第15講 分?jǐn)?shù)加減法（同分母和異分母）（講義） （知識梳理+易錯匯總+易錯精講+易錯專練） 1、分?jǐn)?shù)加法的意義。和整數(shù)加法的意義相同，都是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。2、分?jǐn)?shù)減法的意義。和整數(shù)減法的意義相同，都是已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。3、同分母分?jǐn)?shù)加、減法的計算法則。分母不變，只把分子相加、減。計算的結(jié)果，能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。4、同分母分?jǐn)?shù)連加的計算方法。可以按照從左到右的順序計算，也可以直接把每個加數(shù)的分子連加起來做分子，分母不變。5、同分母分?jǐn)?shù)連減的計算方法。可以按照從左到右的順序計算，也可以直接用被減數(shù)的分子連續(xù)減去減數(shù)的分子做分子，分母不變。6、異分母分?jǐn)?shù)加、減法的計算方法。先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加、減法進行計算。溫馨提示：分?jǐn)?shù)加、減法的驗算方法與整數(shù)加、減法的驗算方法相同。  1、同分母分?jǐn)?shù)相加、減，分母不變，只把分子相加、減即可。2、異分母分?jǐn)?shù)相加減，必須先通分轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，再計算。3、分子是1的分?jǐn)?shù)相加減，如果分母不是互質(zhì)數(shù)，那么計算結(jié)果一定不是最簡分?jǐn)?shù)，要約成最簡分?jǐn)?shù)。  【易錯一】有甲、乙兩瓶白糖，甲瓶有kg，如果從甲瓶中取出kg白糖放入乙瓶，那么兩瓶白糖就一樣多。原來甲瓶比乙瓶多(      )kg白糖。【分析】根據(jù)題意，如果從甲瓶中取出kg白糖放入乙瓶，那么兩瓶白糖就一樣多，說明原來甲瓶比乙瓶多2個kg白糖。【詳解】＋＝（kg）原來甲瓶比乙瓶多kg白糖。【點睛】本題考查分?jǐn)?shù)加減法的意義及應(yīng)用，關(guān)鍵是分析出原來甲瓶比乙瓶多2個kg白糖，進而列式解答。【易錯二】一條施工路段。第一天修了全長的，第二天修了全長的，還剩全長的幾分之幾沒有修？（先畫出線段圖，再解答）【分析】把這段路的長度看作單位“1”，用1減去兩天修的分率即可解答。【詳解】如圖：1－－＝－＝答：還剩全長的沒有修。【點睛】本題考查同分母分?jǐn)?shù)減法，明確單位“1”是解題的關(guān)鍵。【易錯三】有紅黃藍三條絲帶。紅絲帶比黃絲帶長米，藍絲帶比黃絲帶短米。紅絲帶與藍絲帶相差多少米？【分析】以黃絲帶為中間量，藍絲帶比它短米，紅絲帶比它長米，則用加上即可求出紅絲帶與藍絲帶相差多少米。【詳解】＋＝（米）答：紅絲帶與藍絲帶相差米。【點睛】本題分?jǐn)?shù)加法，明確異分母分?jǐn)?shù)加法的計算方法是解題的關(guān)鍵。【易錯四】勤洗手是預(yù)防“新冠”病毒的有效手段之一。李阿姨家購買了一瓶洗手液，第一周用了這瓶洗手液的，第二周用了這瓶洗手液的，還剩下這瓶洗手液的幾分之幾？【分析】把這瓶洗手液看作單位“1”，用單位“1”減去第一周和第二周用了這瓶洗手液的分率，即求出剩下這瓶洗手液的幾分之幾。【詳解】1－－＝－＝答：還剩下這瓶洗手液的。【點睛】本題考查異分母分?jǐn)?shù)減去，明確其計算方法是解題的關(guān)鍵。【易錯五】笑笑做語文作業(yè)用了小時，做數(shù)學(xué)作業(yè)用了小時，她做兩種作業(yè)一共用了多少小時？【分析】做語文作業(yè)的時間加上做數(shù)學(xué)作業(yè)用的時間，即可求出她做兩種作業(yè)一共用了多少小時。【解答】解：（小時）答：她做兩種作業(yè)一共用了小時。