?專(zhuān)題22.4 相似三角形的判定與性質(zhì)（二）【九大題型】
【滬科版】


【題型1 尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】 1
【題型2 三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】 5
【題型3 裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】 13
【題型4 折疊與相似三角形綜合運(yùn)用】 21
【題型5 判斷與相似有關(guān)結(jié)論的正誤】 29
【題型6 用相似三角形的判定與性質(zhì)證明】 37
【題型7 用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段比值】 44
【題型8 利用相似三角形的判定與性質(zhì)求最值】 52
【題型9 利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 59


【題型1 尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】
【例1】（2023春·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知菱形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)．

(1)在BC的右側(cè)求作△AEF，使得EF∥BD，且EF=12BD；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若∠EAF=12∠ABC，求證：AE=2EF．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)見(jiàn)解析.

【分析】（1）連接AC交BD于O，在BC右側(cè)作∠CEF=∠CBD，再在射線EF截取EF=OB，連接AE、AF，即可得△AEF；
（2）延長(zhǎng)EF交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證明四邊形BEGD是平行四邊形，可得EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，
【詳解】（1）解：如圖，連接AC交BD于O，在BC右側(cè)作∠CEF=∠CBD，再在射線EF截取EF=OB，連接AE、AF，則△AEF即為所要求作的三角形，再證△EAF~△EGA，可得EFAE=AEEG，
最后證得結(jié)果；

（2）證明：延長(zhǎng)EF交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
又∵EF//BD，EF=12BD，
∴四邊形BEGD是平行四邊形，
∴EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，
又∵在菱形ABCD中，∠CBD=12∠ABC，
∴∠EAF=12∠ABC，
∴∠EAF=∠G，
又∵∠AEF=∠GEA，
∴△EAF~△EGA，
∴EFAE=AEEG，
∴AE2=EF?EG=EF?2EF=2EF2，
∴AE=2EF；
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、相似三角形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
【變式1-1】（2023·陜西·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，請(qǐng)你利用尺規(guī)在BC邊上求一點(diǎn)P，使△PAB∽△ABC（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡）

【答案】詳見(jiàn)解析
【分析】直接作出AB的垂直平分線，進(jìn)而得出P點(diǎn)位置，利用相似三角形的判定方法得出即可.
【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求，
∵AB＝AC，∠A＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵EP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∴∠B＝∠PAB＝36°，
∴△PAB∽△ABC．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了尺規(guī)作圖和相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023·陜西西安·西安行知中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AM∥BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線AM上求作一點(diǎn)D，使得△DCA～△ABC．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
??
【答案】見(jiàn)詳解
【分析】作∠ACD=∠B，交AM于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．
【詳解】如圖所示，作∠ACD=∠B，交AM于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求，
??
∵AM∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠ACD=∠B，
∴△DCA～△ABC．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，作一個(gè)角等于已知角，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D，使△ACD∽△ABC，根據(jù)下列作圖痕跡判斷，正確的是（????）
A．??B．????C．??D．
【答案】C
【分析】根據(jù)△ACD∽△ABC，可得∠CDA=∠BCA=90°，即CD是AB的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷即可．
【詳解】解：當(dāng)CD是AB的垂線時(shí)，△ACD∽△ABC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BCA=90°，
∵∠CAD=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
根據(jù)作圖痕跡可知，
A選項(xiàng)中，CD是∠ACB的角平分線，不符合題意；
B選項(xiàng)中，∠CAD≠∠CAB，不符合題意；
C選項(xiàng)中，CD是AB的垂線，符合題意；
D選項(xiàng)中，CD不與AB垂直，∠ADC≠∠ACB，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【題型2 三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】
【例2】（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；
(2)在（1）問(wèn)的條件下，F(xiàn)E、PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；
(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長(zhǎng)．
【答案】(1)等邊三角形
(2)3
(3)4

【分析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再證得PE＝PF即可，可通過(guò)證三角形PBE和PFC全等來(lái)得出結(jié)論，再證明全等過(guò)程中，可通過(guò)證明FP⊥BC和BE＝PC來(lái)實(shí)現(xiàn)；
（2）由（1）不難得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長(zhǎng)求出GC的長(zhǎng)，從而求出GB的長(zhǎng)，下面的關(guān)鍵就是求GB邊上的高，過(guò)E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長(zhǎng)，有∠ABC的度數(shù)，可以求出BE、EP的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長(zhǎng)，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可．
【詳解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，BE=12BP=13BC=PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，
∠B=∠CBE=PC∠PEB=∠FPC=90°，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等邊三角形．
（2）過(guò)E作EH⊥BC于H，

