?第2章?軸對(duì)稱（B卷）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

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一、單選題
1．室內(nèi)墻壁上掛一平面鏡，小明在平面鏡內(nèi)看到他背后墻上時(shí)鐘的示數(shù)如右圖所示，則這時(shí)的實(shí)際時(shí)間應(yīng)是（??　?。?br />
A．3:20 B．3:40 C．4:40 D．8:20
2．下列說(shuō)法中：①關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定能完全重合；②線段是軸對(duì)稱圖形；③有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形一定關(guān)于公共邊所在直線對(duì)稱；④關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定分別位于該直線的兩側(cè)．正確的有（????）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
3．如圖，射線AB與射線CD平行，點(diǎn)F在射線AB上，，（a為常數(shù)，且），P為射線CD上的一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)C），將沿PF翻折得到，連接AE，則AE最大時(shí)，的度數(shù)為（????）

A． B． C． D．
4．如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在外的處，折痕為．如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是（????）

A． B．
C． D．
5．圖，，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，將線段沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在四邊形外側(cè)，連接，若，，則為(???)

A． B．
C． D．
6．如圖，△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作一條平分△ABC面積的直線，那么這條直線分成的兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)比是（ ）

A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
7．如圖，在△ABC中．AB＝AC,BC＝4，△ABC的面積是24，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM，DM，則CM＋DM的最小值為（ ）

A．6 B．10 C．12 D．13
8．如圖所示，∠AOB＝60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且OP＝2，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段MN的距離為（??）

A．1 B．2 C．4 D．1.5
9．在等邊中，D，E分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，以為邊在內(nèi)作等邊，連接，當(dāng)D從點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，的變化情況是（????）

A．不變 B．變小 C．變大 D．先變大后變小
10．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，則．其中正確的是（　?。?br />
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③

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二、填空題
11．墻上有一個(gè)數(shù)字式電子鐘，在對(duì)面墻上的鏡子里看到該電子鐘顯示的時(shí)間如圖所示，那么它的實(shí)際時(shí)間是 ．

12．如圖，直線L為線段AB的垂直平分線，交AB于M，在直線L上取一點(diǎn)，使得，得到第一個(gè)三角形；在射線上取一點(diǎn)，使得；得到第二個(gè)三角形；在射線上取一點(diǎn)C3，使得，得到第三個(gè)三角形…依次這樣作下去，則第2022個(gè)三角形中的度數(shù)為 ．

13．如圖，在RtABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MNBC交AC于點(diǎn)N，且 MN平分∠AMC，若AN=2，則 BC的長(zhǎng)為

14．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD于E，AB=6，AC=14，∠ABC=3∠C，則BE= ．

15．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，F(xiàn)A﹣CD＝3，則BC+DE＝ ．

16．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EG∥AB．連接BE交AC于點(diǎn)F，則的值為 ．

17．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①；②PQ//AE；③；④△CPQ為等邊三角形；⑤；其中正確的有 （注：把你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫上）

18．如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B＝30°，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)且OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP．其中正確的為 ．（填序號(hào)）


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三、解答題
19．如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；
（2）若△ABC周長(zhǎng)為20cm，AC＝8cm，求DC長(zhǎng)．

20．在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC＝2BE．

21．如圖，在中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：

(1)t為多少時(shí)，是等邊三角形？
(2)P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀不斷發(fā)生變化，當(dāng)t為多少時(shí)，是直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
22．如圖，在△ABC中，∠A=60°．BE，CF交于點(diǎn)P，且分別平分∠ABC，∠ACB．

(1)求∠BPC的度數(shù)；
(2)連接EF，求證：△EFP是等腰三角形．
23．已知BO，CO分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACE的角平分線．

(1)在圖1中，已知∠O＝25°，求∠BAC的度數(shù)．
(2)連接OA，如圖2，證明OA是外角∠CAD的角平分線．
(3)在圖2中，已知＝16，BC＝4，AC＝5，AB＝6，直接寫出△ABC的面積．
24．△ABC中，，AC＝BC，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F．

