16．1 二次根式


第1課時 二次根式的概念和性質








1．二次根式的概念和應用．


2．二次根式的非負性．





重點


二次根式的概念．


難點


二次根式的非負性．





一、情景導入


師：(多媒體展示)請同學們看屏幕，這是東方明珠電視塔．


電視節(jié)目信號的傳播半徑r/km與電視塔高h/km之間有近似關系r＝eq \r(2Rh)(R為地球半徑)．如果兩個電視塔的高分別為h1 km，h2 km，那么它們的傳播半徑之比為多少？同學們能化簡這個式子嗎？


由學生計算、討論后得出結果，并提問．


生：半徑之比為eq \f(\r(2Rh1),\r(2Rh2))，暫時我們還不會對它進行化簡．


師：那么怎么去化簡它呢？這要用到二次根式的運算和化簡．如何進行二次根式的運算？如何進行二次根式的化簡？這將是本章所學的主要內容．


二、新課教授


活動1：知識遷移，歸納概念


(多媒體演示)用含根號的式子填空．





(1)17的算術平方根是________；


(2)如圖，要做一個兩條直角邊長分別為7 cm和4 cm的三角形，斜邊長應為________cm；


(3)一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130 m2，則它的寬為________m；


(4)面積為3的正方形的邊長為________，面積為a的正方形的邊長為____________；


(5)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與開始落下時的高度h(單位：m)滿足關系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，則t＝________．


【答案】(1)eq \r(17) (2)eq \r(65) (3)eq \r(65) (4)eq \r(3) eq \r(a)


(5)eq \r(\f(h,5))


活動2：二次根式的非負性


(多媒體展示)


(1)式子eq \r(a)表示的實際意義是什么？被開方數a滿足什么條件時，式子eq \r(a)才有意義？


(2)當a＞0時，eq \r(a)________0；當a＝0時，eq \r(a)________0；二次根式是一個________．


【答案】(1)a的算術平方根，被開方數a必須是非負數 (2)＞ ＝ 非負數


老師結合學生的回答，強調二次根式的非負性．


當a＞0時，eq \r(a)表示a的算術平方根，因此eq \r(a)＞0；


當a＝0時，eq \r(a)表示0的算術平方根，因此eq \r(a)＝0.


也就是說，當a≥0時，eq \r(a)≥0.


三、例題講解


【例】當x是怎樣的實數時，eq \r(x－2)在實數范圍內有意義？


解：由x－2≥0，得x≥2.


所以當x≥2時，eq \r(x－2)在實數范圍內有意義．


四、鞏固練習


1．已知eq \r(a－2)＋eq \r(b＋\f(1,2))＝0，求－a2b的值．


【答案】eq \r(a－2)≥0，eq \r(b＋\f(1,2))≥0，又∵它們的和為0，∴a－2＝0且b＋eq \f(1,2)＝0，解得a＝2，b＝－eq \f(1,2).


∴－a2b＝－22×(－eq \f(1,2))＝2.


2．若x，y使eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)－y＝3有意義，求2x＋y的值．


【答案】－1


五、課堂小結


1．本節(jié)課主要學習了二次根式的概念．形如eq \r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，“eq \r( )”稱為二次根號．


