（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的．
3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．
5．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
7．向量的夾角：對(duì)于非零向量a和b，在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O，做=a，=b，叫做向量a與b的夾角.
當(dāng)時(shí)，a與b同向
當(dāng)是，a與b反向
當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)a與b垂直，記作a⊥b
（二）向量的線性運(yùn)算
1．向量的加法
（1）三角形法則（圖甲）：強(qiáng)調(diào)向量“首尾相接”
（2）平行四邊形法則（圖乙）：強(qiáng)調(diào)“共起點(diǎn)”
（3）向量加法的運(yùn)算律
= 1 \* GB3 ①交換律
= 2 \* GB3 ②結(jié)合律
【點(diǎn)撥】 = 1 \* GB3 ①已知n個(gè)向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這n個(gè)向量的和，這稱(chēng)為向量求和的多邊形法則．
= 2 \* GB3 ②首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0．
2. 向量減法
【點(diǎn)撥】 = 1 \* GB3 ①向量減法的三角形法則中，eq \(BA,\s\up6(→))表示a－b，強(qiáng)調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以簡(jiǎn)記為“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)指向被減”．
= 2 \* GB3 ②如圖，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b.
3. 向量的數(shù)乘
（1）
（2）幾何意義：λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小|λ|倍．
（3）運(yùn)算律
設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則
(1)λ(μa)＝ (λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)．
特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
【點(diǎn)撥】對(duì)于非零向量a，當(dāng)λ＝eq \f(1,|a|)時(shí)，λa表示a方向上的單位向量．
4. 向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
（三）向量共線定理
1. 向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
【點(diǎn)撥】 = 1 \* GB3 ①定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．
= 2 \* GB3 ②定理的另種形式：若存在不全為0的一對(duì)實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb＝0，則a與b共線；若兩個(gè)非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0，則必有t＝s＝0．
2.平面向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用
（四）向量的數(shù)量積
1．平面向量的數(shù)量積
2．兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a、b都是非零向量，
(1)a⊥b?a·b＝0．
(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(3)|a·b|≤|a||b|．
3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ．
(1)交換律：a·b＝b·a．
(2)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
題型一 向量的有關(guān)概念
【典例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；
②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；
③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；
④若，則，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】對(duì)于①，根據(jù)共線向量的定義，由向量為自由向量，可得答案；
對(duì)于②，由零向量的定義和性質(zhì)，可得答案；
對(duì)于③，根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得答案；
對(duì)于④，根據(jù)模長(zhǎng)的定義，可知方向不確定，可得答案.
【詳解】①錯(cuò)誤，平行向量又叫共線向量，向量與是共線向量，則與平行或共線；
②錯(cuò)誤，與至少有一個(gè)為零向量時(shí)，結(jié)論不成立；由向量的夾角可知③正確；
④錯(cuò)誤，由，只能說(shuō)明，的長(zhǎng)度相等，確定不了方向.
故選：B.
【典例2】【多選題】（2022·高一單元測(cè)試）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若為單位向量，則B．若與共線，則或
C．若，則D．是與非零向量共線的單位向量
【答案】CD
【分析】根據(jù)向量的基本概念，以及零向量和單位向量的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，向量的方向不一定相同，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，向量與的長(zhǎng)度不一定相等，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，由，根據(jù)零向量的定義，可得，所以C正確；
對(duì)于D中，由，可得與向量同向，
又由的模等于，所以是與非零向量共線的單位向量，所以D正確.
故選：CD.
【易錯(cuò)提醒】
有關(guān)平面向量概念的注意點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．
(4)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大?。?br>(5)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．
題型二 向量的線性運(yùn)算
【典例3】（2021春·江蘇鎮(zhèn)江·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)， 則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量線性運(yùn)算的幾何意義即可計(jì)算
【詳解】.
故選：B
【典例4】（2023·高一單元測(cè)試）已知，若記，則______．
【答案】
【分析】由向量的線性運(yùn)算，求解的值.
【詳解】，
∴，
則有，
∴.
