù)列的首項，且滿足，設，證明是等差數(shù)列；
【解析】將等式兩邊都減去得.
再除以得，即.
即.且.
所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.
考點十、分式型取倒數(shù)求通項
57、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。
【解析】為等差數(shù)列，首項，公差為，
58、已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________
【答案】
【解析】由兩邊取倒數(shù)可得，即
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差為，所以，
所以；
故答案為：
59、已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項公式（）
B．C．D．
【解析】由，得，所以，
又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以.
故選：C.
60、已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，且有，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
顯然若，則，則，，與題意矛盾，
所以，，兩邊同時取倒數(shù)，得：，
設，，，，
因為，故，故，所以為等比數(shù)列，
所以，故，所以，
故，故選：D.
61、數(shù)列中，，且，則其通項公式為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先由得出，再由累加法計算出，進而求出.
【解析】，，化簡得：，
兩邊同時除以并整理得：，
即，，，…，，
將上述個式子相加得：
……，即，
，又也滿足上式，
，.故選：D.
62、數(shù)列滿足，．
（1）求，，的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
【答案】（1），，．；（2）；（3）
【解析】（1）由，．
可得，，．
（2）由，兩邊取倒數(shù)化簡可得：，
數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
，即．
數(shù)列的通項公式為
63、已知數(shù)列的前n項之和為，，，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
則，取倒數(shù)有，
則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；
則，則
則，故選：D
考點十一、不動點法求通項
64、已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式.
【解析】令.先求出數(shù)列的不動點，
解得.
將不動點代入遞推公式，
得，
整理得，，
∴.
令，
∴，.
∴數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列.
∴的通項公式為.
將代入，得.
∴.
65、已知，，求的通項公式.
【解析】設，
即，解得，即不動點為，，
可變形為，
即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
其通項公式，
得.
66、已知數(shù)列滿足，，則．
【答案】
【解析】設，令得：，解得：；
，化簡得：，
所以，從而，又，
所以是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故，
所以．
67、已知數(shù)列中，，求的通項.
【解析】因為的特征函數(shù)為，
則特征方程為，即，
解得，
則，①
.②
則①÷②得，
∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
∴.
∵，∴，
即.
68、已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項公式．
【答案】
【解析】依題，記，
令，求出不動點或3；
由定理可知：，，
∴，
又，所以，……，，，
∴．
又，令，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
∴．由，得．
∴．
考點十二、對數(shù)變換法
69、正項數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式是______．
【答案】
【分析】將等式兩邊同時取對數(shù)后，轉化為的形式，再利用構造法求通項公式．
【詳解】原式兩邊同時取對數(shù)，得，
即．設，則，
又，所以是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，
所以，所以，所以．故答案為：.
70、數(shù)列中，若，，則的通項公式為________.
【答案】
【分析】兩邊取對數(shù)，化簡整理得，得到數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通項公式，即可求解.
【詳解】由，兩邊取對數(shù)，可得，即，
又由，則，所以數(shù)列是以為首項，公比為3等比數(shù)列，
則，所以.
故答案為：
71、已知數(shù)列的首項為9，且，若，則數(shù)列的前項和．
【解析】數(shù)列的首項為9，且，
所以：，
所以兩邊取對數(shù)得：，
整理得：（常數(shù)），
所以：數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．
所以：，
所以：，
由于，所以：，
故：兩邊取倒數(shù)得到：，
所以數(shù)列的前項和．
故答案為：
考點十三、周期數(shù)列
72、數(shù)列 {an}滿足 an＋1＝eq \f(1,1－an) , a8＝2，則a1 ＝________.
【解析】將a8＝2代入an＋1＝eq \f(1,1－an)，可求得a7＝eq \f(1,2)；再將a7＝eq \f(1,2)代入an＋1＝eq \f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝eq \f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列，且周期為3，所以a1＝a7＝eq \f(1,2).
