TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17807" 【題型1 位似圖形的識別】 PAGEREF _Tc17807 \h 1
\l "_Tc1260" 【題型2 判斷位似中心】 PAGEREF _Tc1260 \h 4
\l "_Tc9735" 【題型3 根據(jù)位似概念判斷正誤】 PAGEREF _Tc9735 \h 7
\l "_Tc29964" 【題型4 求兩個位似圖形的相似比】 PAGEREF _Tc29964 \h 10
\l "_Tc16683" 【題型5 格點中作位似圖形】 PAGEREF _Tc16683 \h 13
\l "_Tc184" 【題型6 求位似圖形的坐標】 PAGEREF _Tc184 \h 17
\l "_Tc10248" 【題型7 求位似圖形的長度】 PAGEREF _Tc10248 \h 22
\l "_Tc19238" 【題型8 求位似圖形的周長】 PAGEREF _Tc19238 \h 24
\l "_Tc30161" 【題型9 求位似圖形的面積】 PAGEREF _Tc30161 \h 27
\l "_Tc23598" 【題型10 位似圖形的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc23598 \h 31
【知識點 位似圖形】
1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點P,P’所在的直線都經(jīng)過同一點O，且有OP’=k·OP，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點O叫做位似中心
2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比
3、畫圖步驟：
（1）尺規(guī)作圖法：① 確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點關(guān)于中心的對應點； = 3 \* GB3 ③描出新圖形
（2）坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同一個數(shù)k(k≠0)，
所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為|k|
【題型1 位似圖形的識別】
【例1】（2023春·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）下圖所示的四種畫法中，能使得△DEF是△ABC位似圖形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應邊互相平行，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應邊互相平行
∴①②③④能使得△DEF是△ABC位似圖形，
故選：D．
【點睛】本題考查了位圖圖形的性質(zhì)與畫法，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）視力表用來測試一個人的視力，如圖是視力表的一部分，圖中的“ ”均是相似圖形，其中不是位似圖形的是（ ）