2．二次根式的被開方數必須是什么數才有意義？eq \r(a)(a≥0)又是什么數？





1．本節(jié)課的教學過程中，通過創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者地位．


2．注重知識之間的銜接，在溫故知新的過程中引出新知，講練結合旨在鞏固學生對新知的理解．








第2課時 二次根式的化簡








1．理解(eq \r(a))2＝a(a≥0)，并能利用它進行計算和化簡．


2．通過具體數據的解答，探究eq \r(a2)＝a(a≥0)，并利用這個結論解決具體問題．





重點


理解并掌握(eq \r(a))2＝a(a≥0)，eq \r(a2)＝a(a≥0)以及它們的運用．


難點


探究結論．





一、復習導入


教師復習口述上節(jié)課的重要內容，并板書：


1．形如eq \r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式．


2.eq \r(a)(a≥0)是一個非負數．


那么，當a≥0時，(eq \r(a))2等于什么呢？下面我們一起來探究這個問題．


二、新課教授


活動1：


(多媒體演示)根據算術平方根的意義填空：


(eq \r(4))2＝________；(eq \r(2))2＝________；


(eq \r(\f(1,3)))2＝________；(eq \r(\f(5,2)))2＝________；


(eq \r(0.01))2＝________；(eq \r(0))2＝________．


由學生計算、討論得出結果，并提問部分過程，教師進行點評．


老師點評：


eq \r(4)是4的算術平方根，根據算術平方根的意義，eq \r(4)是一個平方等于4的非負數，因此(eq \r(4))2＝4.





同理：(eq \r(2))2＝2；(eq \r(\f(1,3)))2＝eq \f(1,3)；(eq \r(\f(5,2)))2＝eq \f(5,2)；(eq \r(0.01))2＝0.01；(eq \r(0))2＝0.


所以歸納出：(eq \r(a))2＝a(a≥0)．


【例1】教材第3頁例2


活動2：


(多媒體展示)填空：


eq \r(22)＝________；eq \r(0.12)＝________；


eq \r(（\f(1,3)）2)＝________；eq \r(（\f(3,7)）2)＝________；


eq \r(（2\f(1,2)）2)＝________；eq \r(02)＝________．


教師點評：


根據算術平方根的意義，我們可以得到：


eq \r(22)＝2；eq \r(0.12)＝0.1；eq \r(（\f(1,3)）2)＝eq \f(1,3)；


eq \r(（\f(3,7)）2)＝eq \f(3,7)；eq \r(（2\f(1,2)）2)＝2eq \f(1,2)；eq \r(02)＝0.


所以歸納出：eq \r(a2)＝a(a≥0)．


【例2】教材第4頁例3


教師點評：


當a≥0時，eq \r(a2)＝a；


當a≤0時，eq \r(a2)＝－a.


三、課堂小結


本節(jié)課應理解并掌握(eq \r(a))2＝a(a≥0)和eq \r(a2)＝a(a≥0)及其運用，同時應理解eq \r(a2)＝－a(a≤0)．





1．注意前后知識之間的聯(lián)系，在復習舊知的過程中導入本節(jié)課的教學內容．按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學生理解的難度．


2．在總結二次根式性質的過程中，由學生經過觀察、分析的過程，讓學生在交流活動中體會成功．


16.2 二次根式的乘除


第1課時 二次根式的乘法








理解并掌握eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)，eq \r(a·b)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)，會利用它們進行計算和化簡．





重點


eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)，eq \r(a·b)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)及它們的運用．


難點


利用逆向思維，導出eq \r(a·b)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)．





一、創(chuàng)設情境，導入新課


活動1：發(fā)現(xiàn)探究


(多媒體展示)填空：


(1)eq \r(4)×eq \r(9)＝________________________________________________________________________，


eq \r(4×9)＝________________________________________________________________________；


(2)eq \r(25)×eq \r(16)＝________________________________________________________________________，


eq \r(25×16)＝________________________________________________________________________；


(3)eq \r(\f(1,9))×eq \r(36)＝________________________________________________________________________，


eq \r(\f(1,9)×36)＝________________________________________________________________________；


(4)eq \r(100)×eq \r(0)＝________________________________________________________________________，


eq \r(100×0)＝________________________________________________________________________.


生：(1)eq \r(4)×eq \r(9)＝6，eq \r(4×9)＝6；(2)eq \r(25)×eq \r(16)＝20，eq \r(25×16)＝20；(3)eq \r(\f(1,9))×eq \r(36)＝2，eq \r(\f(1,9)×36)＝2；(4)eq \r(100)×eq \r(0)＝0，eq \r(100×0)＝0.