73、已知數(shù)列{an}的首項為2，且數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，則S1 008等于( )
A．504 B．294
C．－294 D．－504
【解析】選C ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq \f(1,3)，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴數(shù)列{an}的周期為4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq \f(7,6)，∴S1 008＝S4×252＝252×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＝－294.
74、已知數(shù)列滿足：，，，，則（）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】把遞推關系式里的換成，結合得到
，然后把上式的的換成得到周期.
【詳解】
即
又
是以為周期的周期數(shù)列.
故選：C
75、已知數(shù)列中，，，，則（）
A．4B．2C．-2D．-4
【答案】D
【解析】因為，，，所以，
則，，，…，
所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，
則.
故選：D.
76、在數(shù)列中，，，，則______；的前2022項和為______．
【答案】 2024
【解析】由，得，又，
所以，，，，，
可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為4，
故.
故答案為：；2024.
考點十四、等和數(shù)列
77、數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝eq \f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為( )
A．5 B.eq \f(7,2) C.eq \f(9,2) D.eq \f(13,2)
【解析】選B ∵an＋an＋1＝eq \f(1,2)，a2＝2，
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，n為奇數(shù)，,2， n為偶數(shù).))
∴S21＝11×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＋10×2＝eq \f(7,2).
78、已知為數(shù)列的前項和，，，則（）
A．2020B．2021C．2022D．2024
【答案】C
【解析】當時，，
當時，由得，
兩式相減可得
，即，
所以，可得，
所以.
故選：C.
79、若數(shù)列滿足，則．
【解析】，
則
．
故答案為：．
80、設數(shù)列的前n項和為，，且，若，則n的最大值為（）
A．50 B．51 C．52 D．53
【答案】B
【解析】∵，∴，
∵是以－1為公比的等比數(shù)列，∴，
,
∴，
當n為偶數(shù)時，無解，
當n為奇數(shù)時，，
∴，又，∴，即，
即，在上是增函數(shù)，
又n為奇數(shù)，，，
故n的最大值為51.故選：B.
考點十五、等積數(shù)列
81、已知數(shù)列的首項，且滿足，則．
【解析】因為，
所以，
兩式相除可得，
所以數(shù)列的各個奇數(shù)項成等比數(shù)列，公比為2，
數(shù)列的各個偶數(shù)項成等比數(shù)列，公比為2，
又因為，所以，
又，所以，
可得當為偶數(shù)時，，
所以．
故答案為：512．
82、在數(shù)列中，，，，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，數(shù)列中，，，，
所以，，，
所以
，
所以，即，
則.故選：C.
考點十六、前n項積型
83、若數(shù)列滿足其前項的積為，則．
【解析】數(shù)列滿足其前項的積為，故前項的積為，，
，當時，，顯然，它對于第一項也是成立的，
故，．
故答案為：，．
84、已知正項數(shù)列的前n項積為，且，則使得的最小正整數(shù)n的值為（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由題，，又，
，，兩式相除可得，
上式兩邊取對數(shù)，可得，即，，
，化簡得，解得，
又，即，所以的通項公式為，
，
要使，即，解得，
且，所以滿足題意的最小正整數(shù)的值為6.故選：C.
考點十七、正負相間討論、奇偶討論型
85、數(shù)列滿足，前16項和為540，則．
【解析】因為數(shù)列滿足，
當為奇數(shù)時，，
所以，，，，
則，
當為偶數(shù)時，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因為前16項和為540，
所以，
所以，解得．
故答案為：．
86、已知數(shù)列滿足，則的前40項和為．
【解析】，
當為奇數(shù)時，，
，，，，，．
從第一項開始，相鄰兩項的和構成以為首項，以為公差的等差數(shù)列．
所以的前40項和為，
故答案為：．
過關檢測
一、單選題
1．（2023上·全國·高二期末）已知數(shù)列中，且，則為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將已知式化簡得出，即可根據(jù)構造法求出數(shù)列通項，再代入數(shù)值求解即可.
【詳解】，
，
即，
兩邊同時除以得：，
即，
令，則，
則是首項為，公差為的等差數(shù)列，
則，即，
則，則.