A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【答案】B
【分析】位似圖形必須同時滿足兩個條件：（1）兩個圖形是相似圖形；（2）兩個相似圖形每組對應點連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，對應邊互相平行（或共線），據(jù)此逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、①和②是位似圖形，則此項不符合題意；
B、②和③對應點的連線不在同一個點，不是位似圖形，則此項符合題意；
C、①和④是位似圖形，則此項不符合題意；
D、②和④是位似圖形，則此項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了位似圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·河北保定·九年級?？计谀┫铝懈鬟x項的兩個圖形中，是位似圖形的有幾個（ ）
A．2B．3C．4D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)位似圖形的定義判斷即可.
【詳解】因為兩個位似圖形的對應點的連線所在的直線經(jīng)過同一點，所以A，B，D中的兩個圖形是位似圖形，C中的兩個圖形不是位似圖形.
故選B.
【點睛】本題考查了位似圖形的的定義，對應邊互相平行（或共線）且每對對應頂點所在的直線都經(jīng)過同一點的兩個相似多邊形叫做位似圖形.
【變式1-3】（2023春·河南平頂山·九年級校考期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，△ABC的位似圖形是 ．
【答案】△NMP
【分析】根據(jù)位似圖形的對應點連線，經(jīng)過位似中心，由圖可知，線段CP經(jīng)過點O，確定位似中心為點O，進而求解即可．
【詳解】如圖，線段CP經(jīng)過點O，并且OP=2OC，則位似中心為點O，
連接AO并延長到點N，連接BO并延長到點M，
連接NM、MP、PN，
由圖可知：OA=32+22=13,OB=32+12=10，
OM=62+22=210,ON=62+42=213，
∴OCOP=OBOM=OAON=12，
∴△ABC的位似圖形是△NMP，位似中心為點O；
故答案為：△NMP．
【點睛】本題考查位似圖形．熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，確定位似中心，是解題的關(guān)鍵．
【題型2 判斷位似中心】
【例2】（2023春·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，則位似中心可以是（ ）
A．G點B．F點C．E點D．D點
【答案】B
【分析】如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，這個點叫做位似中心，據(jù)此解答即可．
【詳解】由位似中心的定義可知，此位似中心可以是點F，
故選：B
【點睛】本題考查了位似中心，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握位似中心的定義．
【變式2-1】（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）用作位似圖形的辦法，可以將一個圖形放大或縮小，位似中心位置可選在（ ）
A．原圖形的外部B．原圖形的內(nèi)部C．原圖形的邊上D．任意位置
【答案】D
【分析】畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選取是任意的，這個點可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．
【詳解】畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選取是任意的.故選D.
【點睛】本題考查圖形的位似，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的性質(zhì)和畫法.
【變式2-2】（2023春·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標是 ．
【答案】（9，0）
【分析】根據(jù)位似中心的概念解答即可．
【詳解】解：連接A'A和B'B并延長相交于點D，則點D即為位似中心，作圖如下：
點D的坐標為（9，0），
即位似中心的坐標為（9，0），
故答案為：（9，0）．
【點睛】本題考查的是位似變換的概念，解題的關(guān)鍵是掌握各對應點所在直線的交點即為位似中心．
【變式2-3】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）圖中兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A．點MB．點NC．點OD．點P
【答案】D
【分析】根據(jù)位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應點的連線上．
【詳解】點P在對應點M和點N所在直線上，再利用連接另兩個對應點，得出相交于P點，即可得出P為兩圖形位似中心，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了位似圖形的概念，根據(jù)位似圖形的位似中心位于對應點連線所在的直線上得出是解題關(guān)鍵．
【題型3 根據(jù)位似概念判斷正誤】
【例3】（2023春·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△DEF，以下說法中錯誤的是（ ）
A．△ABC∽△DEFB．AB∥DEC．OA:OD=1:2D．EF=4BC
【答案】D
【分析】由位似三角形的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：∵位似屬于相似，
∴ △ABC∽△DEF
A對
由位似可知：△OAB∽△ODE
∴ AB∥DE
B對
OAOD=ABDE=12
C對
△ABC∽△DEF的相似比為1:2
∴ EF=2BC
D錯
故選D
【點睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟記位似的所有性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）下列關(guān)于位似圖形的表述：
①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；
②位似圖形一定有位似中心；
③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；
④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比．
其中正確命題的序號是（ ）
A．②③B．①②C．③④D．②③④
【答案】A
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)和定義（識別位似圖形，關(guān)鍵是看兩個相似多邊形的對應頂點所在的直線是否相交于一點，相交于一點的就是位似圖形，交點就是位似中心）逐個判斷即可得．
【詳解】解：①相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，則原命題錯誤；
②位似圖形一定有位似中心，則原命題正確；
③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形，則原命題正確；
④位似圖形上任意一對對應點與位似中心的距離之比等于位似比，則原命題錯誤；
綜上，正確命題的序號是②③，
故選：A．
【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)和概念，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·安徽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的三個頂點A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原點O為位似中心，將△ABC擴大得到△A1B1C1,且△ABC 與△A1B1C1的位似比為1 :3.則下列結(jié)論錯誤的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周長為6+32
C．△A1B1C1的面積為3D．點B1的坐標可能是(6，6)
【答案】C
【分析】根據(jù)位似圖的性質(zhì)可知，位似圖形也是相似圖形，周長比等于位似比，面積比等于位似比的平方，對應邊之比等于位似比，據(jù)此判斷即可.
【詳解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正確；
B. 由圖可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=2，所以△ABC的周長為2+2，由周長比等于位似比可得△A1B1C1的周長為△ABC周長的3倍，即6+32，故B正確；
C. S△ABC=12×1×1=12,由面積比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面積為△ABC周長的9倍，即12×9=4.5，故C錯誤；
D. 在第一象限內(nèi)作△A1B1C1時，B1點的橫縱坐標均為B的3倍，此時B1的坐標為（6,6），故D正確；
故選C.
【點睛】本題考查位似三角形的性質(zhì)，熟練掌握位似的定義，以及位似三角形與相似三角形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
【變式3-3】（2023春·九年級課時練習）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，M、N分別是邊AB、AD的中點，連接OM、ON、MN，則下列敘述正確的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等邊三角形
B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形
C．四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形
D．MO∥BC且BM＝CO
【答案】C
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理判斷A；根據(jù)三角形中位線定理、菱形的判定定理判斷B；根據(jù)位似變換的概念判斷C，根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷D．
【詳解】解：∵∠BAD不一定等于為120°，
∴△AOM和△AON不一定都是等邊三角形，A錯誤；
∵BM不一定等于BO，
∴四邊形MBON和四邊形MODN不一定都是菱形，B錯誤；
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AO＝OC，又AM＝MB，
∴OM∥BC，OM＝12BC，
同理，ON∥CD，ON＝12CD，
∴四邊形AMON與四邊形ABCD是以A為位似中心的位似圖形，C正確；
MO∥BC，但BM不一定等于CO，D錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)、位似變換的概念、等邊三角形的判定，掌握位似變換的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型4 求兩個位似圖形的相似比】
【例4】（2023春·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，則△ABC與△DEF的周長之比為（ ）

