1．已知二次函數(shù)如圖所示，那么的圖像可能是（ ）
B．C．D．
2．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則選項中函數(shù)y＝a（x﹣b）2＋c的圖象正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax2＋b與y＝bx2＋ax的圖象可能是( )
A．B．C．D．
4．如果兩個不同的二次函數(shù)的圖象相交，那么它們的交點最多有（ ）
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個
5．如圖，在平面直角坐標系中，垂直于x軸的直線分別交拋物線y＝x2（x≥0）和拋物線y＝x2（x≥0）于點A和點B，過點A作AC∥x軸交拋物線y＝x2于點C，過點B作BD∥x軸交拋物線y＝x2于點D，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
6．如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，拋物線y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的頂點為A，過點A作y軸的平行線交拋物線于點B，連接AO、BO，則△AOB的面積為________．
7．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，若|ax2+bx+c|=k有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是____．
三、解答題
8．已知，點M為二次函數(shù)圖象的頂點，直線分別交x軸正半軸和y軸于點A，B．
(1)判斷頂點M是否在直線上？并說明理由；
(2)如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點A，B，且，結(jié)合圖象，求x的取值范圍；
(3)如圖2，點A坐標為，點M在內(nèi)，若點，都在二次函數(shù)圖象上，試比較與的大?。?br>9．定義：若二次函數(shù)的圖象記為，其頂點為，二次函數(shù)的圖象記為，其頂點為，我們稱這樣的兩個二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．
分類一：若二次函數(shù)經(jīng)過的頂點B，且經(jīng)過的頂點A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．
(1)所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）
(2)試求出的“反頂伴侶二次函數(shù)”．
(3)若二次函數(shù)與互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究與的關(guān)系，并說明理由．
(4)分類二：若二次函數(shù)可以繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)；，我們就稱它們互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．
①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）
②互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”的對稱中心點M有什么特點？
③如圖，，互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，點E，F(xiàn)的對稱點分別是點Q，G，且軸，當(dāng)四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數(shù)，的頂點有什么關(guān)系．并說明理由．
10．已知拋物線與軸交于點，其關(guān)于軸對稱的拋物線為：，且經(jīng)過點和點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線沿軸向右平移得到拋物線，拋物線與軸的交點記為點和點（在的右側(cè)），與軸交于點，如果滿足與相似，請求出平移后拋物線的表達式．
11．在平面直角坐標系中，我們將拋物線通過平移后得到，且設(shè)平移后所得拋物線的頂點依次為，這些頂點均在格點上，我們將這些拋物線稱為“繽紛拋物線”（k為整數(shù)）．
（1）的坐標為____________，直接寫出平移后拋物線的解析式為____________（用k表示）；
（2）若平移后的拋物線與拋物線交于點A，對稱軸與拋物線交于點B，若，求整數(shù)k的值．
12．如圖，拋物線F：的頂點為P，拋物線：與y軸交于點A，與直線OP交于點B．過點P作PD⊥x軸于點D，平移拋物線F使其經(jīng)過點A、D得到拋物線F′：，拋物線F′與x軸的另一個交點為C．
⑴當(dāng)a = 1，b=－2，c = 3時，求點C的坐標(直接寫出答案)；
⑵若a、b、c滿足了
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．
13．在平面直角坐標系中，已知：函數(shù)．
（1）當(dāng)時，
①求隨增大而增大時，的取值范圍；
②當(dāng)時，求的取值范圍；
③當(dāng)時，設(shè)的最大值與最小值之差為，當(dāng)時，求的值．
若，連結(jié).當(dāng)此函數(shù)的圖象與線段只有兩個公共點時，直接寫出的取值范圍．
參考答案
1．C
試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知，開口向上，排除選項D；該二次函數(shù)經(jīng)過點（0,3），不經(jīng)過（0，0）這點，把A項排除；根據(jù)圖像平移可以可知，對二次函數(shù)向右平移一個單位即可得到圖像，可以排除B項，選C是正確的．
【點撥】1、二次函數(shù)的性質(zhì) 2、圖像平移
2．B
【分析】
先根據(jù)y＝ax2+bx+c的圖象得到a、b、c的正負情況，從而得到函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c的圖象的開口方向和頂點坐標所在的位置，分析判斷即可得到正確的函數(shù)圖象．