試一試，參考上面的結果，比較四組等式的大小關系．


生：上面各組中兩個算式的結果相等．


二、新課教授


活動2：總結規(guī)律


結合剛才的計算，學生分組討論，教師提問部分學生，最后教師綜合學生的答案，加以點評，歸納出二次根式的乘法法則．


教師點評：


1．被開方數都是非負數．





2．兩個非負數算術平方根的積等于它們積的算術平方根．


一般地，二次根式的乘法法則為：


eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)


由等式的對稱性，反過來：


eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)


活動3：講練結合


教材第6～7頁例題


三、鞏固練習


完成課本第7頁的練習．


【答案】


課本練習第1題：(1)eq \r(10)；(2)6；(3)2eq \r(3)；(4)2.


第2題：(1)77；(2)15；(3)2eq \r(y)；(4)4bceq \r(ac).


第3題：4eq \r(5).


四、課堂小結


本節(jié)課應掌握：eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)，eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)及其應用．





1．創(chuàng)設情境，給出實例．學生積極主動探索，教師引導啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學生理解的難度．


2．在二次根式乘法法則的形成過程中，由學生大膽猜測，經過思考、分析、討論的過程，讓學生在交流中體會成功． 第2課時 二次根式的除法








理解eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)和eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)，會利用它們進行計算和化簡．





重點


理解并掌握eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)，eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)，利用它們進行計算和化簡．


難點


歸納二次根式的除法法則．





一、復習導入


活動1：


1．由學生回答二次根式的乘法法則及逆向等式．


2．填空(多媒體展示)．


(1)eq \f(\r(9),\r(25))＝________，eq \r(\f(9,25))＝________；


(2)eq \f(\r(16),\r(4))＝________，eq \r(\f(16,4))＝________；


(3)eq \f(\r(81),\r(49))＝________，eq \r(\f(81,49))＝________；


(4)eq \f(\r(36),\r(64))＝________，eq \r(\f(36,64))＝________．


二、新課教授


活動2：


先由學生對上面的結果進行比較，觀察每組兩個算式結果的大小關系，并總結規(guī)律．


教師點評：


一個非負數的算術平方根除以一個正數的算術平方根，等于它們商的算術平方根．


一般地，二次根式的除法法則是：


eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)


由等式的對稱性，反過來：


eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)


【例】教材第8～9頁例題


三、鞏固練習


課本第10頁練習第1題．


【答案】(1)3 (2)2eq \r(3) (3)eq \f(\r(3),3) (4)2a


四、課堂小結


本節(jié)課應掌握eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)和eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))


(a≥0，b＞0)及其應用．





1．創(chuàng)設情境，復習二次根式的乘法，旨在類比學習二次根式的除法，培養(yǎng)學生繼續(xù)探究的興趣．


2．二次根式除法的學習過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學生經歷思考、討論、分析的過程，讓學生大膽猜測，使學生在交流中體會成功．





第3課時 最簡二次根式








最簡二次根式的概念、利用最簡二次根式的概念和性質進行二次根式的化簡和運算．





重點


最簡二次根式的運用．


難點


會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式．





一、復習導入


(學習活動)請同學們完成下列各題．(請四位同學上臺板書)


計算：(1)eq \f(\r(2),\r(3))；(2)eq \f(2\r(6),\r(18))；(3)eq \f(\r(8),\r(2a))；(4)eq \f(\r(x3),\r(x2y)).


教師點評：


(1)eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)；(2)eq \f(2\r(6),\r(18))＝eq \f(2\r(3),3)；(3)eq \f(\r(8),\r(2a))＝eq \f(2\r(a),a)；(4)eq \f(\r(x3),\r(x2y))＝eq \f(\r(xy),y).


二、新課教授


教師點評：上面這些式子的結果具有如下兩個特點：


1．被開方數不含分母．


2．被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．


師：我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．(教師板書)


教師強調：在二次根式的運算中，一般要把最后結果化為最簡二次根式．


【例1】判斷下列式子是不是最簡二次根式，為什么？


(1)3xyeq \r(\f(1,2)x)；(2)25aeq \r(3a3)；(3)eq \r(\f(1,x))；(4)eq \r(0.2a).