A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出△ABC與△DEF的位似比，得到相似比，周長之比等于相似比．
【詳解】解：以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，
∴AB∥DE，
∵AD=OA，
∴AB:DE=OA:OD=1:2，
∴△ABC與△DEF的位似比為1:2，
∴△ABC與的周長之比為1:2．
故選：D．
【點睛】本題考查的是位似變換，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的周長之比等于相似比．
【變式4-1】（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點O，且OFFB=23，則EFAB=（ ）
A．23B．25C．35D．32
【答案】B
【分析】利用位似圖形性質(zhì)得到EF∥AB，證明△OEF∽△OAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點O，
∴EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB
∴OFOB=EFAB，
又∵OFFB=23，
∴EFAB=OFOB=22+3=25．
故選：B．
【點睛】此題考查了位似圖形的概念和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用位似圖形概念得到EF∥AB是解題關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標中，把△ABC以原點O為位似中心放大，得到△A'B'C'，若點A和它對應點A'的坐標分別為(2，5)，(-6，-15)，則△A'B'C'與△ABC的相似比為( )
A．-3B．3C．13D．- 13
【答案】B
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)，進行解答即可．
【詳解】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于原點位似，且點A和它的對應點A′的坐標分別為（2，5），（-6，-15），
∴對應點乘以-3，則△A′B′C′與△ABC的相似比為：3．
故選：B.
【點睛】本題考查的是位似變換，熟知在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·遼寧鐵嶺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，六邊形ABCDEF與六邊形A'B'C'D'E'F'是位似圖形，O為位似中心，OA'：OA=1：2，則B′C′：BC= ．
【答案】1：2
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】∵六邊形ABCDEF與六邊形A'B'C'D'E'F'是位似圖形，O為位似中心，OA'：OA=1：2，
∴AB//A'B'，
∴△OA'B'∽△OAB，
∴OA'OA=OB'OB=A'B'AB=12，
同理可得：A'B'AB=B'C'BC=12．
故答案為1：2
【點睛】此題主要考查了位似變換，正確利用位似圖形的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．
【題型5 格點中作位似圖形】
【例5】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點P-6,6和△ABC在平面直角坐標系中，點A的坐標是4,4，根據(jù)下列要求，解答相應的問題：

(1)作△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'，直接寫出點A的對應點A'的坐標；
(2)作△A'B'C'關(guān)于點P成位似中心的位似△DEF，△DEF與△A'B'C'的相似比為2:1，且這兩個三角形在點P同側(cè)，直接寫出點A'的對應點D的坐標．
【答案】(1)作圖見詳解，-4,4
(2)作圖見詳解，-2,2
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可，再結(jié)合網(wǎng)格坐標，可得出A'的坐標；
（2）根據(jù)△DEF與△A'B'C'的相似比為2:1，且這兩個三角形在點P同側(cè)，連接PA'并延長至D點，使得PA'=A'D，連接PB'并延長至E點，使得PB'=B'E，連接PC'并延長至F點，使得PC'=C'F，依次連接D、E、F點即可得△DEF，問題隨之得解．
【詳解】（1）如圖，

