A組·素養(yǎng)自測
一、選擇題
1．若正方體的表面積為96，則正方體的體積為( B )
A．48eq \r(6) B．64
C．16 D．96
[解析] 設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64.
2．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是( A )
A.eq \f(3＋\r(3),4)a2 B．eq \f(3,4)a2
C.eq \f(3＋\r(3),2)a2 D．eq \f(6＋\r(3),4)a2
[解析] 因為側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于eq \f(\r(2),2)a，所以S表＝eq \f(\r(3),4)a2＋3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2＝eq \f(3＋\r(3),4)a2.
3．已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為( B )
A．80 B．240
C．320 D．640
[解析] 由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上、下底邊長分別為4和16，腰長為10的等腰梯形，則該等腰梯形的高為eq \r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16－4,2)))2)＝8.
∴等腰梯形的面積為eq \f(1,2)×(4＋16)×8＝80，
∴該棱臺的側(cè)面積S＝3×80＝240.故選B.
4．設(shè)正棱錐的高和底面邊長都縮小為原來的eq \f(1,2)，則它的體積是原來的( B )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,16) D．eq \f(1,32)
[解析] 底面邊長變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,2)后，面積變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,4)，高變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,2)，所以體積是原來的eq \f(1,8).
5．棱錐的一個平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于( B )
A．1∶9 B．1∶8
C．1∶4 D．1∶3
[解析] 因為平行于棱錐底面的截面將棱錐的高分成1∶2兩部分，易得兩個棱錐的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側(cè)面積之比為1∶8，故選B.
二、填空題
6．已知一個長方體的三個面的面積分別是eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，則這個長方體的體積為 eq \r(6) .
[解析] 設(shè)長方體從一頂點出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq \r(6).
7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的高為6，AB＝4，點D為棱BB1的中點，則四棱錐C－A1ABD的表面積是 36＋4eq \r(3)＋2eq \r(39) .
[解析] 正三棱柱ABC－A1B1C1的高為AA1＝6，AB＝4，點D為棱BB1的中點，如圖所示：
則四棱錐C－A1ABD的表面積是S＝S梯形A1ABD＋S△ABC＋S△BCD＋S△A1AC＋S△A1CD＝eq \f(1,2)×(6＋3)×4＋eq \f(\r(3),4)×42＋eq \f(1,2)×3×4＋eq \f(1,2)×6×4＋eq \f(1,2)×eq \r(42＋62)×2eq \r(3)×4＝36＋4eq \r(3)＋2eq \r(39).
8．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq \r(3)，D為BC的中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為_1__.
[解析] 如圖，
S△B1DC1＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，三棱錐的高即A到面BB1C1C的距離，即AD＝eq \r(3).
所以VA－B1DC1＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.
三、解答題
9.如圖，棱錐的底面ABCD是一個矩形，AC與BD交于點M，VM是棱錐的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求錐體的體積．
[解析] ∵VM是棱錐的高，
∴VM⊥MC.
在Rt△VMC中，MC＝eq \r(VC2－VM2)＝eq \r(52－42)＝3(cm)，
∴AC＝2MC＝6(cm)．
在Rt△ABC中，
BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(62－42)＝2eq \r(5)(cm)．
S底＝AB·BC＝4×2eq \r(5)＝8eq \r(5)(cm2)，
∴V錐＝eq \f(1,3)S底h＝eq \f(1,3)×8eq \r(5)×4＝eq \f(32\r(5),3)(cm3)．
∴棱錐的體積為eq \f(32\r(5),3) cm3.
10．如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．
[解析] 設(shè)AB＝a，AD＝b，DD′＝c，則長方體ABCD－A′B′C′D′的體積V＝abc，又S△A′DD′＝eq \f(1,2)bc，且三棱錐C－A′DD′的高為CD＝a.
∴V三棱錐C－A′DD′＝eq \f(1,3)S△A′DD′·CD＝eq \f(1,6)abc.
則剩余部分的幾何體體積V剩＝abc－eq \f(1,6)abc＝eq \f(5,6)abc.
故V棱錐C－A′DD′∶V剩＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)abc))∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)abc))＝1∶5.
B組·素養(yǎng)提升
一、選擇題
1．若正方體八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是( A )
A.eq \r(3) B．eq \r(2)
C．eq \f(2,\r(3)) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 如圖所示，正方體的A′，C′，D，B的四個頂點可構(gòu)成一個正四面體，設(shè)正方體棱長為a，
則正四面體棱長為eq \r(2)a.
所以正方體表面積S1＝6a2，
正四面體表面積為S2＝4×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2)a)2＝2eq \r(3)a2，所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(6a2,2\r(3)a2)＝eq \r(3).
2．在正六棱臺ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，A1B1＝3，AA1＝eq \r(10)，則該棱臺的體積為( D )
A.eq \f(59\r(3),4) B．eq \f(59\r(3),2)
C．eq \f(57\r(3),4) D．eq \f(57\r(3),2)
[解析] 設(shè)上、下底面的中心分別為M，N，上、下底面的面積分別為S1、S2，過A作AP⊥A1N，垂足為P，如圖所示，
則AP＝MN＝eq \r(10－?3－2?2)＝3，