解：(1)被開方數中有因數eq \f(1,2)，因此它不是最簡二次根式；(2)被開方數中有開得盡方的因式a2，因此它不是最簡二次根式；(3)被開方數中有分母，因此它不是最簡二次根式；(4)被開方數中有因數0.2，它不是整數，所以它不是最簡二次根式．


【例2】化簡：


(1)eq \r(\f(27,8))；(2)eq \r(12x2y3)(x≥0)；(3)eq \r(a2b4＋a4b2)(ab≥0)．


解：(1)eq \r(\f(27,8))＝eq \r(\f(27×2,8×2))＝eq \r(\f(9,16)×6)＝eq \f(3,4)eq \r(6)；


(2)eq \r(12x2y3)＝eq \r(4x2y2·3y)＝2xyeq \r(3y)；


(3)eq \r(a2b4＋a4b2)＝eq \r(a2b2（b2＋a2）)＝abeq \r(a2＋b2).


【例3】教材第9頁例7


三、課堂小結


1．本節(jié)課應掌握最簡二次根式的特點及其運用．


2．二次根式的運算結果要化為最簡二次根式．





1．注重知識的前后聯(lián)系，溫故而知新．讓學生積極主動地探索，教師引導和啟發(fā)，使學生在經過思考、討論和分析的過程后，獲得新知，體會學習的樂趣．


2．前兩個例題旨在加強對最簡二次根式的理解，第三個例題讓學生靈活運用二次根式解決實際問題．





16.3 二次根式的加減


第1課時 二次根式的加減








理解并掌握二次根式加減的方法，并能用二次根式加減法法則進行二次根式的加減運算．





重點


理解并掌握二次根式加減計算的方法．


難點


二次根式的化簡、合并被開方數相同的最簡二次根式．





一、復習導入


(學生活動)


1．計算：


(1)x＋2x；(2)3a－2a＋4a；(3)2x2－3x2＋5x2；(4)2a2－4a2＋3a.


2．教師點評：上面的運算實際上就是以前所學習的合并同類項，合并同類項就是字母連同指數不變，系數相加減．


二、新課教授


(學生活動)


1．類比計算，說明理由．


(1)eq \r(2)＋2eq \r(2)；(2)3eq \r(8)－2eq \r(8)＋4eq \r(8)；


(3)3eq \r(2)＋eq \r(8)；(4)2eq \r(3)－3eq \r(3)＋eq \r(12).


2．教師點評：


(1)eq \r(2)＋2eq \r(2)＝(1＋2)eq \r(2)＝3eq \r(2)；


(2)3eq \r(8)－2eq \r(8)＋4eq \r(8)＝(3－2＋4)eq \r(8)＝5eq \r(8)＝10eq \r(2)；


(3)雖然表面上eq \r(2)與eq \r(8)的被開方數不同，不能當作被開方數相同，但eq \r(8)可化為2eq \r(2)，3eq \r(2)＋eq \r(8)＝3eq \r(2)＋2eq \r(2)＝(3＋2)eq \r(2)＝5eq \r(2)；





(4)同樣eq \r(12)可化為2eq \r(3)，


2eq \r(3)－3eq \r(3)＋eq \r(12)＝2eq \r(3)－3eq \r(3)＋2eq \r(3)＝(2－3＋2)eq \r(3)＝eq \r(3).


所以在用二次根式進行加減運算時，如果被開方數相同則可以進行合并，因此可將二次根式先化為最簡二次根式，比較被開方數是否相同．


因此可得：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并．


【例1】教材第13頁例1


【例2】教材第13頁例2


三、鞏固練習


教材第13頁練習第1，2題．


【答案】第1題：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確．


第2題：(1)－4eq \r(7)；(2)3eq \r(5)；(3)10eq \r(2)－3eq \r(3)；(4)3eq \r(6)＋eq \f(1,4)eq \r(2).