【點評】此題考查了分?jǐn)?shù)加法的計算方法，要熟練掌握。     一、選擇題1．計算時，我們應(yīng)先通分，就是讓這兩個分?jǐn)?shù)（    ）。A．大小相等 B．分?jǐn)?shù)單位相同 C．分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)相同 D．分子相等2．一根繩剪成兩段，第一段長米，第二段占全長的，所以（    ）。A．第一段長 B．第二段長 C．兩段一樣長 D．無法比較3．一根繩子，剪去了，還剩（    ）。A．3米 B．米 C．4．小冬、小芳、小紅三人一起吃一袋草莓，小芳吃了這袋草莓的，小冬吃了千克，其余都是小紅吃的。三個人中，（    ）吃得最多。A．小冬 B．小芳 C．小紅5．如果a＋＝b＋＝c＋＝d＋，那么在a、b、c、d中，最大的數(shù)是（    ）。A．a B．b C．c D．d6．下面各圖中的圓表示“1”，則的和最接近圖（    ）中的陰影部分。A． B． C． D．7．，那么與的關(guān)系是（    ）。A． B． C．8．如果最簡分?jǐn)?shù)，那么A＋B的值是（    ）。A．9 B．8 C．7 D．5二、填空題9．一盒巧克力餅干，淘淘吃了，還剩這盒餅干的(        )。10．與都是假分?jǐn)?shù)，且A是一個質(zhì)數(shù)，則這里的A表示數(shù)字(        )；其中再添上(        )個這樣的分?jǐn)?shù)單位就等于最小的合數(shù)。11．小剛家七月份用水比六月份節(jié)約，這里是把(        )的用水量看作單位“1”，七月份用水量是六月份用水量的(        )。12．一袋化肥第一次用去，第二次用去，兩次共用去這袋化肥的(      )。13．分?jǐn)?shù)的表示經(jīng)歷了漫長的過程。3000多年前，古埃及人用分子是1、分母是某一自然數(shù)（0、1除外）的分?jǐn)?shù)（即幾分之一）作為分?jǐn)?shù)單位，并用它們的和表示其他分?jǐn)?shù)（除外）。例如，用“”表示。根據(jù)古埃及人的這種方法，可以表示成“__________________”。14．一根鐵絲長2m，如果用去，還剩；如果用去，還剩這根鐵絲的。15．如圖數(shù)軸上的A點用分?jǐn)?shù)表示是(          )，再添上(          )個這樣的分?jǐn)?shù)單位是最小質(zhì)數(shù)。16．和都是自然數(shù)，并且滿足，則________。三、判斷題17．一根繩子剪掉米，剪掉的長度一定比剩下的長度小。(      )18．16kg增加kg后是kg。(        )19．一塊蛋糕，我吃了，表妹吃了。(        )20．。(        )四、計算題21．直接寫出得數(shù)。                        22．我會算。                                                           五、解答題23．修路隊修一條路，第一天修了千米，第二天修了千米。（1）兩天一共修了多少千米？（2）第一天比第二天少修多少千米？   24．修一條路，修路隊第二天修路千米，比第一天少修千米，兩天一共修了多少千米？   25．一根繩子，第一次剪去米，第二次比第一次多剪去米，這根繩子還剩25米，這根繩子原來有多少米？   26．一袋餅干重千克，比另一袋輕0.875千克，這兩袋餅干共重多少千克？   27．學(xué)校買來48盆花，其中月季花占總數(shù)的，杜鵑花占總數(shù)的，其余是菊花。買來的菊花占總數(shù)的幾分之幾？買來的杜鵑花有多少盆？   28．有紅黃藍三條絲帶。紅絲帶比黃絲帶長米，藍絲帶比黃絲帶短米。紅絲帶與藍絲帶相差多少米？   29．一個三角形的周長是1米，量得三角形的一邊是米，另一邊是米，第三條邊長多少米？根據(jù)邊的長度，可知這是一個什么三角形？   30．