故該棱臺的體積V＝eq \f(1,3)(S1＋S2＋eq \r(S1S2))h＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)×22×6＋\f(\r(3),4)×32×6＋\r(\f(\r(3),4)×22×6×\f(\r(3),4)×32×6)))×3＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(3)＋\f(27\r(3),2)＋9\r(3)))×3＝eq \f(57\r(3),2).
故選D.
3．(2020·全國Ⅰ卷理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( C )
A.eq \f(\r(5)－1,4) B．eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(5)＋1,4) D．eq \f(\r(5)＋1,2)
[解析] 如圖，設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(b2－\f(a2,4))，
由題意得PO2＝eq \f(1,2)ab，即b2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ab，
化簡得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－2·eq \f(b,a)－1＝0，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(1＋\r(5),4)(負(fù)值舍去)．故選C.
二、填空題
4．某幾何體的直觀圖及其相應(yīng)的度量信息如圖所示，則該幾何體的表面積為 20＋4eq \r(2) .
[解析] 由直觀圖可知，該幾何體的上部為一正四棱錐，下部為一正方體，正方體的棱長為2，正四棱錐的底面為正方形，其邊長為2，正四棱錐的高為1，所以此幾何體的表面積為5×2×2＋4×eq \f(1,2)×2×eq \r(2)＝20＋4eq \r(2).
5．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CC1的中點，過點A，E，F(xiàn)作一個截面，該截面將正方體分成兩個多面體，則體積較小的多面體的體積為 eq \f(7a3,24) .
[解析] 如圖，依次連接AE，EF，F(xiàn)D1，D1A，四邊形AEFD1即為所求截面，
因為點E、F分別為棱BC、CC1的中點，所以EF∥D1A，
可知ADD1－ECF為三棱臺，所以S△ADD1＝eq \f(1,2)×a×a＝eq \f(a2,2)，S△ECF＝eq \f(1,2)×eq \f(a,2)×eq \f(a,2)＝eq \f(a2,8)，
其體積VADD1－ECF＝eq \f(1,3)(S△ADD1＋eq \r(S△ADD1·S△ECF)＋S△ECF)×CD＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)＋\r(\f(a2,2)×\f(a2,8))＋\f(a2,8)))×a＝eq \f(7a3,24)，
且正方體的體積為VABCD－A1B1C1D1＝a×a×a＝a3，
則另一部分的體積為V＝VABCD－A1B1C1D1－VADD1－ECF＝a3－eq \f(7a3,24)＝eq \f(17a3,24)，
因為eq \f(17a3,24)>eq \f(7a3,24)，所以體積較小的多面體的體積為eq \f(7a3,24).故答案為eq \f(7a3,24).
三、解答題
6．如圖，已知正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．
[解析] 如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點O
作OE⊥AB，與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.
∵S側(cè)＝2S底，∴3×eq \f(1,2)a×h′＝2×eq \f(\r(3),4)a2.
∴a＝eq \r(3)h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.
∴h′＝2eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)h′＝6.
∴S底＝eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(3),4)×62＝9eq \r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq \r(3).
∴S表＝S側(cè)＋S底＝18eq \r(3)＋9eq \r(3)＝27eq \r(3).
C組·探索創(chuàng)新
如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為4，動點E，F(xiàn)在棱AB上，且EF＝2，動點Q在棱D′C′上，則三棱錐A′－EFQ的體積( D )
A．與點E，F(xiàn)的位置有關(guān)
B．與點Q的位置有關(guān)
C．與點E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)
D．與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，是定值
[解析] VA′－EFQ＝VQ－A′EF，
由于△A′EF的底邊EF長度不變，高A′A長度也不變，所以S△A′EF＝eq \f(1,2)×2×4＝4.棱錐的高即Q到△A′EF的距離始終為A′D′也不變，所以VQ－A′EF＝eq \f(1,3)×4×4＝eq \f(16,3)為定值，與點E，F(xiàn)，Q位置均無關(guān)．

相關(guān)試卷

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積習(xí)題：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積習(xí)題，共6頁。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積復(fù)習(xí)練習(xí)題：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積復(fù)習(xí)練習(xí)題，共3頁。試卷主要包含了5-148，5 m,10 cm=0等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積課堂檢測：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積課堂檢測，共10頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積課后復(fù)習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積課后復(fù)習(xí)題
數(shù)學(xué)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積課時訓(xùn)練

數(shù)學(xué)必修 第二冊8.3 簡單幾何體的表面積與體積課時訓(xùn)練
高中人教A版 (2019)8.3 簡單幾何體的表面積與體積鞏固練習(xí)

高中人教A版 (2019)8.3 簡單幾何體的表面積與體積鞏固練習(xí)
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊第八章 立體幾何初步8.3 簡單幾何體的表面積與體積課后練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊第八章 立體幾何初步8.3 簡單幾何體的表面積與體積課后練習(xí)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.3 簡單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部