由（1）可知：FP⊥BC，F(xiàn)C=BP=23BC=4,BE=CP=13BC=2，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，
∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，
∴GC＝2CF＝8，
∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝23，BE＝2，
∴EH＝BE?PE÷BP＝3，
∴S△GBE＝=12BG?EH=3；
（3）∵在BPE中，∠B＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠FPC＝120°，
∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴BPCF=BECP，
設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x．
∴x2＝46-x，
解得：x＝2或4．
當(dāng)x＝2時(shí)，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
過(guò)E作EH⊥BC于H，

則EH＝23，BH＝2，
∴PH＝0，
即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x＝2不合題意，舍去；
當(dāng)x＝4時(shí)，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
則△BEP是等邊三角形，
∴PE＝4．
故PE＝4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意對(duì)全等三角形和等邊三角形的應(yīng)用．
【變式2-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)，(點(diǎn)P與A，D不重合)，一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊與射線AB交于點(diǎn)E．

(1)求證：△AEP∽△DPC；
(2)當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求PE的長(zhǎng)；
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)詳見(jiàn)解析
(2)8
(3)5-532

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質(zhì)，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，從而證明△CDP∽△PAE；
（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)AP=x，則DP=10-x，由△CDP∽△PAE知CDAP=2，解得x的值，從而得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△AEP∽△DPC；
（2）解：在Rt△PCD中，∠DPC=30°，CD=AB=23，
∴CP=2CD=43，
∴PD=PC2-CD2=(43)2-(23)2=6，
∵AD=10，
∴AP=10-6=4，
∵∠CPE=90°，
∴∠APE=60°，
Rt△APE中，∠AEP=30°，
∴PE=2AP=8；
（3）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，
設(shè)AP=x，則PD=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根據(jù)△CDP的周長(zhǎng)等于△PAE周長(zhǎng)的2倍，得到兩三角形的相似比為2，
∴CDAP=PDAE，即23x=10-xAE=2，
解得x=3，
∴AE=10-32，
∴BE=AE-AB=10-32-23=5-532．
【點(diǎn)睛】此題是相似三角形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)△CDP的周長(zhǎng)等于△PAE周長(zhǎng)的2倍，得到兩三角形的相似比為2是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．則DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．
①如圖2，若PQ＝5，求AP長(zhǎng)．
②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長(zhǎng)為 ．

【答案】（1）＝；（2）①1，②2103
【分析】（1）先證明△ADP≌△CDQ，即可求解；
（2）①先證明△ADP∽△CDQ，可得APCQ＝ADCD＝24＝ 12，設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，
再由勾股定理，即可求解；
②過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，根據(jù)△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝ 12，從而得到∠BPE=∠Q，再由角平分線的性質(zhì)定理可得BE=BF，進(jìn)而證得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，從而得到AP=23，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解∶（1）在正方形ABCD中，
∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，
∵∠PDQ=90°，
∴∠PDQ=∠ADC=90°，
∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
∴△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ；
故答案為∶=
（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．
∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
又∵∠A＝∠DCQ＝90°．
∴△ADP∽△CDQ，
∴APCQ＝ADCD＝24＝ 12，
設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，
∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．
由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，
代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，
解得x＝1，即AP＝1．
∴AP的長(zhǎng)為1．
②如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，

由①得：△ADP∽△CDQ，
∴∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝ 12，
∴CQ=2AP，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠BPE=∠Q，
∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，
∴BE=BF，
∵∠E=∠BFQ=90°，
∴△BEP≌△BFQ，
∴BP=BQ，
設(shè)AP=m，則BQ=BP=4-m，CQ=2m，
∴2+2m=4-m，解得：m=23，
即AP=23，
∴DP=AD2+AP2=22+232=2103
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一副三角板按如圖1放置，圖2為簡(jiǎn)圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM= ．

【答案】294
【分析】由CE=5， AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的長(zhǎng)度，過(guò)E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的長(zhǎng)度，由于∠CME=2∠ADE，延長(zhǎng)MB至P，是MP=ME，可以證明△DNE～△PCE，MP=x，在Rt△MCE中，利用勾股定理列出方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)E作EN⊥AD于N，