解：由y＝ax2+bx+c的圖象可得a＜0，b＞0，c＞0，
∵函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c，
∴該函數(shù)的圖象開口向下，頂點坐標為（b，c），且該函數(shù)圖象的頂點在第一象限，
故選：B
【點撥】本題考查由二次函數(shù)圖象判斷各項系數(shù)的符號，牢記相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．
3．D
【分析】
根據(jù)兩個函數(shù)的開口方向及第一個函數(shù)與y軸的交點，第二個函數(shù)的對稱軸可得相關(guān)圖象．
解：A、兩個函數(shù)的開口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一個函數(shù)的對稱軸是y軸，與y軸交于正半軸，第二個函數(shù)的對稱軸在y軸的左側(cè)，故本選項錯誤；
B、兩個函數(shù)的開口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一個函數(shù)的對稱軸是y軸，與y軸交于負半軸，第二個函數(shù)的對稱軸在y軸的左側(cè)，故本選項錯誤；
C、D、兩個函數(shù)一個開口向上，一個開口向下，那么a，b異號，可得第二個函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故C錯誤，D正確．
故選D．
【點撥】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，用到的知識點為：二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于0，開口方向向上，小于0，開口方向向下；二次項系數(shù)和一次項系數(shù)同號，對稱軸在y軸的左側(cè)，異號在y軸的右側(cè)；一次項系數(shù)為0，對稱軸為y軸；常數(shù)項是二次函數(shù)與y軸交點的縱坐標．
4．B
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點進一步求解即可.
解：∵二次函數(shù)的圖像為拋物線，
∴兩個不同二次函數(shù)的圖像的交點最多只能有2個，
故選：B.
【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)與特點，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
5．C
【分析】
設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），根據(jù)題意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，從而求得＝．
解：設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），
∵AC∥x軸交拋物線y＝x2于點C，BD∥x軸交拋物線y＝x2于點D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故選C．
【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.根據(jù)特征表示出A、B、C、D點的坐標是解題的關(guān)鍵．
6．
【分析】
先求得頂點A的坐標，然后根據(jù)題意得出B的橫坐標，把橫坐標代入拋物線，得出B點坐標，從而求得A、B間的距離，最后計算面積即可．
解：設(shè)AB交x軸于C
∵拋物線線y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的頂點為A，
∴A（2，1），
∵過點A作y軸的平行線交拋物線于點B，
∴B的橫坐標為2，OC=2
把x=2代入得y=-3，
∴B（2，-3），
∴AB=1+3=4，
．
故答案為：4．
【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求得A、B的坐標是解題的關(guān)鍵．
7．k=0或k＞2．
【分析】
先根據(jù)題意畫出y＝|ax2＋bx＋c|的圖象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有兩個不相等的實數(shù)根時，k的取值范圍．
解：∵當(dāng)ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸上方，
∴此時y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，
∴此時y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸上方部分的圖象．
∵當(dāng)ax2＋bx＋c＜0時，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸下方，
∴此時y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，
∴此時y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對稱的圖象．
∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點縱坐標是－2，
∴函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對稱的圖象的頂點縱坐標是2，
∴y＝|ax2＋bx＋c|的圖象如右圖．
∵觀察圖象可得當(dāng)k≠0時，
函數(shù)圖象在直線y＝2的上方時，縱坐標相同的點有兩個，
函數(shù)圖象在直線y＝2上時，縱坐標相同的點有三個，
函數(shù)圖象在直線y＝2的下方時，縱坐標相同的點有四個，
∴若|ax2＋bx＋c|＝k有兩個不相等的實數(shù)根，
則函數(shù)圖象應(yīng)該在y＝2的上邊，
故k＝0或k＞2．