故答案為：
【規(guī)律方法】
1.關(guān)于向量的線性運(yùn)算的考查，命題角度主要有兩個(gè)：一是向量的線性運(yùn)算，二是利用向量線性運(yùn)算求參數(shù).解題過(guò)程中應(yīng)注意：
①常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．
②找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．
2.向量的線性運(yùn)算技巧
(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．
(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．
3．利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路
(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置．
(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．
(3)比較、觀察可知所求．
題型三 向量共線定理及其應(yīng)用
【典例5】（2023秋·北京房山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，不共線，且，，．
(1)將用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．
【答案】(1)；
(2)；
(3)詳見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)向量的減法運(yùn)算即得；
（2）根據(jù)向量共線定理可得，進(jìn)而可得，即得；
（3）由題可得，然后根據(jù)向量共線定理結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以；
（2）因?yàn)?，，?br>所以，即，又向量，不共線，
所以，解得，
即的值為；
（3）當(dāng)時(shí)， ，，，
所以，
所以，又有公共點(diǎn)，
所以A，B，C三點(diǎn)共線．
【典例6】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是不共線的兩個(gè)向量．
(1)若，求證：三點(diǎn)共線；
(2)若與共線，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2).
【分析】（1）要證明三點(diǎn)共線，即證明三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可.
（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.
【詳解】（1）證明:因?yàn)椋?br>而
所以，
所以與共線，且有公共點(diǎn)，
所以三點(diǎn)共線
（2）因?yàn)榕c共線
所以存在實(shí)數(shù)，使得，
因?yàn)榕c不共線，
所以，
解得，.
【規(guī)律方法】
求解向量共線問(wèn)題的注意事項(xiàng)
(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．
(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線．
題型四 單位向量的應(yīng)用
【典例7】（2022春·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）若為非零向量，則“”是“共線”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】表示與同向的單位向量，共線可能同向共線、也可能反向共線，再由充分性、必要性的定義可求出答案.
【詳解】依題意為非零向量， 表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，
則表示與同向的單位向量，所以能推出共線，所以充分性成立；
共線可能同向共線、也可能反向共線，所以共線得不出，所以必要性不成立.
故選：B.
【典例8】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知O為平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D滿足：，則點(diǎn)D一定在的______線所在直線上．
【答案】角A的平分
【分析】根據(jù)分別表示平行于的單位向量，平分求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
而分別表示平行于的單位向量，
所以平分，即平分，
所以點(diǎn)D一定在的角A的平分線所在直線上，
故答案為：角A的平分
【規(guī)律方法】
非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量，－eq \f(a,|a|)是與a反方向的單位向量．
題型五 向量的數(shù)量積
【典例9】（2023·高一單元測(cè)試）在中，分別為的中點(diǎn)，則__________.
【答案】－4
【分析】由向量的線性運(yùn)算得，，然后計(jì)算數(shù)量積可得．
【詳解】由已知，，
．
故答案為：．
【典例10】（2022春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（為圓心），（為銳角），點(diǎn)C為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段AC交線段于點(diǎn)M（點(diǎn)M異于點(diǎn)、B）
(1)求（結(jié)果用表示）；
(2)若
①求的取值范圍；
②設(shè)，記，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積，得解；
（2）①設(shè)，，化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解；
②設(shè)，由，結(jié)合，推出，再利用分離常數(shù)法和基本不等式，得解．
【詳解】（1）解：；
（2）解：①設(shè)，，
則，
，，
又，則.
②設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>化簡(jiǎn)得，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為．
【總結(jié)提升】
求向量的數(shù)量積的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
（1）求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和夾角．
（2）若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
題型六 向量的投影
【典例11】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，求在上的投影向量．
【答案】
【分析】利用投影向量公式與向量的數(shù)量積運(yùn)算法則即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以在上的投影向量為.