(1)如圖1，分別延長(zhǎng)AC，BF相交于點(diǎn)E，求證：BE＝AD；
(2)如圖2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的長(zhǎng)；
(3)如圖3，M是FB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD平分∠MAC，試探究AC，CD，AM之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
25．已知：在Rt△ABC中，，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)．點(diǎn)M為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接AM，將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段ME，連接EC．

(1)如圖1，若點(diǎn)M在線段BD上，求∠MCE的度數(shù)．
(2)如圖2，若點(diǎn)M在線段CD上，試探究線段AC、CE、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
26．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問(wèn)的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．

參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，即可得到答案．
【詳解】∵鏡中看到的圖形，為時(shí)鐘顯示的鏡像，即左右鏡像
又∵從鏡中看到時(shí)針在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間
∴實(shí)際時(shí)鐘的時(shí)針在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間
∵從鏡中看到分針顯示為20分
∴實(shí)際時(shí)鐘的分針顯示為40分
∴實(shí)際時(shí)間應(yīng)是：3:40
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)并運(yùn)用到生活中的實(shí)際問(wèn)題，從而完成求解．
2．B
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義求解即可．軸對(duì)稱：兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱．
【詳解】①關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定能完全重合，選項(xiàng)正確，符合題意；
②線段是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)正確，符合題意；
③有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形不一定關(guān)于公共邊所在直線對(duì)稱，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
④關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形不一定分別位于該直線的兩側(cè)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
∴正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的定義．軸對(duì)稱：兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱．
3．C
【分析】由折疊知EF=CF為定值，所以當(dāng)點(diǎn)E在AF延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大，由折疊性質(zhì)知，∠PEF=∠PCF=70°，因?yàn)镃DAB，即CDEF，所以∠DPE=∠PEF，即可求解．
【詳解】解：∵CDAB，∠DCF=70°，
∴∠DCF=∠CFA=70°，
由折疊性質(zhì)知，EF=CF，
∵CF的長(zhǎng)度為定值，AF+EF≥AE，
∴當(dāng)點(diǎn)E在AF延長(zhǎng)線上時(shí)，則點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大，最大值為AE=AF+EF=AF+CF，如圖，

由折疊性質(zhì)知，∠PEF=∠PCF=70°，
∵CDAB，即CDEF，
∴∠DPE=∠PEF=70°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是確定EF為定值．
4．B
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠代入計(jì)算可判斷A；無(wú)法得到選項(xiàng)B的結(jié)論；由折疊的性質(zhì)結(jié)合平角的定義可判斷選項(xiàng)C；由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可判斷D．
【詳解】解：如圖，

由折疊得，∠
∵∠
又∠
∴∠故A正確，不符合題意；
無(wú)法得到，故選項(xiàng)B符合題意；
由折疊得，∠
又
∴
∵
∴
∴，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；
由折疊得，∠
∵
∴
∴，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)的，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】設(shè)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得．
【詳解】解：設(shè)，
，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
，
，
，
，
解得，
即，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．B
【分析】連接AD，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：AD也是一條角平分線，則有DE=DF=DG，根據(jù)MDN平分△ABC的面積以此來(lái)列等式即可求解．
【詳解】連接AD，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥BC于點(diǎn)G，

