?第2章?軸對(duì)稱（A卷）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

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一、單選題
1．熊貓“冰墩墩”和燈籠“雪容融”是2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)的吉祥物，以下“冰墩墩”和“雪容融”簡(jiǎn)筆畫是軸對(duì)稱圖形的是（????）
A． B． C． D．
2．下列圖形不是軸對(duì)稱圖形的是（??）
A．線段 B．長(zhǎng)與寬不相等的長(zhǎng)方形 C．三角形 D．圓
3．下面圖形中，對(duì)稱軸最少的是（????）
A．正方形 B．長(zhǎng)與寬不相等的長(zhǎng)方形 C．等邊三角形 D．圓
4．如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)處，折痕為，如圖②，如果為AB的中點(diǎn)，的面積為1，則的面積為（????）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片按如圖所示方法進(jìn)行對(duì)折，記第1次對(duì)折后得到的圖形面積為，第2次對(duì)折后得到的圖形面積為，…，第n次對(duì)折后得到的圖形面積為，請(qǐng)根據(jù)圖2化簡(jiǎn)，（????）

A． B． C． D．
6．如圖，已知的周長(zhǎng)是，和的角平分線交于點(diǎn)O，于點(diǎn)D，若，則的面積是（????）

A． B． C． D．
7．如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝1.7，若點(diǎn)關(guān)于直線a，b的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（????）

A．0 B．3 C．4 D．5
8．如圖，在正方形網(wǎng)格中有M，N兩點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)P使PM＋PN最短，則點(diǎn)P應(yīng)選在（????）

A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)
9．如圖，已知DO ，點(diǎn) P 為其內(nèi)一定點(diǎn)，分別在DO 的兩邊上找點(diǎn) A 、 B ，使△ PAB 周長(zhǎng)最小的是（????）
A． B．
C． D．
10．如圖，∠MON＝50°，P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，OM上有點(diǎn)A，ON上有點(diǎn)B，當(dāng)PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠APB的度數(shù)為（????）．

A．60° B．70° C．80° D．100°

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二、填空題
11．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在點(diǎn)，的位置，與AD邊相交于點(diǎn)G，若，則 ．

12．在中，DE、MN分別垂直平分AB和AC，交BC于點(diǎn)D、M，若，，則 ．
13．如圖，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，則∠BPC＝ °．

14．已知一個(gè)等腰三角形，其中一條腰上的高與另一條腰的夾角為25°，則該等腰三角形的頂角為 ．
15．如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長(zhǎng)是 .

16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，若DE＝4，則CF的長(zhǎng)為 .

17．等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C 重合），過(guò)點(diǎn)D分別作，，交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)是 ．

18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則CD的值是 cm.

19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，則BC＝ cm.


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三、解答題
20．如圖，點(diǎn)B，C分別在的兩邊上，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，求證：．

21．如圖，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：AD垂直平分EF；
(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面積.
22．如圖所示，P，Q為△ABC邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，在BC上求作一點(diǎn)R，使△PQR的周長(zhǎng)最?。?br />
23．如圖，在△ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D，E.，F(xiàn) 分別在AB、BC、AC 邊上，且 BE=CF，BD=CE
（1）求證：△DEF 是等腰三角形；
（2）求證：∠B=∠DEF；
（3）當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DFE 的度數(shù)．

24．如圖，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE＝BD．求證；BD是∠ABC的角平分線．

25．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求∠F的度數(shù)；
（2）求證：DC＝CF．

26．如圖，BN，CM分別是△ABC的兩條高，點(diǎn)D，E分別是BC，MN的中點(diǎn).求證：DE⊥MN.


參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐一判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．
2．C
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷．
【詳解】A．線段是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．長(zhǎng)與寬不相等的長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．三角形不一定是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D．圓是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
3．B
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．
【詳解】解：A．正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；
B．長(zhǎng)與寬不相等的長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸；
C．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸；
D．圓是軸對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸．
∴長(zhǎng)與寬不相等的長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸最少．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，熟知軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的定義是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得＝1，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出＝1，最后利用得出結(jié)果．
【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，
∴∠C＝∠＝＝90°，
由折疊的性質(zhì)得：△BCD≌△，
∴＝1，
∵為AB的中點(diǎn)，
∴，
∵∠＝＝90°，，
∴（SAS），
∴＝1，
∴＝3．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，得出，是解題的關(guān)鍵．
5．C
【分析】根據(jù)圖形的變化面積隨之變化，再根據(jù)各部分圖形的面積之和等于正方形的面積減去剩下部分的面積進(jìn)行計(jì)算即可求解
【詳解】解：觀察圖形的變化可知：
，
，
，