下面是陳月每天8：00~16：00的活動安排表。時間8：00~10：0010：00~11：3011：30~12：3012：30~13：0013：00~15：0015：00~16：00項目線上學(xué)習(xí)體育鍛煉午餐午休練琴課外閱讀占每天活動安排的幾分之幾  （    ）（    ）（1）陳月每天完成上面的各項活動共需（    ）小時。（2）把上面的表格補充完整。（3）線上學(xué)習(xí)和課外閱讀所用的時間一共占每天活動安排的幾分之幾？           參考答案1．B【分析】異分母分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位不同，所以不能直接相加減，異分母分?jǐn)?shù)相加減計算時要先進行通分化為同分母分?jǐn)?shù)后再進行加減。據(jù)此解答。【詳解】根據(jù)分析得，計算時，我們應(yīng)先通分，就是讓這兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位相同。故答案為：B【點睛】此題主要考查對異分母分?jǐn)?shù)加減計算法則的理解。2．B【分析】將這根繩子的長度當(dāng)作單位“1”，第二段占長的，則第一段占全長的1－＝，＞，所以第二段長，據(jù)此選擇。【詳解】第一段占全長的：1－＝＞所以第二段長。故答案為：B【點睛】根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義進行分析是完成本題的關(guān)鍵，“第一段長米”在本題中屬多余條件。3．C【分析】將這根繩子的長度看作單位“1”，剪去了，是剪去了全長的，1－剪去全長的幾分之幾＝還剩全長的幾分之幾，據(jù)此列式計算。【詳解】1－＝一根繩子，剪去了，還剩。故答案為：C【點睛】這是一道基本的簡單應(yīng)用題，數(shù)量少，等量關(guān)系簡單，一步即可解決問題；注意本題的分?jǐn)?shù)表示單位“1”的幾分之幾，不能帶單位。4．B【分析】這袋草莓的總量看作單位“1”，小芳吃了這袋草莓的，剩下這袋草莓的1－＝，是小冬和小紅一起吃的，所以無論這袋草莓有多少千克，小芳都是吃的最多的，據(jù)此選擇即可。【詳解】由分析可知：1－＝＞所以三個人中，小芳吃得最多。故答案為：B【點睛】明確進行解答此類比較的問題一定要注意分率和具體量的區(qū)別，因這袋草莓具體重量不確定，所以從分率角度進行比較即可。5．A【分析】用假設(shè)取值的方法，令a＋＝b＋＝c＋＝d＋＝1，分別求出a、b、c、d的值，再比較a、b、c、d的大小即可。【詳解】假設(shè)a＋＝b＋＝c＋＝d＋＝1，求得a＝，b＝，c＝，d＝，因為＞＞＞，所以a＞b＞c＞d，故答案為：A【點睛】解決此題也可以比較、、、的大小，哪個數(shù)最小，相應(yīng)的另一個加數(shù)就越大。6．C【分析】此題可以借用進行巧算，因為＝＋＋＋＋，因為＞，＞，＞，＞，所以＞，則陰影部分的面積占整個圖形的分率應(yīng)該大于。據(jù)此選擇即可。【詳解】A．此圖陰影部分的面積占整圖的，不符合題意；B．此圖陰影部分的面積占整圖的分率小于，不符合題意；C．此圖陰影部分的面積占整圖的分率大于，符合題意；D．此圖陰影部分的面積占整圖的分率小于，不符合題意。故答案為：C【點睛】本題考查異分母加法，利用進行巧算可幫助快速解題。7．B【分析】根據(jù)和一定，一個數(shù)加的數(shù)越大其本身越小，進行分析。【詳解】＞，所以。故答案為：B【點睛】關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)加法的計算方法。8．B【分析】根據(jù)異分母分?jǐn)?shù)加減法的計算方法可知，將最簡分?jǐn)?shù)和通分成分母是8和12的最小公倍數(shù)的分?jǐn)?shù)，即，，則，因為2B是偶數(shù)，19是奇數(shù)，根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的運算性質(zhì)，可得3A是奇數(shù)，且是3的倍數(shù)，所以19＝3＋16，19＝9＋10，因為和是最簡分?jǐn)?shù)，所以只有19＝9＋10符合，則3A＝9，2B＝10，據(jù)此求出A和B各是多少，再相加即可。