△A'B'C'即為所求，
結(jié)合圖形，點A的對應點A'的坐標為：-4,4；
（2）如圖，

△DEF即為所求，
結(jié)合圖形，點A'的對應點D的坐標-2,2．
【點睛】本題主要考查了畫位似圖形、軸對稱圖形等知識，理解位似圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點．
(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比為1：3．
(2)證明△A'B'C'和△ABC相似．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)畫出圖形即可；
（2）先用勾股定理算出兩個三角形的各邊長，然后根據(jù)對應邊的比相同即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖△A'B'C'即為所求．
（2）證明：小正方形邊長為1，
∴BC=9，AB=62+32=35，AC=62+62=62，''=12+22=5，
B'C'=3，A'C'=22+22=22，
∵ABA'B'=355=3，ACA'C'=6222=3，BCB'C'=93=3，
∴ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=3，
∴△A'B'C'∽△ABC．
【點睛】本題考查作圖?位似變換、相似三角形的判定，勾股定理等知識點，理解題意、靈活運用所學知識是解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·安徽合肥·九年級合肥市五十中學西校?？计谥校┤鐖D，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC（頂點是網(wǎng)格線的交點）和格點P．
（1）以A點為位似中心，將△ABC在網(wǎng)格中放大成△AB1C1，使B1C1BC=2，請畫出△AB1C1；
（2）以P點為三角形的一個頂點，請畫一個格點△PMN，使△PMN∽△ABC，且相似比為2．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．
【詳解】【試題分析】（1）以A為位似中心，欲使B1C1BC=2，即BCB1C1=12 ，則△ABC與△AB1C1的相似比為12 ，即延長AB到B1 ,使AB=BB1,同樣的方法，使AC=CC1,因為∠A=∠A ,則△ABC～△AB1C1，
（2）分別將個邊長同時乘以2 ，分別為10，32,4 ，利用勾股定理，分別找出來即可.
【試題解析】（1）如圖，△AB1C1即為所求
（2）如圖，△PMN即為所求(注意PM、PN、MN的長)．
【變式5-3】（2023春·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點為A（2，1），B（1，3），C（4，1），若△A1B1C1與△ABC是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點A、B、C的對應點分別為A1、B1、C1，且A1的坐標為（4，2）．
(1)請在所給平面直角坐標系第一象限內(nèi)畫出△A1B1C1；
(2)分別寫出點B1、C1的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)點B1的坐標為（2，6），點C1的坐標為（8，2）
【分析】（1）利用點A和點A1的坐標確定位似比為2，然后可得點B1、C1的坐標，再描點、連線即可；
（2）根據(jù)所作圖形，寫出坐標即可．
【詳解】（1）解：△A1B1C1如圖所示；
（2）解：由圖可得，點B1的坐標為（2，6），點C1的坐標為（8，2）．
【點睛】本題考查了位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k．
【題型6 求位似圖形的坐標】
【例6】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形OAB的頂點O0,0，B2,0，已知△OA'B'與△OAB位似，位似中心是原點O，且△OA'B'的面積是△OAB面積的4倍，則點A對應點A'的坐標為（ ）

A．12,32B．23,2或-23,-2
C．4,43D．2,23或-2,-23
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得OA=OB=2，如圖：過A作AC⊥x軸于C，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OC=12OB=1,AC=32OA=3，即可確定點A(1,3)，再根據(jù)題意可得△OA'B'與△OAB位似為2比1，然后根據(jù)位似變換的性質(zhì)進行計算即可解答．
【詳解】解：∵等邊三角形OAB的頂點O(0,0),B(2,0)，
∴OA=OB=2，
過A作AC⊥x軸于C，

∵△AOB是等邊三角形，
∴OC=12OB=1,AC=32OA=3,
∴A(1,3),
∵△OA'B'與△OAB位似，位似中心是原點O，且△OA'B'的面積是△OAB面積的4倍，
∴△OA'B'與△OAB位似比為2比1，
∴點A的對應點A'的坐標是(2,23)或(-2,-23)．
故選：D．
【點睛】本題考查主要考查了位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．
【變式6-1】（2023春·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，點P是位似中心．若點B的坐標為2，3，點E的橫坐標為-1，則點P的坐標為（ ）