【規(guī)律方法】
求一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影向量時(shí)，首先要根據(jù)題意確定向量的模及兩向量的夾角，然后代入公式計(jì)算即可．
題型七 向量的數(shù)量積與模的問(wèn)題
【典例12】（2023春·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，，，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算結(jié)合菱形的性質(zhì)及角度，求出模長(zhǎng)即可
【詳解】如圖所示，設(shè)菱形對(duì)角線交點(diǎn)為O,．
因?yàn)?，所以?br>所以為等邊三角形．
又，，
所以．
在中，，
所以．
故答案為:
【典例13】（2022春·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知為平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量，且他們夾角等于，若存在使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合已知得出，參變分離根據(jù)二次函數(shù)值域得到，通過(guò)題意得出，即可得出答案.
【詳解】為平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量，且他們夾角等于，
，
，
則，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：.
【總結(jié)提升】
利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度（模）問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，此類(lèi)問(wèn)題的處理方法是：
(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2) ．
題型八 向量的數(shù)量積與夾角問(wèn)題
【典例14】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知，均為單位向量，，則與的夾角為（ ）
A．30°B．45°C．135°D．150°
【答案】A
【分析】根據(jù)，求得，再利用向量夾角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
設(shè)與的夾角為θ，則
又因?yàn)?°≤θ≤180°，所以θ＝30°．
故選：A.
【典例15】（2023春·安徽安慶·高一安慶一中校考階段練習(xí)）已知，，.
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接展開(kāi)，代入即可求解；
（2）先分別求出，再直接代入向量夾角公式即可求解.
【詳解】（1）依題意，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)閨，所以，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>，
所以.
令與的夾角為θ，
則，
所以向量與夾角的余弦值是.
【總結(jié)提升】
1.應(yīng)用向量夾角公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，要注意涉及到了向量運(yùn)算和數(shù)量運(yùn)算．
2. 注意應(yīng)用a⊥b?a·b＝0．
一、單選題
1．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且，，則等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)，可得，進(jìn)一步得出答案.
【詳解】如圖，連接AC，
由，得.
因?yàn)闉榘雸A上的點(diǎn)，所以，
所以．
故選：A.
2.（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）下列五個(gè)結(jié)論：
①溫度有零上和零下之分，所以溫度是向量；
②向量，則與的方向必不相同；
③，則；
④向量是單位向量，向量也是單位向量，則向量與向量共線；
⑤方向?yàn)楸逼鞯南蛄颗c方向?yàn)闁|偏南的向量一定是平行向量．
其中正確的有（ ）
A．①⑤B．④C．⑤D．②④
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷①；根據(jù)不相等向量的定義即可判斷②；根據(jù)向量不能比較大小即可判斷③；根據(jù)共線向量的定義即可判斷④⑤.
【詳解】溫度雖有大小卻無(wú)方向，故不是向量，故①錯(cuò)；
，但與的方向可以相同，故②錯(cuò)；
向量的長(zhǎng)度可以比較大小，但向量不能比較大小，故③錯(cuò)；
單位向量只要求長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度，但方向未確定，故④錯(cuò)；
如圖，作出這兩個(gè)向量，
則方向?yàn)楸逼鞯南蛄颗c方向?yàn)闁|偏南的向量方向相反，
所以這兩個(gè)向量一定是平行向量，故⑤正確．
故選：C.
3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，，則等于（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用三角形法則與平行四邊形法則表示向量.
【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，，
所以，
所以.
故選：D.
4．（2022春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是非零向量，分別是的單位向量，則下列各式中正確的是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)相等向量的定義，結(jié)合單位向量的定義逐一判斷即可.
【詳解】?jī)蓚€(gè)向量模相等，但是方向也可能不同，所以選項(xiàng)AB不正確；
題中沒(méi)有明確向量模的大小關(guān)系，所以選項(xiàng)C不正確；
因?yàn)榉謩e是的單位向量，所以，
故選：D
5．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若,|,的夾角為,則等于( ).
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，的夾角為，
所以.
故選:B.
6．（2023秋·江蘇無(wú)錫·高一無(wú)錫市第一中學(xué)校考期末）若非零向量、滿足，且，則向量、的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)向量、的夾角為，由已知可得出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值.
【詳解】設(shè)向量、的夾角為，由題意，，
又因?yàn)?，因此?
