第01講 向量共線與基本定理【必備方法結論】共線向量定理:對空間任意兩個向量與共線的充要條件是存在唯一實數(shù),使. 共線向量定理的應用:若點,,互不重合,是,,三點所在平面上的任意一點,且滿足,則,,三點共線.在中,是上的點,如果,則,其中,,知二可求一.如果是邊上的中線,則. 共線向量的坐標表示:設,其中.向量共線的充要條件是存在唯一的實數(shù),使得.用坐標表示為,即消去,得.這就是說,向量 共線的充要條件是. 平面向量基本定理如果是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量,有且只有一對實數(shù), 使.若不共線,我們把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.  【典例剖析】類型一:定理法解決向量共線問題1．已知、是平面上的兩個不共線向量，向量，，若，則實數(shù)（       ）A． B． C． D．2．已知，是兩個不共線的平面向量，向量，，若，則有（       ）A． B． C． D． 3．已知，是不共線的向量，，，，若三點共線，則實數(shù)λ，μ滿足（       ）A． B． C． D． 4．(1)已知向量不共線,若,,,試證:三點共線.(2)設是兩個不共線向量,已知,,,若三點共線,求的值.         類型二:坐標公式法解決向量共線問題1．已知向量，則“”是“”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2．已知、，且、、三點共線，則點的坐標可以是（       ）A． B．C． D．3．已知向量，，.(1)求與共線的單位向量；(2)求滿足的實數(shù)m，n的值；(3)若，求實數(shù)k的值.     4．已知向量，，，．(1)求；(2)是否存在實數(shù)，，使得；(3)若，求實數(shù)的值．(4)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍．       類型三:巧用結論法解決向量共線問題1．如圖，中，點M是BC的中點，點N滿足，AM與CN交于點D，，則（       ）A． B． C． D． 2．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（       ）A． B． C． D． 3．在平行四邊形中，，分別為，上的點，連接，交于點，已知且，若，則實數(shù)的值為（       ）A． B． C． D． 4．如圖所示，△中，，，.線段相交于點.(1)用向量與表示及；(2)若，試求實數(shù)的值.     類型四:基底法解決向量基本定理問題1．如圖所示，矩形的對角線相交于點，點在線段上且，若，則（       ）A． B． C．1 D． 2．如圖，在中，點M是上的點且滿足，是上的點，且，設，則（       ）A． B．C． D． 3．若是平面內的一個基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（       ）A．， B．，C．， D．， 4．在中，是的中點，是的中點，過點作一直線分別與邊，交于，，若，，則（       ）A． B．C． D． 5．已知平行四邊形中，若，，，則等于（       ）A． B． C．1 D．  類型五:坐標方程解決向量基本定理問題1．如圖，在同一個平面內，向量，，的模分別為1，1，，，與的夾角為45°.若 ，則（       ）A．2 B． C． D． 2．已知為的垂心，且，則角A的值為（       ）A． B．C． D．3．如圖，在矩形中，為上一點，，若，則的值為（       ）A． B． C． D．1 4．原點O是內一點，頂點A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，則＝（       ）A．－ B．C．－ D．             【過關檢測】一、單選題1．已知 是不共線向量，則下列各組向量中是共線向量的有（　?。?/span>①；②；③ A．①② B．①③C．②③ D．①②③ 2．如圖，中，點M是BC的中點，點N滿足，AM與CN交于點D，，則（       ）A． B． C． D． 3．如圖，在梯形中，且，，，與交于點O，則（       ） A． B．C． D． 4．如圖所示，四邊形中，，，點、、分別為、、的中點，則向量可以表示為A． B．C． D． 5．如圖，已知，，，，，若，則（       ）A． B． C． D． 6．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，則（       ）A． B． C． D．2 二、填空題7．設是平面內兩個不共線的向量，，，，．若A、、三點共線，則的最小值是____. 8．已知向量，若，則______. 9．在中，，分別為邊，上的點，，，與交于點，設，，則___________.（用，表示） 三、解答題10．設兩個非零向量與不共線．（1）試證：起點相同的三個向量，，3﹣2的終點在同一條直線上；（2）求實數(shù)k，使得k+與2+k共線．   11．如圖所示，中，，，為的中點，為上的一點，且，的延長線與的交點為. (1)用向量，表示；(2)用向量，表示，并求出和的值.    12．如圖所示，在中，，，與相交于點，設，.（1）試用向量，表示；（2）過點作直線，分別交線段，于點，.記，，求的值.
 

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