A．0，-2B．-2，0C．-1.5，0D．0，-1.5
【答案】B
【分析】由四邊形OABC是矩形，點B的坐標為2，3可得AB=CO=3，OA=2，由矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形可得EF∥OC，DE∥OP，從而得到△CDE∽△CPO，△POD∽△PAB，由相似三角形的性質(zhì)可得CDCO=DEPO，POPA=ODAB，進行計算可得OP=2，從而得到答案．
【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，點B的坐標為2，3，
∴AB=CO=3，OA=2，
∵矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，
∴EF∥OC，DE∥OP，
∴△CDE∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴CDCO=DEPO，POPA=ODAB，
∵點E的橫坐標為-1，四邊形ODEF是矩形，
∴DE=1，
即3-OD3=1PO，PO2+PO=OD3，
解得：PO=2，OD=32，
∴P-2，0，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了位似圖形的概念，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，△ABC 三個頂點的坐標分別是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以點C為位似中心，在x軸下方作△ABC的位似圖形△A'B'C．并把△ABC的邊長放大為原來的2倍，那么點A'的坐標為( )
A．（1，－6）B．（1，－7）C．（2，－6）D．（2，－7）
【答案】B
【分析】建立以C為坐標原點的平面直角坐標系，根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：若以C為坐標原點建立平面直角坐標系，則點A在新坐標系中的坐標為（-1，3），
∵△ABC與△A'B'C'以點C為位似中心，在x軸下方作△ABC的位似圖形△A'B'C'，把△ABC的邊長放大為原來的2倍，
∴點A'在新坐標系中的坐標為（1×2，-3×2），即（2，-6），
則點A'的坐標為（1，-7），
故選：B．
【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、平移的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．
【變式6-3】（2023春·廣西北?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE關(guān)于原點O成位似關(guān)系，相似比為1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x軸正半軸上的點，B、D是第一象限的點，BC＝2，則點D的坐標是（ ）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的定義得到△ACB∽△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE，根據(jù)△OCB∽△OED，列出比例式，代入計算即可得到答案．
【詳解】解：∵等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE關(guān)于原點O成位似關(guān)系，
∴△ACB∽△CED，
∵相似比為1：3，
∴BCDE=13，即2DE=13 ，
解得，DE＝6，
∵△CED為等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝6，
∵BC∥DE，
∴△OCB∽△OED，
∴OCOE=BCDE ，即OCOC+6=13，
解得OC＝3，
∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，
∴點D的坐標為（9，6），
故選：A．
【點睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握位似變換的兩個圖形是相似圖形是解題的關(guān)鍵．
【題型7 求位似圖形的長度】
【例7】（2023春·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A1,2，B1,1，C3,1，以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2:1，則線段DF的長度為（ ）
A．25B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得DF=2AC，然后根據(jù)兩點間的距離公式求出AC即可解決問題．
【詳解】解：∵△DEF與△ABC是位似圖形，且相似比為2:1，
∴DF=2AC，
∵AC=(3-1)2+(1-2)2=5，
∴DF=25．
故選：A．
【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)和兩點間的距離，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中校考期中）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，點O為位似中心，若△ABC的周長等于△A'B'C'周長的14．AO=2，則OA'的長度為（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)位似變換的概念得到△ABC∽△A'B'C'，根據(jù)周長之比得到相似比，繼而求解．
【詳解】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∵△ABC的周長等于△A'B'C'周長的14，
∴相似比為1:4，
∵AO=2，
∴OA'=OA14=8，
故選C．
【點睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為O．△ABC與△A'B'C'的面積之比為9∶1，若OA'=2，則OA的長度為（ ）