【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y＝|ax2＋bx＋c|的圖象，根據(jù)圖象得出k的取值范圍．
8．(1)點M在直線上，理由見分析
(2)或(3)當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，
【分析】
（1）把拋物線解析式化為頂點式，得到M的坐標是，再把代入，即可求解；
（2）先根據(jù)直線，求出B點坐標為．可求出拋物線解析式，進而得到，再結(jié)合圖象，即可求解；
（3）先求出直線AB的解析式為，可得到點，再由點M在內(nèi)，可得．再由當(dāng)點C，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，可得，即可求解．
(1)解： ，
∴頂點M的坐標是，
把代入，得，
∴點M在直線上；
(2)如圖1，直線交y軸于點B，
∴B點坐標為．
又B在拋物線上，
∴，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，
解得，，
∴．
由圖象得，當(dāng)時，
x的取值范圍是或．
(3)如圖所示，∵直線與直線AB交于點E，與y軸交于F，
∵，
∴m=-1，
∴直線AB的解析式為，
聯(lián)立EF，AB得方程組，
解得，
∴點，
當(dāng)x=0時，y=1，
∴．
∵點M在內(nèi)，
∴，
∴．
當(dāng)點C，D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，，
∴，
∵二次函數(shù)圖象開口向下，頂點M在直線上，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．
【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
9．(1)假(2)(3)見分析(4)①真；②見分析；③見分析
【分析】
（1）根據(jù)題意舉反例驗證求解即可；
（2），則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，再將（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；
（3）根據(jù)題意，分別表示出過頂點坐標的函數(shù)解析式，進行相加化簡即可得出結(jié)果；
（4）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到對稱中心M，可知對于任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”；
②利用A，B坐標求出中點M的坐標，進而得出結(jié)論；
③根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)，得出AB∥y軸，進而得出A，B點的坐標均為（h，h），最后得出結(jié)論．
(1)解：令的頂點坐標A為（1，4），開口向上，則的頂點坐標B為（4，1），
此時C1不經(jīng)過B（4，1），
∴所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是假命題．
故答案為：假．
(2)解：，則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，
由題意，得將（2，1）代入，得
，
解得a=-1，
∴的“反頂伴侶二次函數(shù)”為．
(3)解：∵二次函數(shù)經(jīng)過的頂點B，且經(jīng)過的頂點A，
∴①，
②，
①+②，得，
當(dāng)h=k時，與任意非零實數(shù)；
當(dāng)h≠k時，=0．
(4)解：①如圖
∵A，B的中點為M，
∴對稱中心為M，
∴任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．
故答案為：真；
②∵M為A，B的中點，
∴M的坐標為，
即M在直線y=x上．
③解：∵軸，四邊形EFQG為矩形，
∴AB∥y軸，
∴h=k，
即A，B的坐標均為（h，h），
∴A，B兩點重合在直線y=x上．
【點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，讀懂題意，理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．
10．（1）的解析式為；（2）平移后拋物線的表達式為或.
【分析】
（1）根據(jù)拋物線關(guān)于軸對稱的原則可以得到均互為相反數(shù)，所以可以設(shè)：，同時經(jīng)過點和點，那么也經(jīng)過點和點，將這兩點代入即可求解；
（2）首先根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，設(shè)拋物線沿軸向右平移個單位得到拋物線
，繼而寫出的解析式，然后分別求出點和點的坐標，再結(jié)合與相似，可得△DOQ為等腰直角三角形，利用坐標建立方程，求解即可.
解：（1）拋物線和拋物線關(guān)于軸對稱，且：，
： ，
經(jīng)過點和點，
經(jīng)過點和點，
把點和點代入：可得：
，
解得：，
：；
（2）設(shè)拋物線沿軸向右平移個單位得到拋物線，
：，
的解析式可以表示為：
，
拋物線與軸的交點為點和點，且在的右側(cè)，
，
拋物線與軸交于點，
，
∵A（-3，0），C（0，3），
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴當(dāng)△AOC和△DOQ相似時，
△DOQ為等腰直角三角形，
∴OQ=OD，
當(dāng)點Q在y軸正半軸上時，
OQ=OD=OA=OC，
∴，
解得：a=0（舍）或2，
此時：；
當(dāng)點Q在y軸負半軸時，
OD=OQ，
則，
解得：a=-1（舍）或4，
此時：；
綜上：平移后拋物線W3的表達式為：或.
【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象變化，以及二次函數(shù)和相似三角形的存在性問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象平移和對稱變化規(guī)律，同時對相似三角形的存在性進行正確的分類討論是求解本題的關(guān)鍵.