故選：D
2．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高二?？计谀?shù)列前項和，則該數(shù)列的第4項為（）
A．19B．20C．21D．22
【答案】B
【分析】根據(jù)即可求解.
【詳解】，
該數(shù)列的第4項.
故選：B.
3．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的通項公式為，則該數(shù)列的第項為（）
A．1B．
C．D．
【答案】A
【分析】分類討論為奇數(shù)與為偶數(shù)，結合誘導公式求得恒有，從而得解.
【詳解】因為，
當為奇數(shù)時，；
當為偶數(shù)時，，；
綜上，.
故選：A.
4．（2024上·江蘇·高二期末）設數(shù)列的前項和為，，，，則數(shù)列的前項和為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件構造為常數(shù)列，求出，再利用裂項相消法求和即可.
【詳解】，且，
，即，，
故數(shù)列為常數(shù)列，且，
，則，
故數(shù)列的前項和.
故選：D.
5．（2023上·全國·高二期末）已知數(shù)列的前項和為，若，，則有（）
A．為等差數(shù)列B．為等比數(shù)列
C．為等差數(shù)列D．為等比數(shù)列
【答案】D
【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項；根據(jù)，得到即可判斷CD選項.
【詳解】由題意，數(shù)列的前項和滿足，
當時，，兩式相減，可得，
可得，即，又由，當時，，所以，
所以數(shù)列的通項公式為，故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以AB錯.
當時，，又由時，，適合上式，
所以數(shù)列的前項和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，故D正確，C錯.
故選：D.
6．（2023上·吉林長春·高二校考期末）已知數(shù)列滿足，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項為4，公比為2的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列通項公式運算求解.
【詳解】因為，則，且，
可知數(shù)列是以首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，即，
所以.
故選：C.
7．（2023上·全國·高二期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【分析】由可得，兩式相減可證明數(shù)列從第二項起成等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前項和公式、等差數(shù)列的通項公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
兩式相減得，
即，因為，
所以，
所以數(shù)列中，從第二項起成等差數(shù)列，
所以，
所以．由得，
所以，得，所以，
故選：A．
8．（2023上·天津津南·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用求通項公式，進而可得，再應用分組求和，結合等差、等比前n項和公式求.
【詳解】由題設且(n ≥ 2)，故且，
所以，又也滿足，故，則，
所以.
故選：B
9．（2024上·吉林白山·高二統(tǒng)考期末）南宋數(shù)學家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中討論了一些高階等差數(shù)列的求和方法，高階等差數(shù)列中后一項與前一項之差并不相等，但是后一項與前一項之差或者高階差成等差數(shù)列，如數(shù)列，后一項與前一項之差得到新數(shù)列，新數(shù)列為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前5項分別為，則該數(shù)列的第10項為（）
A．96B．142C．202D．278
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用累加法運算求解.
【詳解】設該數(shù)列為，其前5項分別為，
設，其前4項分別為，
由題意可知：，
當時，則
，
且符合上式，所以，
即，
則，
所以該數(shù)列的第10項為278.
故選：D.
10．（2024上·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┍硎静怀^的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項和，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)遞推公式變形并構造數(shù)列得出，再適當放縮得出，再結合等差數(shù)列的求和公式計算即可.
【詳解】由可知，所以數(shù)列是常數(shù)列，
又，，所以，則數(shù)列各項均為1，
即，，
則數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，
即，
由，
，
故，
根據(jù)題意可知：，
所以.
故選：B
二、多選題
11．（2024上·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項積為，，則（）
A．B．為遞增數(shù)列
C．D．的前n項和為
【答案】AD
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可判斷為等比數(shù)列，進而可求解A，根據(jù)即可判斷C，根據(jù)指數(shù)式的單調(diào)性即可判斷B，根據(jù)分組求和結合等比求和公式即可求解D.