A．6B．12C．18D．20
【答案】A
【分析】由△ABC與△A'B'C'位似，△ABC與△A'B'C'的面積之比為9∶1，即可得OA:OA'=3:1，繼而求得答案．
【詳解】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，△ABC與△A'B'C'的面積之比為9∶1，
∴OA:OA'=3:1，，
∵OA'=2，
∴OA=6，
故選：A
【點睛】本題考查了位似的概念和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟知位似的概念，理解三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，DE是△ABC的中位線，D'E'是△A'B'C'的中位線，連結(jié)AA'、BB'、CC'．已知BC=4，2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'．則D'E'的長度為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】通過中位線的性質(zhì)得出DE=12BC=2，再證明△ABC∽△A'B'C'，得出相似比為12，即可得到DE=12D'E'，從而得出答案．
【詳解】∵ DE是△ABC的中位線，D'E'是△A'B'C'的中位線，
∴ DE=12BC=2，D'E'=12B'C'，
∵ 2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'，
∴ △ABC∽△A'B'C'，
∴相似比為12，
∴ BC=12B'C'，
∴ DE=12D'E'，
∴ D'E'=4，
故選：B．
【點睛】本題考查中位線的性質(zhì)和位似圖形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型8 求位似圖形的周長】
【例8】（2023春·重慶南岸·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長為2，則△DEF的周長為（ ）
A．4B．6C．8D．18
【答案】B
【分析】由△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3知△ABC與△DEF的位似比是1:3，從而得出△ABC周長：△DEF周長=1:3，由此即可解答．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3，
∴△ABC與△DEF的位似比是1:3．
則△ABC周長：△DEF周長=1:3，
∵△ABC的周長為2，
∴△DEF周長=2×3=6
故選：B．
【點睛】本題考查了位似變換：位似圖形的任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的周長比等于相似比．
【變式8-1】（2023春·江蘇常州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，兩個五邊形是位似圖形，位似中心為點O，點A與A′對應，OAAA'＝23，若小五邊形的周長為4，則大五邊形的周長為 ．
【答案】10
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)計算，得到答案．
【詳解】解：∵OAAA'=23，
∴OAOA'=25，
∵兩個五邊形是位似圖形，
∴AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA'B'=OAOA'=25，
∴兩個五邊形是位似圖形的相似比為2：5，
∵小五邊形的周長為4，
∴大五邊形的周長為10，
故答案為：10．
,
【點睛】本題考查的是位似變換的的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·九年級課時練習）如果兩個五邊形是位似圖形,相似比為5∶3,且它們的周長和為240 cm,則大五邊形與小五邊形的周長差為 cm.
【答案】60
【分析】由如果兩個五邊形是位似圖形，且位似比為5：3，且它們的周長和為240cm，根據(jù)相似圖形的周長的比等于相似比，即可求得它們的周長，繼而求得答案．
【詳解】解：∵兩個五邊形是位似圖形，且位似比為5：3，
∴它們的周長比為：5：3，
∵它們的周長和為240cm，
∴它們的周長分別為：240×55+3=150（cm），240×55+3=90（cm），
∴它們的周長差為：150-90=60（cm）．
故答案為60cm．
【點睛】此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握位似圖形是相似圖形，相似圖形的周長的比等于相似比．
【變式8-3】（2023春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC與△DEF位似，點O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF與△ABC的周長差為12cm，則△ABC的周長為（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】B
【分析】根據(jù)：位似圖形高、周長的比都等于相似比即可解答．求出△DEF與△ABC的相似比為5:2即可．
【詳解】∵OA:AD=2:3
∴OA:OD=2:5
∴△DEF與△ABC的周長比為5:2
∵△DEF與△ABC的周長差為12cm
∴△ABC的周長=12×25-2=8(cm)
故選：B
【點睛】本題主要考查了位似比，熟練的掌握位似圖形高、周長的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．
【題型9 求位似圖形的面積】
【例9】（2023春·四川攀枝花·九年級統(tǒng)考期末）如圖，原點O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，點A1,0與點A'-2,0是對應點，△ABC的面積是3，則△A'B'C'的面積是 ．
【答案】12
【分析】根據(jù)點A到點O的距離和點A'到點O的距離，得到這兩個位似三角形的相似比，根據(jù)面積比是相似比的平方，求出△A'B'C'的面積．
【詳解】解：∵點A1,0與點A'-2,0是對應點，原點O是位似中心，
∴△ABC和△A'B'C'的位似比是1∶2，
∴△ABC和△A'B'C'的面積的比是1∶4，
又∵△ABC的面積是3，
∴△A'B'C'的面積是12．
故答案為：12．
【點睛】本題考查位似圖形和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比和相似比的關(guān)系．
【變式9-1】（2023春·河北唐山·九年級?？计谀┤鐖D，△ABC與△A'B'C'是位似圖形， 點O是位似中心， 若OA=2AA'，SΔABC=8．則SΔA'B'C'= ．
【答案】18
【分析】由△ABC與△A'B'C'是位似圖形且由OA=2AA'．可得兩位似圖形的位似比為2∶3，所以兩位似圖形的面積比為4∶9，又由△ABC的面積為8，得△A'B'C'的面積為18．
【詳解】解：∵ △ABC與△A'B'C'是位似圖形，
∴△ABC∽△A'B'C'，
∴S△ABCS△A'B'C'=ABA'B'2=OAOA'2,
∵OA=2AA',
∴OAOA'=2AA'2AA'+AA'=23，
∵ SΔABC=8，
∴8S△A'B'C'=232，
∴S△A'B'C'=18，
經(jīng)檢驗：S△A'B'C'=18符合題意．
故答案為：18.
【點睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，掌握利用位似圖形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知△ABC和△A'B'C'是位似圖形．△A'B'C'的面積為8cm2，△A'B'C'的周長是△ABC的周長一半．則△ABC的面積等于（ ）
A．32cm2B．12cm2C．6cm2D．24cm2
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)計算即可．
【詳解】∵△A′B′C′的周長是△ABC的周長一半，
∴△A′B′C′與△ABC的相似比為1：2，
∴△A′B′C′與△ABC的面積比為1：4，
∴S△ABC=4S△A′B′C′=32(cm2)，
故選：A．
【點睛】本題考查了位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)△ABC和△A′B′C′是位似圖形，可得△ABC∽△A′B′C′，利用相似的性質(zhì)求得S△ABC=4S△A′B′C′是本題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2023春·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）如圖1，正方形ABCD繞中心O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A'B'C'D'，現(xiàn)將整個圖形的外圍以O(shè)為位似中心得到位似圖形如圖2所示，位似比為12，若整個圖形的外圍周長為16，則圖中的陰影部分面積為（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【答案】C
【分析】由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DF=DG=D'F=C'G=1，且△DFG為等腰直角三角形，可以推出FG=2，可以計算出圖2中整個圖形面積為S正方形ABCD+4S△DFG，通過位似圖形的性質(zhì)可得圖2中間空白部分面積為：148+42=2+2，最后求出陰影部分的面積即可．
【詳解】如圖，
∵正方形ABCD繞中心O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A'B'C'D'，整個圖形的外圍周長為16，
∴DF=DG=D'F=C'G=1，且△DFG為等腰直角三角形，
∴FG=2，
∴圖2中整個圖形面積：S正方形ABCD+4S△DFG=2+22+4×12×1×1=8+42
∵將整個圖形的外圍以O(shè)為位似中心得到位似圖形如圖2所示，位似比為12，
∴圖2中間空白部分面積為：148+42=2+2
圖2中陰影部分面積為：8+42-2+2=6+32
故選：C
【點睛】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、位似圖形等幾何知識點及其應用；應牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等幾何知識點，這是靈活運用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．
【題型10 位似圖形的規(guī)律探究】
【例10】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角標系xOy中，以O(shè)為位似中心，將邊長為8的等邊三角形OAB作n次位似變換，經(jīng)第一次變換后得到等邊三角形OA1B1，其邊長OA1縮小為OA的12，經(jīng)第二次變換后得到等邊三角形OA2B2，其邊長OA2縮小為OA1的12，經(jīng)第三次變換后得到等邊三角形OA3B3，其邊長OA3縮小為OA2的12，…按此規(guī)律，經(jīng)第n次變換后，所得等邊出角形OAnBn．的頂點An的坐標為（128，0），則n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點A的坐標，根據(jù)位似變換的性質(zhì)總結(jié)規(guī)律，代入計算即可．
【詳解】∵△OAB是等邊三角形，邊長為8，
∴點A的坐標為（8，0），
由位似變換的性質(zhì)可知，點A1的坐標為（8×12，0），即（4，0），
點A2的坐標為（8×122，0），即（2，0），
由題意得，8×12n=128，
解得，n=11，
故選D．
【點睛】本題考查的是位似變換，掌握等邊三角形的性質(zhì)、位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2023春·河北石家莊·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA=2，OC=1，在第二象限內(nèi)，以原點O為位似中心將矩形AOCB各邊放大為原來的32倍，得到矩形A1OC1B1，再以原點O為位似中心將矩形各邊A1OC1B1放大為原來的32倍，得到矩形A2OC2B2，以此類推…，矩形A2OC2B2的面積為_______；矩形A2021OC2021B2021的面積為 ．