∴∠END=∠ENA=90°,
∴∠NEA=∠A=45°,
∴NE= NA，
∵AE=NE2+NA2=2NA,
∴NE=NA=AE2=2,
同理，AD=AC2=722,
∴DN=AD-NA=522,
延長(zhǎng)MB至P，使MP=ME，連接PE，
∴可設(shè)∠MPE=∠MEP=x，
∴∠EMC=∠MPE+∠MEP=2x，
∵∠EMC=2∠ADE,
∴∠ADE=∠MPE=x,
又∠DNE=∠PCE=90°,
∴△DNE～△PCE,
∴CEPE=NEDN=2522=25,
∴PC=252,
設(shè)MP=ME=x,則CM=252-x,
在Rt△MCE中，ME2=CM2+CE2,
∴252-x2+25=x2,
∴x=294,
∴ME=294．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，二倍角的輔助線的構(gòu)造，方程思想求線段，熟練掌握二倍角輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【題型3 裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】
【例3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期中）如圖1所示，一個(gè)木板余料由一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形組成，甲、乙兩人打算采用剪拼的辦法，把余料拼成一個(gè)與它等積的正方形木板．
甲：如圖2，沿虛線剪開(kāi)可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2．
乙：如圖3，沿虛線剪開(kāi)可以拼接成所需正方形，并求得AM＝32
下列說(shuō)法正確的是（　　）

A．甲的分割方式不正確
B．甲的分割方式正確，AM的值求解不正確
C．乙的分割方式與所求AM的值都正確
D．乙的分割方式正確，AM的值求解不正確
【答案】D
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，再逐個(gè)驗(yàn)證拼圖是否符合題意，再利用全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖所示，將△FAM平移至△NDC，將△MBC平移至△FEN，

由此可得AM＝DC＝2，F(xiàn)A＝ND＝6，NE＝BC＝2，
∴DE＝ND－NE＝4（符合題意），
∴甲的分割方式正確，AM的值求解也正確，
故選項(xiàng)A、選項(xiàng)B的說(shuō)法都是錯(cuò)誤的，不符合題意；
如下圖所示，將△FEG平移至△NBH，連接GH，交AB于點(diǎn)M，將△GAM平移至△EDP，將△PCB平移至△MNH，

由此可得GA＝ED＝6－2＝4，AM＝DP，MN＝PC，NB＝EF，
∵DP＋PC＋EF＝2＋6＝8＝AB，
∴當(dāng)FG＝NH＝BC＝2時(shí)，GA＝ED＝4（符合題意），
∵∠A＝∠HNM＝90°，∠AMG＝∠NMH，
∴△AMG∽△NMH，
∴AMMN=AGNH，
∴AM2-AM=42，
解得：AM=43，
∴乙的分割方式正確，AM的值求解不正確，
故選項(xiàng)C的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，不符合題意，選項(xiàng)D的說(shuō)法是正確的，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖為三角形紙片ABC，其中D點(diǎn)和E點(diǎn)將AB三等分，F(xiàn)點(diǎn)為DE中點(diǎn)．若小慕從AB上的一點(diǎn)P，沿著與直線BC平行的方向?qū)⒓埰糸_(kāi)后，剪下的小三角形紙片面積為△ABC的13，則下列關(guān)于P點(diǎn)位置的敘述正確的是（????）

A．在FE上，但不與F點(diǎn)也不與E點(diǎn)重合 B．在DF上，但不與D點(diǎn)也不與F點(diǎn)重合
C．與E點(diǎn)重合 D．與D點(diǎn)重合
【答案】A
【分析】根據(jù)題意確定出剪下來(lái)的三角形與三角形ABC相似，面積比為13，得到相似比33，逐一判斷各選項(xiàng)即可．
【詳解】解：由題意得，剪下來(lái)的三角形與三角形ABC相似，面積比為13，
故相似比為13=33，
即APAB=33，
選項(xiàng)A：12AB0，當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值是25k2，從而得到關(guān)于k的方程，求解即可．
【詳解】（1）解：∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，
∴∠EBF=90°，
∴∠BEF+∠EFB=90°，
∵FG⊥EF，GH⊥BC，
∴∠FHG=∠EFG=90°，
∴∠EBF=∠FHG，∠HFG+∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠HFG，
∴△BEF∽△HFG，
∴BFBE=HGFH，
∵BE=2，HFCF=k，設(shè)BF的長(zhǎng)為x，GH的長(zhǎng)為y，
∴CF=BC-BF=10-x，HF=k?CF=k10-x，
∴x2=yk10-x，
∴y=k2-x2+10x，
∵x=4，y=6，
∴k2×-42+10×4=6，
解得：k=12．
故答案為：12；
（2）由（1）知：y=k2-x2+10x，
當(dāng)k=1時(shí)，y=12-x2+10x=-12x-52+252，
∵-12

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初中數(shù)學(xué)滬科版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

22.2 相似三角形的判定

版本： 滬科版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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