∵△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，
∴DE＝DF＝DG，
設(shè)MN平分△ABC的面積，則＋＝＋＋，
∵＝BM?DE，＝AM?DE，＝AC?DF，＝NC?DG，＝BN?DG，
∴BM?DE＋BN?DG＝AM?DE＋AC?DF＋NC?DG，
∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC，
∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN，
即這條直線分成的兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)比是1：1；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握三角形中三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)把CM＋DM轉(zhuǎn)化為AM＋DM，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可得出AD為所求線段，通過(guò)面積求高即可．
【詳解】解：連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
連接AM，則CM＋DM＝AM＋DM≥AD，
∴當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，CM＋DM的值最小，
∴AD的長(zhǎng)為CM＋MD的最小值；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱在求最短距離上的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化問(wèn)題，并能利用面積求高是解題關(guān)鍵．
8．A
【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對(duì)稱點(diǎn)和，連接O、O、，則與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)，與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)，連接P、P，則此時(shí)的值即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥于點(diǎn)C，求得∠O的值，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OB和OA的對(duì)稱點(diǎn)和，連接O、O、，則與OB的交點(diǎn)為點(diǎn)，與OA的交點(diǎn)為點(diǎn)，連接P、P，則此時(shí)的值即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥于點(diǎn)C，如圖所示：

由對(duì)稱性可知OP＝O＝O＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠＝2×60°＝120°，
∴∠＝∠＝30°，
∵OP＝2，OC⊥，
∴OC＝O＝1；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．A
【分析】在上截取，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；
【詳解】如圖，在上截取，連接．
∵是等邊三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等邊三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不變，故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形全等求解是解題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進(jìn)而判定①；在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到 ，再證得，得到AF＝AH，進(jìn)而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和三角形的面積可證得③正確．
【詳解】∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝?∠OBA?∠OAB＝?∠CBA?∠CAB
＝?（?∠C）＝＋∠C，故①正確；
∵∠C＝，由①知：∠AOB＝＋∠C，
∴∠AOB＝，
∴∠AOF＝，
∴∠BOE＝，
如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，

∵BF是∠ABC的角平分線，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，

∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝??＝，
∴∠AOH＝∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分線，
∴∠HAO＝∠FAO，
在△HAO和△FAO中，

∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正確；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，
故③正確；
綜上可知，①②③正確，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線證得，得到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
11．12：51
【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．
【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的圖片與12：51成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為12：51．
故答案為：12：51．
【點(diǎn)睛】本題考查鏡面對(duì)稱，解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．
12．
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可．
【詳解】∵直線L為線段AB的垂直平分線，
，，…
∵，，
∴，，即，
∴，，
∴，
同理，∴＝＝×，
∴＝＝××，
∴＝＝×××，
…
∴＝＝；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究，涉及線段的垂直平分線，等腰三角形、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，得出角之間的變化規(guī)律是正確解答的前提．
13．12
【分析】由角平分線的性質(zhì)得到，結(jié)合，得到，繼而證明是等腰三角形，再由含30°角直角三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解答．
【詳解】解：平分∠ACB，MN平分∠AMC，




是等腰三角形，








故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
14．
【分析】如圖，延長(zhǎng) 交于 證明 可得 再求解 再證明： 可得 從而可得答案．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng) 交于

AD平分∠BAC，














故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
15．14
【分析】AB、CD、EF分別向兩方延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G、H、P，證明△APF、△BCG、△DEH是等邊三角形，得出∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，證出△PGH是等邊三角形，得出PG＝GH，即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，得出AF+AB+BC＝BC+CD+DE，即可得出答案．
【詳解】解：把AB、CD、EF分別向兩方延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G、H、P，如圖所示：

∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，
∴△APF、△BCG、△DEH是等邊三角形，
∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，
∴△PGH是等邊三角形，
∴PG＝GH，
即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，
∴AF+AB+BC＝BC+CD+DE，
∴BC+DE＝AF﹣CD+AB+BC，
∵AB+BC＝11，F(xiàn)A﹣CD＝3，
∴BC+DE＝3+11＝14.
故答案為：14．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)；證明△PGH為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
16．/
【分析】由“AAS”可證，設(shè)BD=CG=x，BC=GE=AB，由“AAS”可證，可得，求比值即可．
【詳解】解：∵AD＝3BD，
∴設(shè)BD＝x，則AD＝3x，
∴AB＝4x，
∵ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4x，∠A＝∠ABC＝60°，
∵，
∴∠A＝∠G＝60°，
∴∠ABC＝∠G＝60°，
∵∠ACE＝∠ADC，
∴∠BDC＝∠GCE，
在BCD和GEC中，