【詳解】3A＋2B＝19若19＝3＋16則3A＝32B＝16所以A＝1B＝8因為不是最簡分?jǐn)?shù)，所以A和B結(jié)果不符合。若19＝9＋10則3A＝92B＝10所以A＝3B＝5因為和是最簡分?jǐn)?shù)，所以A和B結(jié)果符合。3＋5＝8所以A＋B的值是8。故答案為：B【點睛】本題主要考查異分母分?jǐn)?shù)加減法的計算方法，以及奇數(shù)和偶數(shù)的運算性質(zhì)、最簡分?jǐn)?shù)的定義。9．【分析】把這盒巧克力餅干看作單位“1”，吃了其中的，用1減去吃了的占這盒巧克力餅干的分率，即可求出還剩下這盒餅干的幾分之幾。【詳解】1－＝即還剩下這盒餅干的。【點睛】此題的解題關(guān)鍵是弄清求的是分率還是具體數(shù)量，通過確定單位“1”，利用分?jǐn)?shù)減法求出結(jié)果。10．     7     17【分析】分子大于或等于分母的分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)；質(zhì)數(shù)是指除了1和它本身的兩個因數(shù)以外再沒有其他的因數(shù)。可得6≤A≤10，所以A＝6、7、8、9、10，A是質(zhì)數(shù)，即可求出A的值是7。把單位“1”平均分成若干份取其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。最小的合數(shù)是4，把4通分成分母是6的分?jǐn)?shù)，用減去，得到的分?jǐn)?shù)的分子是多少，即需要添上多少個這樣的分?jǐn)?shù)單位等于最小的合數(shù)。【詳解】根據(jù)分析得，6≤A≤10，A＝6、7、8、9、10，因為A是一個質(zhì)數(shù)，所以A＝7。最小的合數(shù)是4，4－＝－＝分子是17，即要添上17個這樣的分?jǐn)?shù)單位就等于最小的合數(shù)。【點睛】此題的解題關(guān)鍵是理解掌握假分?jǐn)?shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及分?jǐn)?shù)單位的定義。11．     六月份     【分析】根據(jù)判斷單位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相當(dāng)于”后面的量看作單位“1”，即分?jǐn)?shù)“的”字前面的量看作單位“1”，小剛家七月份用水比六月份節(jié)約，這里是把六月份的用水量看作單位“1”，七月份用水量是六月份用水量的（1－），據(jù)此解答。【詳解】1－＝小剛家七月份用水比六月份節(jié)約，這里是把六月份的用水量看作單位“1”，七月份用水量是六月份用水量的。【點睛】此題主要考查單位“1”的認識和確定，誰的幾分之幾，誰就是單位“1”的量。12． 【分析】根據(jù)加法的意義，用第一次用去化肥的分率加上第二次用去化肥的分率，即是兩次共用去這袋化肥的幾分之幾。【詳解】 兩次共用去這袋化肥的。【點睛】本題考查異分母分?jǐn)?shù)加法的計算及應(yīng)用，掌握異分母分?jǐn)?shù)加法的計算法則是解題的關(guān)鍵。13．或【分析】根據(jù)列乘法算式找一個數(shù)的因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個因數(shù)就是這個數(shù)的因數(shù)。據(jù)此寫出24的所有因數(shù)，再把這些因數(shù)都變成分子是1的真分?jǐn)?shù)，兩個分?jǐn)?shù)相加的和等于的即可滿足題意。