四、課堂小結


本節(jié)課應掌握進行二次根式加減運算時，先把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，再把相同被開方數的最簡二次根式進行合并．





1．創(chuàng)設情境，給出實例．由學生主動參與，經過思考、討論、分析的過程，老師加以啟發(fā)和引導，類比得出二次根式的加減運算法則．


2．兩個例題，旨在幫助學生理解并掌握二次根式的加減運算法則．尤其是例2，要按照兩個步驟進行計算，培養(yǎng)了學生利用概念、法則進行計算和化簡的嚴謹態(tài)度和科學精神．





第2課時 二次根式的加減乘除混合運算








含有二次根式的式子進行加減乘除混合運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用．





重點


二次根式的加減乘除混合運算．


難點


由整式運算知識遷移到含二次根式的運算．





一、復習導入


(學生活動)：請同學們完成下列各題．


計算：


(1)(3x2＋2x＋2)·4x；


(2)(4x2－2xy)÷(－2xy)；


(3)(3a＋2b)(3a－2b)；


(4)(2x＋1)2＋(2x－1)2.


二、新課教授


由于整式運算中的x，y，a，b是字母，它的意義十分廣泛，可以代表一切，當然也可以代表二次根式，因此整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式，下面我們就使用這些規(guī)律來進行計算．


【例1】計算：


(1)(eq \r(8)＋eq \r(3))×eq \r(6)；


(2)(4eq \r(2)－3eq \r(6))÷2eq \r(2).


分析：二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以可直接用整式的運算規(guī)律．


解：(1)(eq \r(8)＋eq \r(3))×eq \r(6)＝eq \r(8)×eq \r(6)＋eq \r(3)×eq \r(6)


＝eq \r(48)＋eq \r(18)＝4eq \r(3)＋3eq \r(2)；


(2)(4eq \r(2)－3eq \r(6))÷2eq \r(2)


＝4eq \r(2)÷2eq \r(2)－3eq \r(6)÷2eq \r(2)＝2－eq \f(3,2)eq \r(3).


【例2】計算：


(1)(eq \r(2)＋3)(eq \r(2)－5)；


(2)(eq \r(5)＋eq \r(3))(eq \r(5)－eq \r(3))；


(3)(eq \r(3)－eq \r(2))2.


分析：第(1)題可類比多項式乘以多項式法則來計算，第(2)題把eq \r(5)當作a，eq \r(3)當作b，就可以類比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)題可類比(a－b)2＝a2－2ab＋b2來計算．


解：(1)(eq \r(2)＋3)(eq \r(2)－5)


＝(eq \r(2))2＋3eq \r(2)－5eq \r(2)－15


＝2＋3eq \r(2)－5eq \r(2)－15


＝－13－2eq \r(2)；


(2)(eq \r(5)＋eq \r(3))(eq \r(5)－eq \r(3))


＝(eq \r(5))2－(eq \r(3))2＝5－3＝2；


(3)(eq \r(3)－eq \r(2))2


＝(eq \r(3))2－2×eq \r(3)×eq \r(2)＋(eq \r(2))2


＝5－2eq \r(6).


三、鞏固練習


教材第14頁練習第1，2題．


【答案】第1題：(1)eq \r(6)＋eq \r(10)；(2)4＋2eq \r(2)；(3)11＋5eq \r(5)；(4)4.第2題：(1)9；(2)a－b；(3)7＋4eq \r(3)；(4)22－4eq \r(10).


四、課堂小結


本節(jié)課應掌握利用整式運算的規(guī)律進行二次根式的乘除、乘方等運算．





1．情境引入，復習整式運算的知識，旨在遷移到利用乘法公式進行含二次根式算式的運算，培養(yǎng)學生繼續(xù)探究的興趣．


2．例題的設計，旨在幫助學生理解乘法公式在二次根式運算中的應用．


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