【詳解】由可得，故為等比數(shù)列，且公比為3，首項為，故，進而,A正確，
當時，，所以，
當時，不符合上述表達，
因此，故C錯誤，
當時，，由于為單調(diào)遞增數(shù)列，故為單調(diào)遞減，故B錯誤，
的前n項和為，故D正確，
故選：AD
12．（2024上·湖北·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，，則（）
A．B．
C．數(shù)列是遞減數(shù)列D．數(shù)列的最小值為
【答案】AD
【分析】利用與的關系式求得與，從而判斷AB；利用作商法判斷的單調(diào)性，進而求得其最小值，從而判斷CD.
【詳解】，
，則，即，
，當時，，
又滿足上式，，故A正確，B錯誤；
易知，，，
，當時，，
當時，，當時，，
數(shù)列不是遞減數(shù)列，且當時，取得最小值，故C錯誤，D正確．
故選：AD.
13．（2024上·河北邢臺·高二河北省博野中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項和為，則（）
A．
B．為等比數(shù)列
C．
D．
【答案】ACD
【分析】選項A，代入遞推關系可得；選項B，遞推關系變形可得，從而可得為等差數(shù)列；選項C，由錯位相減法數(shù)列求和得，可得；選項D，將代入可得，令可求.
【詳解】選項A，由題意得，A正確；
選項B，將兩邊同時除以，
得，即，
則是首項為，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，錯誤；
選項C，由，
得，
所以①，
則②，
①-②得，，
，
即，則，C正確；
選項D，因為，
所以，D正確.
故選：ACD.
14．（2024上·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，，且對任意正整數(shù)，恒成立，，數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）
A．數(shù)列是等比數(shù)列B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A選項，由時，定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列；B選項，由A選項的結論，構造為等差數(shù)列，求出通項得；C選項，利用B選項中的結論驗證；D選項，利用分組求和法求數(shù)列的前項和.
【詳解】對于A，由，當時，，解得；
當時，，所以，即.
又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，A正確.
對于B，由A易得，，則.
又，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列.
則有，所以，B錯誤.
對于C，因為，，所以，C正確.
對于D，因為，
所以，D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
15．（2023下·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯(lián)考期末）設等比數(shù)列的前n項和為.已知，，則 .
【答案】/31.5
【分析】根據(jù)得相減可得公比，由求解首項，即可由求和公式代入求解.
【詳解】當?shù)墓葹?時，由可知顯然不成立，故公比不為1，
由得，
所以時，，相減可得，故公比，又，
故，
故答案為：
16．（2023下·江西·高二統(tǒng)考期末）記等比數(shù)列的前n項和為，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列前項和與通項的關系，結合等比數(shù)列的定義，建立方程，可得答案.
【詳解】當時，；當時，，
由數(shù)列是等比數(shù)列，則，則，解得.
故答案為：.
17．（2023上·全國·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，，則．
【答案】
【分析】由遞推關系得到，再用累加法和等差數(shù)列的求和公式求出結果即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
，
，
，
累加可得
，
化簡可得，
故答案為：
18．（2023下·黑龍江大慶·高二大慶市第二十三中學?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前n項和．
【答案】
【分析】利用累乘法求得，可得，再利用裂項相消法得答案.
【詳解】由，得，，…，（），
以上各式相乘，得（），
又，所以（），
當時，，滿足上式，所以，
，
所以．
故答案為：.
19．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【分析】由題意根據(jù)等差數(shù)列的前項和可得，再利用構造法結合等差數(shù)列的通項即可得解.
【詳解】因為，
所以，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
，
所以.
故答案為：.
20．（2023下·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，若表示不超過x的最大整數(shù)，則．
【答案】1
【分析】根據(jù)迭代法可得利用裂項求和結合的定義即可求解.
【詳解】由得時，，
當時，也符合，所以
，故，
，
故答案為：1
21．（2023上·全國·高二期末）在數(shù)列中，，，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的最小值為．
【答案】
【分析】分析可得數(shù)列是等比數(shù)列，求得，由已知可得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列最大項的值，即可得出實數(shù)的最小值.