【答案】818，2×324042
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出矩形的面積，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：∵四邊形AOCB為矩形，OA=2，OC=1，
∴矩形AOCB的面積為：2×1=2，
∵在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的32倍，
∴OA1=3，OC1=32,
∴矩形A1OC1B1的面積為：3×32=322=2×322，
∵OA2=32OA2=2×322，OC2=32OC1=322，
∴矩形A2OC2B2的面積為：2×322×322==2×324=818，
……
同理得：矩形A2021OC2021B2021的面積為2×324042，
故答案為：818，2×324042．
【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k
【變式10-2】（2023·廣西欽州·中考真題）如圖，以O(shè)為位似中心，將邊長為256的正方形OABC依次作位似變換，經(jīng)第一次變化后得正方形OA1B1C1，其邊長OA1縮小為OA的12，經(jīng)第二次變化后得正方形OA2B2C2，其邊長OA2縮小為OA1的12，經(jīng)第三次變化后得正方形OA3B3C3，其邊長OA3縮小為OA2的12，…，依次規(guī)律，經(jīng)第n次變化后，所得正方形OAnBnCn的邊長為正方形OABC邊長的倒數(shù)，則n=
【答案】16
【詳解】解：由已知有：OA1=12OA；OA2=12OA1=(12)2OA，OA3=12OA2=(12)3OA，…，
∴OAn=(12)nOA， OAn=(12)nOA=1OA，
∴(12)n=1OA2=12562=(12)16，
∴n=16．
故答案為：16．
【變式10-3】（2023春·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為12，點A1，A2，A3在x軸上，延長A3C2交射線OB1與點B3，以A3B3為邊作正方形A3B3C3A4；延長A4C3，交射線OB1與點B4，以A4B4為邊作正方形A4B4C4A5；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若OA1=1，則正方形A2021B2021C2021A2022的面積為 ．
【答案】24040
【分析】已知正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，A1B1⊥x軸，A2 B2⊥x軸，可先證明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1 B1C1A2的邊長1= 20，正方形A2 B2C2 A3的邊長為21=2；同理可證明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的邊長為4=由此可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCn Dn+1的邊長為2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n =2021，將n的值代入2n－1即可求出該正方形的邊長，根據(jù)正方形面積公式，即可求出該正方形的面積．
【詳解】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為12，
∴A1B1A2B2=12，
∵A1B1⊥x軸，A2 B2⊥x軸，
∴A1B1//A2B2，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴OA1OA2=A1B1A2B2=12，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=OA2-OA1=1，
∴正方形A1 B1C1A2的邊長1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴A1B1A2B2=12，
∴A2B2=2A1B1=2，
∴正方形A2 B2C2 A3的邊長為21=2；
同理可證△OA2B2∽△OA3B3，
∴A2B2A3B3=OA2OA3，
∵四邊形A2 B2C2 A3是正方形，
∴A2A3=A2B2=2，
∴OA3=OA2+A2A3=4，
∴OA2OA3=24=12，
∴A2B2A3B3=OA2OA3=12，
∴A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的邊長為4=22，
綜上，可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCn Dn+1的邊長為2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的邊長為：22020，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面積為：(22020)2=24040．
故答案為：24040．
【點睛】本題主要考查了位似變換、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和面積以及圖形類找規(guī)律，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