∴BCD≌GEC（AAS），
∴BD＝GC＝x，BC＝GE＝AB，
∴AG＝AC＋CG＝5x，
在ABF和GEF中，

∴ABF≌GEF（AAS），
∴AF＝FG＝x，
∴FC＝x，
∴＝；
故本題答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明ABF≌GEF是解題的關(guān)鍵．
17．①②④⑤
【分析】首先證明，推出，說(shuō)明①正確；證明，推出，又，可得△CPQ為等邊三角形，故④正確；證明，推出，故結(jié)論②正確；通過(guò)，得出⑤正確；現(xiàn)有條件不足以證明，故③錯(cuò)誤．
【詳解】解：和都是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，，，，
，
，結(jié)論①正確；
，
，
又，
，
，
在和中，，，，
，
，，
又，
是等邊三角形，結(jié)論④正確；
，
，結(jié)論②正確；
，
，
，
故結(jié)論⑤正確；
現(xiàn)有條件不足以證明，故③錯(cuò)誤；
綜上，正確的結(jié)論有4個(gè)，分別是：①②④⑤，
故答案為：①②④⑤．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用、平行線的判定等，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，從圖中找出全等的三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．①②③④
【分析】連接OB，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可求得OB=OC=OP，即可解題；
②根據(jù)周角等于360°和三角形內(nèi)角和為180即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解題；
③在AC上截取AE=PA，易證△OPA≌OCPE，可得AO=CE，即可解題；
④作CH⊥BP，可證△CDO≌△CHP和Rt△A BD≌Rt△ACH，根據(jù)全等三角形面積相等即可解題．
【詳解】解：①連接OB，如圖1，

∵△ABC中高AD恰好平分邊BC，即AD是BC垂直平分線，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正確；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等邊三角形，故②正確；
③如圖2，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正確；
④如圖3，作CH⊥BP，

∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四邊形OAPC面積＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四邊形OAPC面積＝S△ABC．故④正確．
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
19．（1）∠C＝35°；（2）DC＝6cm．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知能推出2DE+2EC＝12cm，即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE=∠AED，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝ ，
∴∠C∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周長(zhǎng)20cm，AC＝8cm，
∴AB+BE+EC＝12cm，
即2DE+2EC＝12cm，
∴DE+EC＝DC＝6cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
20．見(jiàn)解析
【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易證得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三線合一，可證得BF＝2BE，即可證得AC＝2BE．
【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD，
∴AD＝DF，AB＝AF，
∵AE⊥BD，
∴BE＝EF＝BF，
∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF，
∴AC＝2BE．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．
21．(1)
(2)或6，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意可得AP=2tcm，BQ=tcm，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=2BC=24cm，從而得到PB=24-2t，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得關(guān)于t的方程，即可求解；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：AP=2tcm，BQ=tcm，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm，
∴AB=2BC=24cm，
∴PB=24-2t，
∵是等邊三角形，
∴PB=BQ，
∴24-2t=t，解得：t=8，
即t為8時(shí)，是等邊三角形；
（2）解：當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
即t=2(24-2t)，解得：t=；
②當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
即24-2t=2t，解得：t=6
綜上所述，當(dāng)t為或6時(shí)，是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．(1)120°
(2)見(jiàn)解析

【分析】（1）由角平分線的定義，三角形內(nèi)角和即可得出答案；
（2）在BC上截取BD=BF，連接PD，可證得：△BPF≌△BPD，故PF=PD，∠BPF=∠BPD．再證得△DCP≌△ECP，即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BE，CF分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．
∴∠PBC+∠PCB=60°．
∴∠BPC=120°．
（2）證明：在BC上截取BD=BF，連接PD．