【詳解】由有，且，
故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，可得，
不等式可化為，令，
當時；當時，．
故有當時，，
則，
當時，，即，
此時，數(shù)列單調(diào)遞減，
綜上所述，，可得實數(shù)的最小值為．
故答案為：.
22．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學?？计谀┮阎獢?shù)列滿足：，設數(shù)列的前項和為，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】已知條件求出，裂項相消求出，由不等式恒成立，列不等式求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】數(shù)列滿足：，
時，
時，，
得，即，
時也滿足，則有.
，
，
不等式恒成立，即，解得或.
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題
23．（2023上·福建莆田·高二仙游一中校聯(lián)考期末）設數(shù)列的前項和為，已知，且
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）計算，根據(jù)得到，變換，確定是首項為，公比為的等比數(shù)列，計算得到答案.
（2）確定，代入式子變換得到，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值得到答案.
【詳解】（1），則，故，
當時，，，
兩式相減得到，即，則，
，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，故，
時滿足，故.
（2），，
，即，
設，且，，
在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當趨近時，趨近，故，故.
24．（2024上·湖北·高二期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式求出，繼而寫出當時，，和已知等式相減可推出，，即可求得答案；
（2）由（1）的結果可得的表達式，利用錯位相減法求數(shù)列的和，即得答案.
【詳解】（1）當時，，
又的各項均為正數(shù)，所以；
當時，得，則，
所以，
又的各項均為正數(shù)，所以，所以，，
所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）知，，
所以，①
故，②
①-②得：
，
所以
25．（2023上·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┮阎棓?shù)列的前項和為，，且當時．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小，并加以證明.
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）由時，，及條件可得，再由累加法可求出，再由求出.
（2）由的通項公式可知，利用錯位相減法求出，再由不等式的性質比較與的大小.
【詳解】（1）因為時，
數(shù)列為正項數(shù)列，所以．
由累加法得，
又，所以，即，
故當時，，
因此．
（2）．證明如下：
由題意及（1）可得，
故，
．
兩式相減，得，
得．由于，故，所以．
26．（2024上·吉林長春·高二長春市第二中學校聯(lián)考期末）設數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)求得.
（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，，
當時，，
當時，，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，也符合.
所以.
（2）由（1）得，所以
.
27．（2024上·天津南開·高三統(tǒng)考期末）已知正項等比數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，當時，.
(1)求的通項公式：
(2)證明是等差數(shù)列，并求；
(3)設數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
(3).
【分析】（1）利用等比數(shù)列基本量的計算求通項公式；
（2）利用與的關系以及等差數(shù)列的定義求解；
（3）利用錯位相減法求和以及基本不等式求解.
【詳解】（1）設正項等比數(shù)列的公比為，
由，得，
解得，所以.
（2）當時，，
所以，
整理得，
所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.
所以，即.
（3）由（1）?（2）知，
所以，①
②
①-②得,
所以.
由得，即，
因為，當且僅當時，等號成立，
所以.
28．（2024上·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列的前項和為，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)與之間的關系結合等差數(shù)列的定義分析證明；
（2）由（1）可得，進而可得是常數(shù)列以及，代入利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）當時，，由于，解得；
當時，，整理得；
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知：，
因為，整理得，
可知數(shù)列是常數(shù)列.
所以，即，
可得，
所以.
不同點
相同點
通項公式
可根據(jù)某項的序號n的值，直接代入求出an
都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項
遞推公式
可根據(jù)第一項(或前幾項)的值，通過一次(或多次)賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的an，也可通過變形轉化，直接求出an
與同時存在
1：已知與的關系；或與的關系
用，得到
例：已知，求
2：已知與的關系；或與的關系
替換題中的
例：已知；
已知
3：等式中左側含有：
作差法
（類似）
例子：已知求
前n項積
1：已知和的關系
角度1：用，得到
例子：的前項之積.
2：已知和的關系
角度1：用替換題目中
例子：已知數(shù)列的前n項積為，且.

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