A級——基礎過關練
1.直線AB的方向向量為 eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，2，1)，直線CD的方向向量為 eq \(CD,\s\up6(→))＝(－6，－4，－2)，則直線AB與直線CD的位置關系是( )
A.重合 B.平行
C.平行或重合 D.相交
【答案】C 【解析】由已知得 eq \(CD,\s\up6(→))＝－2 eq \(AB,\s\up6(→))，則 eq \(CD,\s\up6(→))∥ eq \(AB,\s\up6(→))，故兩直線平行或重合.
2.已知平面α內有一個點A(2，－1，2)，α的一個法向量為n＝(3，1，2)，則下列點P中，在平面α內的是( )
A.(1，－1，1) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2)))D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
【答案】B 【解析】由題意可知符合條件的點P應滿足 eq \(PA,\s\up6(→))·n＝0，選項A， eq \(PA,\s\up6(→))＝(2，－1，2)－(1，－1，1)＝(1，0，1)， eq \(PA,\s\up6(→))·n＝3×1＋1×0＋2×1＝5≠0，故點P不在平面α內；選項B， eq \(PA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))， eq \(PA,\s\up6(→))·n＝0，故點P在平面α內；選項C， eq \(PA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2)))， eq \(PA,\s\up6(→))·n＝6≠0，故點P不在平面α內；選項D， eq \(PA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－4，\f(7,2)))， eq \(PA,\s\up6(→))·n＝12≠0，故點P不在平面α內.
3.已知平面α內的三點A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.異面
【答案】A 【解析】設平面α的法向量m＝(x，y，z)，由m· eq \(AB,\s\up6(→))＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z，由m· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1，所以m＝(1，1，1)，m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.
4.設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若a·b＝0，則( )
A.l∥αB.l?α
C.l⊥αD.l?α或l∥α
【答案】D 【解析】因為a·b＝0，所以l?α或l∥α.故選D.
5.已知兩個不重合的平面α與平面ABC，若平面α的法向量為n1＝(2，－3，1)，向量 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，－2)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，1，1)，則( )
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α與平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
【答案】A 【解析】因為n1· eq \(AB,\s\up6(→))＝0，n1· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，AB∩AC＝A，所以n1也是平面ABC的法向量.又因為平面α與平面ABC不重合，所以平面α與平面ABC平行.故選A.
6.已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則( )
A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝15
C.x＝ eq \f(8,3)，y＝ eq \f(10,3)D.x＝6，y＝ eq \f(15,2)
【答案】D 【解析】因為l1∥l2，所以a∥b，得 eq \f(3,2)＝ eq \f(x,4)＝ eq \f(y,5)，解得x＝6，y＝ eq \f(15,2).故選D.
7.(多選)已知平面α的法向量為n＝(2，－2，4)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，1，2)，則直線AB與平面α的位置關系可能為( )
A.AB∥αB.AB?α
C.AB與α相交 D.AB⊥α
【答案】AB 【解析】因為n· eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，4)·(－3，1，2)＝－6－2＋8＝0，所以n⊥ eq \(AB,\s\up6(→))，故AB?α或AB∥α.
8.我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(－3，4)，且法向量為n＝(1，－2)的直線(點法式)方程為：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡得x－2y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經過點A(1，2，3)且法向量為n＝(－1，－2，1)的平面的方程為________________.
【答案】x＋2y－z－2＝0 【解析】類比直線方程求法得平面方程為(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.
9.已知空間直角坐標系Oxyz中的點A(1，1，1)，平面α過點A并且與直線OA垂直，動點P(x，y，z)是平面α內的任一點，則點P的坐標滿足的條件為________.
【答案】x＋y＋z＝3 【解析】由題意知，OA⊥α，直線OA的方向向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1，1)，因為P∈α，所以 eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(AP,\s\up6(→))，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3.
10.如圖，在四棱錐SABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝ eq \f(1,2)，建立適當的空間直角坐標系，求平面SDC與平面SAB的一個法向量.
解：如圖，以A為原點，以 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AS,\s\up6(→))分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，C(1，1，0)，S(0，0，1)，
則 eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))， eq \(DS,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，1)).
易知向量 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一個法向量.
設n＝(x，y，z)為平面SDC的法向量，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝\f(1,2)x＋y＝0，,n·\(DS,\s\up6(→))＝－\f(1,2)x＋z＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x，,z＝\f(1,2)x.))
取x＝2，則y＝－1，z＝1，
所以平面SDC的一個法向量為(2，－1，1).
B級——能力提升練
11.(多選)若n＝(2，－3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是( )
A.n1＝(－2，3，－1)B.n2＝(200，－300，100)
C.n3＝(2 eq \r(5)，－3 eq \r(5)， eq \r(5))D.n4＝(－2，3，0)
【答案】ABC 【解析】因為n1＝－n，n2＝100n，n3＝ eq \r(5)n，所以n1∥n，n2∥n，n3∥n，即n1，n2，n3都能作為α的法向量.故選ABC.
12.已知A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(1，1，x)，若AD?平面ABC，則實數x的值是( )
A.－1 B.2 C.0 D.－2
【答案】C 【解析】由題意得 eq \(AD,\s\up6(→))＝(1，1，x)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，1，0).設平面ABC的法向量n＝(a，b，c)，則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))可取c＝1，故平面ABC的一個法向量n＝(0，0，1).若AD?平面ABC，則 eq \(AD,\s\up6(→))·n＝0，所以1×0＋1×0＋x＝0，解得x＝0.
13.已知平面α內兩向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c為平面α的法向量，則m＝__________，n＝__________.
【答案】－1 2 【解析】c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c為平面α的法向量，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c·a＝0，,c·b＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝2.))
14.如圖，在正三棱錐SABC中，點O是△ABC的中心，D是棱BC的中點，則平面ABC的一個法向量可以是________，平面SAD的一個法向量可以是________.
【答案】 eq \(OS,\s\up6(→)) eq \(BC,\s\up6(→))(答案不唯一) 【解析】在正三棱錐SABC中，點O是△ABC的中心，所以SO⊥平面ABC，所以BC⊥SO.因為AB＝AC，D是BC的中點，所以BC⊥AD.又因為SO∩AD＝O，所以BC⊥平面SAD.所以 eq \(OS,\s\up6(→))是平面ABC的一個法向量， eq \(BC,\s\up6(→))是平面SAD的一個法向量.
15.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點.求證：平面AMN∥平面EFDB.
證明：如圖，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.
設正方體棱長為a，則A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，
所以N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，a))，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，a))，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a，a))，F(xiàn) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，a))，
所以 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，a))， eq \(NM,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))， eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0)， eq \(DF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，a)).
設平面AMN與平面EFDB的法向量分別為m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AN,\s\up6(→))＝0，,m·\(NM,\s\up6(→))＝0，))
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)x1＋0×y1＋az1＝0，,\f(a,2)x1＋\f(a,2)y1＋0×z1＝0，))
所以y1＝－x1＝－2z1.
取z1＝1，得平面AMN的一個法向量m＝(2，－2，1).
同理由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DB,\s\up6(→))＝0，,n·\(DF,\s\up6(→))＝0，))可得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，得平面EFDB的一個法向量n＝(2，－2，1).
因為m＝n，所以m∥n.
所以平面AMN∥平面EFDB.

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