【詳解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×624的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24。4變成，24變成，。6變成，8變成，。【點睛】本題的解題關(guān)鍵是利用找一個數(shù)的因數(shù)的方法，根據(jù)分?jǐn)?shù)單位的意義以及分?jǐn)?shù)加法的計算法則求解。14．； 【分析】鐵絲長度－用去的長度＝剩下的長度；將鐵絲長度看作單位“1”，1－用去鐵絲的幾分之幾＝還剩這根鐵絲的幾分之幾，據(jù)此分析。【詳解】2－＝（m）1－＝【點睛】分?jǐn)?shù)既可以表示具體數(shù)量，也可以表示數(shù)量關(guān)系。異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分再計算。15．          6【分析】把1個單位長度平均分成5份，每份用分?jǐn)?shù)表示，則從圖示可以看出A點分?jǐn)?shù)表示為，最小的質(zhì)數(shù)是2，用2減去原分?jǐn)?shù)的結(jié)果，再看有幾個分?jǐn)?shù)單位即可解答。【詳解】2－＝則數(shù)軸上的A點用分?jǐn)?shù)表示是，再添上6個它的分?jǐn)?shù)單位是最小的質(zhì)數(shù)。【點睛】此題主要考查分?jǐn)?shù)的單位及質(zhì)數(shù)的定義。知道最小的質(zhì)數(shù)是2是解答本題的關(guān)鍵。16．3【分析】觀察算式，是異分母分?jǐn)?shù)加法，先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)的加法進行計算。由此得出和的關(guān)系式，再根據(jù)和都是自然數(shù)，分情況討論和的值，進而求出的值。【詳解】則①當(dāng)時解：不符合“和都是自然數(shù)”的要求。②當(dāng)時解：符合“和都是自然數(shù)”的要求。所以，，。。【點睛】先根據(jù)異分母分?jǐn)?shù)加法的計算法則，找出和的關(guān)系，再分情況討論它們的取值。17．×【分析】根據(jù)題意，可以設(shè)這根繩子的長度分別為1米、米、米進行討論；根據(jù)減法的意義，用繩子的全長減去剪掉的長度，求出剩下的長度，再與剪掉的長度相比較，得出結(jié)論。【詳解】（1）假設(shè)這根繩子長1米；剩下：1－＝（米）＜剪掉的長度比剩下的長度小。（2）假設(shè)這根繩子長米；剩下：－＝（米）＝剪掉的長度與剩下的長度一樣長。（3）假設(shè)這根繩子長米；剩下：－＝－＝（米）＞剪掉的長度比剩下的長度大。綜上所述，由于這根繩子的長度不確定，無法確定剩下的長度，所以剪掉的長度與剩下的長度無法比較大小。原題說法錯誤。故答案為：×【點睛】運用賦值法，分情況討論，根據(jù)減法的意義求出繩子剩下的長度，再比較大小。18．√【分析】根據(jù)加法的意義，用16kg加上kg即可。【詳解】16＋＝（kg）16kg增加kg后是kg。原題說法正確。故答案為：√【點睛】關(guān)鍵是明白kg是一個具體的量，所以直接用加法解答。19．×【分析】把這塊蛋糕看作單位“1”，我吃了，則表妹吃了（1－），據(jù)此判斷即可。【詳解】則我吃了，表妹吃了。所以原題說法錯誤。故答案為：×【點睛】本題考查同分母分?jǐn)?shù)減法，明確單位“1”是解題的關(guān)鍵。20．× 【分析】對進行分析，利用分?jǐn)?shù)裂項將這個算式進行化簡，結(jié)果為，所以原式=。【詳解】由分析可得的結(jié)果為，所以可得得到的結(jié)果為。故答案為：×【點睛】通過分?jǐn)?shù)裂項進行化簡，找到其中的規(guī)律即可得到答案。21．；；；；；1；【詳解】略22．；；； ；；；【詳解】略23．（1）千米；（2）千米【分析】（1）將兩天修路的長度相加即可求解；（2）將第二天修的長度減去第一天修的長度，即可求解。