，
第2022次對(duì)折后，剩下部分的面積為，
所以，
故選擇：C
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類問(wèn)題．
6．B
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解．
【詳解】解∶如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，

∵和的角平分線交于點(diǎn)O，，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∵的周長(zhǎng)是，
∴AB+BC+AC=36cm，
∵，
∴．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離是解題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】分別連接OP1，OP2，P1P2，由三角形三邊的關(guān)系及對(duì)稱的性質(zhì)，可確定P1P2的范圍，根據(jù)這范圍即可確定答案．
【詳解】解：分別連接OP1，OP2，P1P2，如圖所示，

則，
由對(duì)稱知：，
∴，
∵，
∴．
∴A、C、D三個(gè)選項(xiàng)中提供的數(shù)值均不在上述范圍內(nèi)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，三角形三邊的不等關(guān)系：任兩邊之和大于第三邊，掌握此關(guān)系是關(guān)鍵．
8．C
【分析】首先求得點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M’，連接M’N，即可求得答案．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)M’是點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接M’N，則M’N與直線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB最短，
∵M(jìn)’N與直線交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)P應(yīng)選C點(diǎn)．
故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問(wèn)題．注意首先作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．
9．D
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與三角形的周長(zhǎng)定義即可求解.
【詳解】D圖中，三角形的周長(zhǎng)=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,為一條線段，故為最小，其他三個(gè)選項(xiàng)均不是最小周長(zhǎng).
故選D.
【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與周長(zhǎng)的定義，解題的關(guān)鍵是熟知軸對(duì)稱的性質(zhì).
10．C
【分析】作出P點(diǎn)關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′，然后連接A′B′，交OM、ON于A、B，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，最小周長(zhǎng)為A′B′，再根據(jù)三角形和四邊形的內(nèi)角和即可求出答案．
【詳解】
作出P點(diǎn)關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′，然后連接A′B′，交OM、ON于A、B，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，
∵點(diǎn)A′與點(diǎn)P關(guān)于直線OM對(duì)稱，點(diǎn)B′與點(diǎn)P關(guān)于ON對(duì)稱，
∴OM垂直平分A′P，ON垂直平分B′P，
∴A′A=AP，B′B=BP，
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′，
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠A′PB′=180°，
∴∠A′PB′=180°-50°=130°，
在△A′B′P中，由三角形的內(nèi)角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-130°=50°，
∴∠A′PA+∠BP B′=50°，
∴∠APB=130°-50°=80°，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線和軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)，兩點(diǎn)之間線段最短，還考到了三角形和四邊形的內(nèi)角和，靈活使用垂直平分線的性質(zhì)并能作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
11．22°/22度
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得，∠D′＝∠D＝90°，∠EFD′＝∠EFD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形的兩銳角互余求解即可．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得，∠D′＝∠D＝90°，∠EFD′＝∠EFD，
∵長(zhǎng)方形ABCD中，ADBC，
∴∠FEC＋∠EFD＝180°，∠GFE＝∠FEC，
∵∠FEC＝56°，
∴∠EFD＝124°，∠GFE＝56°，
∴∠EFD′＝124°，
∴∠GFD′＝∠EFD′?∠GFE＝68°，
∴∠D′GF＝90°?∠GFD′＝22°，
∴∠AGC'＝∠D′GF＝22°，
故答案為：22°．
【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．7或3/3或7
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=BD，AM=CM，然后利用等線段轉(zhuǎn)化AD+AM= BC+DM或BC-DM即可．
【詳解】解：當(dāng)BD與CM有公共點(diǎn)時(shí)
∵DE是AB的垂直平分線，MN是AC的垂直平分線，
∴AD=BD，AM=CM，
∴AD+AM=BD+CM=BD+CD+DM=BC+DM=5+2=7．


當(dāng)BD與CM沒有公共點(diǎn)時(shí)
AD+AM=BD+CM=BC-DM=5-2=3
故答案為:7或3．

【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線性質(zhì)，線段和差計(jì)算，掌握線段垂直平分線性質(zhì)，線段和差計(jì)算是解題關(guān)鍵．
13．100
【分析】延長(zhǎng)BP交AC于D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BPC．
【詳解】解：連接AP，延長(zhǎng)BP交AC于D，

∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵點(diǎn)P是AB，AC的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故答案為：100．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
14．65°或115°
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)．另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)．
【詳解】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，
∴∠A＝65°，
即頂角的度數(shù)為65°．
②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BAC＝115°．
故答案為：65°或115°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．
15．14
【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的等角對(duì)等邊得出EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，即可得出答案．
【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，
∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周長(zhǎng)＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝14，
故答案為：14．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形等角對(duì)等邊，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
16．8
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到△ABC是△ACD的面積的兩倍，然后用等面積法求得DE和CF的關(guān)系，進(jìn)而得到CF的長(zhǎng)．
【詳解】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中線，
∴＝2××DE?AC＝DE?AC，
∵，
∴AB?CF＝DE?AC，
∵AC＝AB，
∴CF＝DE，
∵DE＝4，
∴CF＝8；
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等面積法求高．
17．8
【分析】由為等邊三角形，得到三條邊相等，三個(gè)角相等都為60°，再由兩直線平行同位角相等及等邊三角形的判定得到與為等邊三角形，表示出四邊形AEDF周長(zhǎng)，等量代換即可求出所求．
【詳解】解：為等邊三角形，


四邊形AEDF為平行四邊形，
和為等邊三角形，


∴四邊形AEDF周長(zhǎng)為：

故答案為：8．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
18．3
【分析】根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解題即可．
【詳解】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝6cm，
又∵D為AB的中點(diǎn)，
∴CD＝AB＝3cm.
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握相關(guān)定理是解本題的關(guān)鍵．
19．7
【分析】延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)AD交BC于N，作DFBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AN⊥BC，BN＝CN，然后證明△BEM和△EFD為等邊三角形，結(jié)合含30°直角三角形的性質(zhì)求出BN的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)AD交BC于N，作DFBC，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM為等邊三角形，
∴BE＝ME＝BM=4cm，
∵DFBC，
∴∠EFD＝∠EBC＝60°＝∠E，
∴△EFD為等邊三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵M(jìn)E＝4cm，DE＝3cm，
∴DM＝1cm，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝DM＝cm，
∴BN＝BM?NM＝4－＝cm，
∴BC＝2BN＝7cm，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)，能求出MN的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
20．證明見解析
【分析】連接AD，先利用條件證明≌，即可證明
【詳解】連接AD，
，，，
，

在和中
，
≌，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了證明三角形全等的方法，熟練掌握即可解題.
21．(1)證明見解析；
(2)15

【分析】（1）根據(jù)AAS證明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）根據(jù)△AED≌△AFD可得DE＝DF，再根據(jù)△ABC的面積＝AB·DE＋AC·DF求解即可．
【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴AG⊥EF，EG＝FG，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵△AED≌△AFD，DE＝3，
∴DF＝DE＝3，
∵AB＋AC＝10，
∴△ABC的面積＝AB·DE＋AC·DF＝（AB＋AC）·DE＝15．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明△AED≌△AFD是解題的關(guān)鍵．
22．見解析
【詳解】試題分析：作出點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接QP′交BC于R，那么△PQR的周長(zhǎng)最小
試題解析：(1)作點(diǎn)P關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)P′，
(2)連接P′Q，交BC于點(diǎn)R，則點(diǎn)R就是所求作的點(diǎn)(如圖所示)．

23．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．
【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可得證；
（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得證；
（3）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】證明：（1），
，
在和中，，
，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）已證：，
，
，
；
（3）在中，，
，
由（2）已證：，
，
由（1）已證：是等腰三角形，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵．
24．證明見解析
【分析】延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，利用ASA即可證出△DBC≌△FAC，從而得出BD=AF，結(jié)合題意可得BE垂直平分AF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BA=BF，利用三線合一即可證出結(jié)論．
【詳解】解：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F

∵AE⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠DBC＋∠F=90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠F=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△DBC和△FAC中

∴△DBC≌△FAC
∴BD=AF
∵AE＝BD
∴AE＝AF
∴點(diǎn)E為AF的中點(diǎn)
∴BE垂直平分AF
∴BA=BF
∴BD是∠ABC的角平分線．
【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和三線合一是解題關(guān)鍵．
25．（1）30°；（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=60°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的判定可證△EDC是等邊三角形，從而求出DC=EC，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得EC=CF，從而證出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形
∴∠ACB=∠B=60°
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
證明：（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°
∴∠DEC=60°
∴△EDC是等邊三角形
∴DC=EC
∵∠F=30°
∴∠CEF=∠ACB－∠F=30°=∠F
∴EC=CF
∴DC＝CF．
【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的判定及性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
26．證明見解析
【分析】連接DM，DN，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出DM＝DN，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】證明：如圖，連接DM，DN，

∵BN、CM分別是△ABC的兩條高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DM＝BC，DN＝BC，
∴DM＝DN，
∵E為MN的中點(diǎn)，
∴DE⊥MN．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，證得DM=DN是解題的關(guān)鍵．

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