11．（1）（6，12），；（2）4或．
【分析】
（1）觀察平移后拋物線頂點坐標的特點，然后依據(jù)規(guī)律即可得到平移后拋物線的解析式；
（2）如圖1所示：過點作，垂足為，由可知頂點，對稱軸為，對稱軸與拋物線的交點為，然后求得拋物線的交點，，最后依據(jù)列方程求解即可；
解：（1）拋物線通過平移后得到，，，，，
∴的坐標為：（6，12），
∴；
（2）如圖1所示：過點作，垂足為．
由可知頂點，對稱軸為，對稱軸與拋物線的交點為，
解得，
，，
，
即，整理得：，
解得或或；
當(dāng)時原方程無意義，故不是原方程的根．
的值為4或．
【點撥】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點式、銳角三角函數(shù)的定義、點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系，找出拋物線的頂點坐標存在的規(guī)律是解答問題（1）的關(guān)鍵，求得點、、的坐標是解答問題（2）的關(guān)鍵．
12．解：（1） C（3，0）；
（2）①拋物線，令=0，則=，
∴A點坐標（0，c）．
∵，∴ ，
∴點P的坐標為（）．
∵PD⊥軸于D，∴點D的坐標為（）．
根據(jù)題意，得a=a′，c= c′，∴拋物線F′的解析式為．
又∵拋物線F′經(jīng)過點D（），∴．
∴．
又∵，∴．
∴b:b′=．
②由①得，拋物線F′為．
令y=0，則．
∴．
∵點D的橫坐標為∴點C的坐標為（）．
設(shè)直線OP的解析式為．
∵點P的坐標為（），
∴，∴，∴．
∵點B是拋物線F與直線OP的交點，∴．
∴．
∵點P的橫坐標為，∴點B的橫坐標為．
把代入，得．
∴點B的坐標為．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四邊形OABC是平行四邊形．
又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形．
解：（1）先求出拋物線解析式，再根據(jù)平移的特征即可得到點C的坐標；
（2）①根據(jù)拋物線頂點坐標的表達式及拋物線與坐標軸的交點坐標的特征即可得到結(jié)果；
②根據(jù)拋物線與坐標軸的交點坐標及拋物線與直線OP的交點坐標的特征即可得到結(jié)果；
13．（1）①或；②；③或；（2）或或．
【分析】
（1）①利用函數(shù)圖像，直接作答即可；
②觀察函數(shù)圖像直接作答即可；
③分、、、四種情況分類討論即可；
（2）利用兩個函數(shù)的對稱軸都是直線，分類討論所處的位置，即可得出答案．
解：（1）①或.
當(dāng)時，函數(shù)變?yōu)?，
函數(shù)圖像如圖所示：
函數(shù)的對稱軸是直線，
所以通過觀察圖像可以得到當(dāng)隨增大而增大時，的取值范圍是：或；
②；
通過觀察圖像可以得到：當(dāng)時，；
③當(dāng)，即時，
，
當(dāng)時，由圖象可知
當(dāng)時，
由，
得，
當(dāng)時，
舍去.
綜上所述:或；
或或，
∵
∴的對稱軸為直線：，
的對稱軸為直線：，
①由（1）可知：當(dāng)時，函數(shù)與AB有兩個交點，一個為（0,2），一個為（），滿足條件；
②當(dāng)時，函數(shù)變?yōu)椋海藭r只有一個交點，不合題意；
③當(dāng)時，函數(shù)變?yōu)椋?，此時只有一個交點，不合題意；
④當(dāng)時，此時的頂點坐標為，
∵，
∴與AB無交點；
對于函數(shù)一直小于0，因此與AB無交點；
⑤當(dāng)時，
對于函數(shù)來說，當(dāng)時，有最小值此時，因此函數(shù)與AB最多有一個交點，
對于函數(shù)，當(dāng)時，有最大值，為，與AB無交點；
⑥當(dāng)時，
對于函數(shù)來說，，因此與AB必有一個交點，
只須保證：與AB有一個交點即可，
當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值為，根據(jù)對稱性可知：此時與AB有兩個交點，
∴當(dāng)時，有三個交點，不合題意；
當(dāng)時，
函數(shù)變?yōu)椋海藭r與AB共有兩個交點；
當(dāng)時：與AB有一個交點，
∴此時函數(shù)與AB有兩個交點；
⑦當(dāng)時，
對于函數(shù)：，與AB無交點，
當(dāng)函數(shù)過時，
得：，解得：，
∵，
∴，此時與AB有兩個交點，
∴當(dāng)時，與AB有兩個交點；
綜上所述：當(dāng)或或時，與AB只有兩個交點．
【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，牢記圖像與性質(zhì)以及對稱軸不確定性的分類討論思想的利用是解決本題的關(guān)鍵．

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專題22.21 兩個或多個二次函數(shù)綜合專題（專項練習(xí)）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

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人教版數(shù)學(xué)九年級上冊專項培優(yōu)練習(xí)十一《二次函數(shù)綜合題專練》（含答案）

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專題22.21 實際問題與二次函數(shù)（專項練習(xí)2）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

專題22.21 實際問題與二次函數(shù)（專項練習(xí)2）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）
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初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊電子課本

22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

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