【詳解】（1）（千米）答：兩天一共修了千米。（2）（千米）答：第一天比第二天少修千米。【點睛】此題主要考查了同分母分?jǐn)?shù)加減法的實際運用。24．1千米【分析】已知第二天比第一天少修千米，用＋求出第一天修的長度，再用第一天修的長度加上第二天修的長度，據(jù)此解答即可。【詳解】＋＋＝＋＋＝＋＝1（千米）答：兩天一共修了1千米。【點睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)加法的實際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計算方法是解決本題的關(guān)鍵。25．米【分析】第二次剪去的長度＝第一次剪去的長度＋米，這根繩子原來的長度＝第一次剪去的長度＋第二次剪去的長度＋剩下繩子的長度，據(jù)此解答。【詳解】＋＋＋25＝＋25＝＋25＝（米）答：這根繩子原來有米。【點睛】同分母分?jǐn)?shù)相加減時，分母不變，分子相加減。26．千克【分析】根據(jù)加法的意義，另一瓶重＋0.875千克，然后將這兩袋餅干的重量相加，即得這兩袋餅干共重多少千克。【詳解】（千克）答：這兩袋餅干共重千克。【點睛】本題考查了學(xué)生完成簡單的分?jǐn)?shù)加法應(yīng)用題的能力。27．；18盆【分析】把買來的花看作單位“1”，減去月季花占總數(shù)的幾分之幾，再減去杜鵑花占總數(shù)的幾分之幾，即等于菊花占總數(shù)的幾分之幾；除法求一個數(shù)的幾分之幾，也就是用這個數(shù)除以分母，再乘分子即可。【詳解】1－－＝－＝－＝48÷8×3＝6×3＝18（盆）答：買來的菊花占總數(shù)的；買來的杜鵑花有18盆。【點睛】本題主要考查學(xué)生對分?jǐn)?shù)加減及用除法求一個數(shù)的幾分之幾是多少方法的掌握。28．米【分析】以黃絲帶為中間量，藍絲帶比它短米，紅絲帶比它長米，則用加上即可求出紅絲帶與藍絲帶相差多少米。【詳解】＋＝（米）答：紅絲帶與藍絲帶相差米。【點睛】本題分?jǐn)?shù)加法，明確異分母分?jǐn)?shù)加法的計算方法是解題的關(guān)鍵。29．米；等腰三角形【分析】用三角形的周長減去其中兩個邊的長度，求出第三邊的長度。兩個邊相等的三角形，是等腰三角形。【詳解】1－－＝（米）米＝米答：第三邊長米，這是一個等腰三角形。【點睛】本題考查了三角形的周長和分類，三邊之和為周長，兩邊相等的三角形是等腰三角形。30．（1）8；（2）；；（3）【分析】（1）求每天完成各項活動共需要的時間，根據(jù)公式：所需時間＝結(jié)束時間－開始時間，即可解答；（2）求每項活動占每天活動安排的幾分之幾，用除法計算，用練琴和課外閱讀的所用時間分別除以總時間，據(jù)此解答；（3）用線上學(xué)習(xí)的時間占每天活動安排的幾分之幾加上課外閱讀的時間占每天活動安排的幾分之幾，即可解答。【詳解】（1）活動時間從8時開始，在16時結(jié)束，所以陳月每天完成各項活動共需的時間為：16－8＝8（小時）（2）練琴：（15－13）÷8＝2÷8＝課外閱讀：（16－15）÷8＝1÷8＝時間8：00~10：0010：00~11：3011：30~12：3012：30~13：0013：00~15：0015：00~16：00項目線上學(xué)習(xí)體育鍛煉午餐午休練琴課外閱讀占每天活動安排的幾分之幾  （    ）（    ）（3）＋＝答：線上學(xué)習(xí)和課外閱讀所用的時間一共占每天活動安排的。【點睛】此題考查了根據(jù)統(tǒng)計表信息解答問題，關(guān)鍵是求出總時間后，掌握求一個數(shù)占另一個數(shù)的幾分幾用除法計算的方法。

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小學(xué)數(shù)學(xué)人教版（2024）五年級下冊電子課本

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