專題6.6 位似【十大題型】-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊舉一反三系列（蘇科版）：

這是一份專題6.6 位似【十大題型】-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊舉一反三系列（蘇科版），文件包含專題66位似十大題型舉一反三蘇科版原卷版docx、專題66位似十大題型舉一反三蘇科版解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

初中數(shù)學滬科版九年級上冊22.1 比例線段當堂達標檢測題：

這是一份初中數(shù)學滬科版九年級上冊22.1 比例線段當堂達標檢測題，文件包含專題241全冊綜合測試卷滬科版原卷版docx、專題241全冊綜合測試卷滬科版解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。

滬科版九年級上冊23.1 銳角的三角函數(shù)優(yōu)秀課后測評：

這是一份滬科版九年級上冊23.1 銳角的三角函數(shù)優(yōu)秀課后測評，文件包含專題232解直角三角形十大題型舉一反三滬科版原卷版docx、專題232解直角三角形十大題型舉一反三滬科版解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共70頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

初中數(shù)學滬科版九年級上冊第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.5 反比例函數(shù)優(yōu)秀鞏固練習

初中數(shù)學滬科版九年級上冊第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.5 反比例函數(shù)優(yōu)秀鞏固練習
滬科版九年級上冊第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.1 二次函數(shù)精品課時訓練

滬科版九年級上冊第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.1 二次函數(shù)精品課時訓練
滬科版七年級上冊3.3二元一次方程組及其解法同步測試題

滬科版七年級上冊3.3二元一次方程組及其解法同步測試題
滬科版九年級上冊22.4 圖形的位似變換精品課時作業(yè)

滬科版九年級上冊22.4 圖形的位似變換精品課時作業(yè)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學滬科版九年級上冊電子課本

22.4 圖形的位似變換

版本： 滬科版

年級： 九年級上冊

切換課文
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部