第十六章 二次根式單元解讀R·八年級下冊 了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）的加、減、乘、除運算法則，會用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運算. “數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言，初中階段關(guān)注用字母表述代數(shù)式，以及代數(shù)式的運算，字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運算和推理，通過字母運算和推理得到的結(jié)論具有一般性. 數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運算能力.課標(biāo)要求 本章主要討論如何對數(shù)和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運算.通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生將建立起比較完善的代數(shù)式及其運算的知識結(jié)構(gòu)，并為勾股定理、一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.二次根式的縱向聯(lián)系七年級上冊第一章 有理數(shù)第二章 整式的加減七年級下冊第六章 實數(shù)八年級上冊第十四章 整式的乘法與因式分解第十五章 分式八年級下冊第十七章 勾股定理九年級上冊第二十一章 一元二次方程第二十二章 二次函數(shù)概念運算分母有理化最簡二次根式二次根式化簡的一般步驟化簡二次根式二次根式的橫向聯(lián)系16.1二次根式 研究二次根式的概念和性質(zhì).教材通過幾個具體問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識寫出結(jié)果，并概括它們的共同特點，引出二次根式的概念.理解被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)的要求是理解二次根式概念的關(guān)鍵，教材結(jié)合例題對此進(jìn)行了具體分析.16.2二次根式的乘除 通過探究，引導(dǎo)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)，從具體數(shù)字的運算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而歸納得出二次根式的乘法法則、除法法則.最簡二次根式的概念是加減運算的基礎(chǔ)，實際上也是對二次根式運算結(jié)果的一種要求，同時也為二次根式的運算明確了方向.16.3二次根式的加減 采用歸納的方法，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生概括了二次根式加減運算法則，并通過幾個二次根式混合運算的例題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識二次根式和整式在性質(zhì)、運算法則上的一致性.學(xué)習(xí)目標(biāo)經(jīng)歷探索二次根式的性質(zhì)以及有關(guān)運算法則的過程，理解二次根式的有關(guān)運算的算理，進(jìn)一步發(fā)展觀察、操作、概括等能力，發(fā)展有條理的思考能力以及語言表達(dá)能力01了解二次根式、最簡二次根式的概念，會辨別最簡二次根式，理解二次根式的性質(zhì)02能熟練地進(jìn)行二次根式的化簡和二次根式的加、減、乘、除四則運算03能利用二次根式的知識解決實際問題，在解決問題的過程中體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值0401教學(xué)重點（1）二次根式的化簡與運算方法，關(guān)鍵是正確了解與運用二次根式的概念與性質(zhì)；（2）學(xué)習(xí)二次根式的有關(guān)概念與性質(zhì)，直接目的就是為了熟練地掌握二次根式的化簡與運算.02教學(xué)難點正確理解與運用二次根式的性質(zhì)加強(qiáng)符號意識、運算能力的培養(yǎng)概念性質(zhì)運算引入二次根式的加法與減法. 然后，二次根式的乘法與除法. 最后，在二次根式四則運算的基礎(chǔ)上，講述二次根式的簡單混合運算通過觀察、操作、歸納、類比等方法，給出二次根式的概念介紹二次根式的性質(zhì)，包括一個非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根的性質(zhì)、積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并歸納出最簡二次根式的概念設(shè)計思路 本章是初中階段“數(shù)與式”內(nèi)容的最后一章.實際上，二次根式并不是一個全新的概念，它是一個非負(fù)數(shù)，是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根概念的一般表示.因此，本章內(nèi)容的核心是以二次根式這一特殊的“式”為載體，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會運算在代數(shù)中的核心地位，學(xué)習(xí)用運算法則進(jìn)行運算，體會運算法則的邏輯相容性，體會運算律在代數(shù)中的基礎(chǔ)地位. 本章教學(xué)時間約需9課時，具體分配如下（僅供參考）：3個概念：二次根式，代數(shù)式，最簡二次根式3種運算：二次根式的乘除運算，二次根式的加減運算，二次根式的混合運算3種思想方法：整體思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想01 作為初中階段“數(shù)與式”內(nèi)容的最后一章，本章不僅承擔(dān)二次根式的知識教學(xué)任務(wù)，而且也有整理“數(shù)與式”的內(nèi)容、方法和基本思想的任務(wù). 因此，教學(xué)時一定要有整體觀. 具體包括：（1）從運算的角度提出學(xué)習(xí)任務(wù)，在分析開方運算的意義中使學(xué)生認(rèn)識被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的合理性，并通過簡單的變式，使學(xué)生養(yǎng)成“看到根號就要注意被開方數(shù)的符號”的習(xí)慣；（2）對于二次根式的性質(zhì)，要注意從“考察特例”的角度提出問題，并注意從聯(lián)系性中發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系；（3）對于二次根式的運算，要注意放在代數(shù)運算這個大系統(tǒng)下，加強(qiáng)“從概念到法則”“利用運算律進(jìn)行運算”“利用乘法公式簡化運算”等思想方法的教學(xué)；（4）教學(xué)中，結(jié)合具體內(nèi)容進(jìn)行“聯(lián)系性的教學(xué)” ，使學(xué)生通過本章學(xué)習(xí)建立完整的代數(shù)知識結(jié)構(gòu)，并進(jìn)一步地體會代數(shù)問題的基本研究方法. 前已指出，教材對本章內(nèi)容的處理，一以貫之地用“從具體數(shù)字的算術(shù)平方根的運算中觀察規(guī)律，歸納得出二次根式的性質(zhì)、運算法則”的方式展開.因此，教學(xué)時一定要根據(jù)教材的這一編寫意圖，讓學(xué)生通過觀察、思考、討論等，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，歸納得出有關(guān)結(jié)論.例如，對于二次根式的乘法法則和除法法則，都應(yīng)該先讓學(xué)生利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行一些具體數(shù)字的計算，并觀察所得結(jié)果，發(fā)現(xiàn)二次根式相乘(除)與積(商)的算術(shù)平方根之間的關(guān)系；然后讓學(xué)生自己舉例，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗證性計算；最后歸納出二次根式的乘法、除法法則.02 運算技能的訓(xùn)練是代數(shù)教學(xué)的基本任務(wù)，本章的“訓(xùn)練點”在兩個方面：一是“用二次根式的運算法則進(jìn)行運算”，核心是有效地利用二次根式的性質(zhì)和乘法法則、除法法則，其中將各式轉(zhuǎn)化為最簡二次根式是關(guān)鍵步驟；二是運算習(xí)慣的培養(yǎng)，與“數(shù)感”“符號意識”等相關(guān)，具體可以從“先觀察，后計算”“先化為最簡二次根式，后計算”“利用乘法公式進(jìn)行計算”等方面著手.03

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