∵BE，CF分別平分∠ABC，∠ACB，
∴，．
∵,
∴△BPF≌△BPD．
∴PF=PD，∠BPF=∠BPD．
∵∠BPC=120°，
∴∠BPF=60°．
∴∠BPD=∠CPD=∠CPE=60°．
∵∠DCP=∠ECP，CP=CP，
∴△DCP≌△ECP．
∴PD=PE．
∴PF=PE．
∴△EFP是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
23．(1)50°
(2)證明見(jiàn)解析
(3)20

【分析】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAC=∠ACE-∠ABC，根據(jù)角平分線的定義解答．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，OT⊥BE于點(diǎn)T．證明OM=ON，可得結(jié)論．
（3）利用三角形面積公式求出OT，再根據(jù)，求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1中，

∵∠ACE是△ABC的一個(gè)外角，
∴∠BAC＝∠ACE?∠ABC，
∵CO是∠ACE的角平分線，
∴∠OCE＝∠ACE，
∵OB是∠ABC的角平分線，
∴∠OBE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠ACE?∠ABC
＝2∠OCE?2∠OBE
＝2（∠OCE?∠OBE）
＝2∠O＝50°；
（2）證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，OT⊥BE于點(diǎn)T．

∵CO平分∠ACE，ON⊥AC，OT⊥CE，
∴ON＝OT，
∵BO平分∠DBE，OM⊥BD，OT⊥BE，
∴OM＝OT，
∴OM＝ON，
∴AO平分∠CAD．
（3）解：如圖2，
∵＝?BC?OT＝16，BC＝4，
∴OT＝8，
∴OM＝ON＝OT＝8，
∴
＝16＋×6×8?×5×8
＝16＋24?20
＝20．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決問(wèn)題．
24．(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)AC＋CD＝AM，理由詳見(jiàn)解析

【分析】（1）欲證BE＝AD，只要證明△ACD≌△BCE即可；
（2）如圖2，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABF＝∠E，由等腰三角形的判定和性質(zhì)以及（1）中結(jié)論即可求解；
（3）如圖3中，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖1，

∵BF⊥AD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴BE＝AD；
（2）解：如圖2，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，

由（1）知：BE＝AD＝5，
∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB＝AE，
∴BF＝BE＝；
（3）解：AC＋CD＝AM，理由如下：
如圖3，分別延長(zhǎng)BF，AC交于點(diǎn)E，

由（1）可得△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE，
∵BF⊥AD，
∴，
∵AF平分∠EAM，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠M＝∠E，
∴AM＝AE＝AC＋CE，
∴AC＋CD＝AM．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，涉及角平分線的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等角的余角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
25．(1)
(2)AC?CE＝CM，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析

【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先判斷出∠FMA＝∠CME，再判斷出FM＝CM，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA于點(diǎn)F，先判斷出，再判斷出，判斷出，進(jìn)而得出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∴，
∴，
∵將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
∵，AB＝AC，
∴，
∴在中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，

∴△FMA≌△CME（SAS），
∴；
（2）AC?CE＝CM，理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA于點(diǎn)F，

∴，
∴，
∵將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段ME，
∴，
∴，
∴∠FMA＝∠CME，
在Rt△FMC中，，
∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，

∴△FMA≌△CME（SAS），
∴AF＝CE，
在Rt△CMF中，CF＝CM，
∴AC?CE＝AC?AF＝CF＝CM．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
26．(1)；
(2)成立，；
(3)，見(jiàn)解析

【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°可得△MDN是等邊三角形，得到Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，得到∠M1DN＝∠MDN＝60°，從而得到△MDN≌△M1DN（SAS），即可求證；
（3）在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證得△MDN≌△M1DN，即可求證．
【詳解】（1）解：BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC＝MN．
∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠BDC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，
故答案為：BM+NC＝MN；
（2）猜想：結(jié)論仍然成立．
證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1．

∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；
（3）NC?BM=MN，理由如下：
證明：在CN上截取CM1＝BM，連接MN，DM1
由（2）得，△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形．

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