故選：B.
7．（2023春·安徽安慶·高一安慶一中?？茧A段練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]
C．[1，＋1]D．[1，＋2]
【答案】A
【分析】將兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式即可求解.
【詳解】∵是單位向量，∴.
∵
且.
∴，又∵，
∴ (θ是與的夾角)．
又－1≤csθ≤1，
∴，
∴.
根據(jù)一元二次不等式的解法，
解得.
故選：A.
8．（2023秋·云南·高一云南師大附中校考期末）在正三角形△ABC中，，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題可知，向量，的夾角為150°，再由平面向量數(shù)量積的定義即可得出答案.
【詳解】由題知，，，向量，的夾角為150°，
所以.
故選：A．
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示為
B．若，則與的夾角θ的范圍是
C．若是等邊三角形，則，的夾角為
D．若，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)投影向量的定義即可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷B；根據(jù)向量夾角的定義即可判斷C，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)投影向量的定義可得向量在向量上的投影向量為，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋裕?br>又，所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，若是等邊三角形，則，的夾角為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以或或，故D錯(cuò)誤．
故選：AB.
10．（2023秋·云南·高一云南師大附中校考期末）設(shè)，是互相垂直的單位向量，，，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若點(diǎn)C在線段AB上，則
B．若，則
C．當(dāng)時(shí)，與共線的單位向量是
D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為
【答案】ABD
【分析】對(duì)A：根據(jù)向量共線分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)向量垂直運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)單位向量分析運(yùn)算；對(duì)D：根據(jù)投影向量分析運(yùn)算.
【詳解】由題意可得：，
對(duì)A：若點(diǎn)C在線段AB上，則，則，
可得，解得或（舍去），故A正確；
對(duì)B：由，可得，
解得，故B正確；
對(duì)C：當(dāng)時(shí)，則，
與共線的單位向量是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：當(dāng)時(shí)，可得，
則在上的投影向量為，故D正確.
故選：ABD．
三、填空題
11．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知A、B、C是不共線的三點(diǎn)，向量與向量是平行向量，與是共線向量，則＝________.
【答案】
【分析】依據(jù)向量共線的定義及零向量定義即可求得向量.
【詳解】向量與向量是平行向量，則向量與向量方向相同或相反；
向量與是共線向量，則向量與向量方向相同或相反，
又由A、B、C是不共線的三點(diǎn)，可知向量與向量方向不同且不共線
則＝.
故答案為：
12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，與的夾角為，是與同向的單位向量，則在方向上的投影向量為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)則在方向上的投影向量的定義可得
【詳解】在方向上的投影向量為，
故答案為：.
四、解答題
13．（2021秋·新疆喀什·高一?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：、、三點(diǎn)共線.
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】用、為一組基底表示出、，即可得到，從而得證.
【詳解】證明：設(shè)，，
由已知點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，
，
，
、、三點(diǎn)共線.
14．（2022春·河南三門(mén)峽·高一?？茧A段練習(xí)）已知，求分別在下列條件下的值.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)互相垂直的兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，結(jié)合共線向量的性質(zhì)進(jìn)行求解
【詳解】（1）
（2）因?yàn)?，所?
（3）因?yàn)?，所以與的夾角為或，
所以.
15．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，，且與夾角為，求：
(1)；
(2)與的夾角．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，求出的值，即可得出答案；
（2）先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，求出的值，即可得出的值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算得出的值.然后根據(jù)夾角公式，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由已知可得，.
所以有，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以.
又，
所以，
所以與的夾角為．
16．（2021春·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知向量，滿足：，，且．
(1)求向量與的夾角．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）向量與的夾角為，，直接利用數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義可得夾角；
（2）利用，利用數(shù)量積的運(yùn)算律展開(kāi)，然后代入向量的模和數(shù)量積計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè)向量與的夾角為，，
，
解得，
，即向量與的夾角為；
（2）由（1）得，
.
定義
一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa
長(zhǎng)度
|λa|＝|λ||a|
方向
λ>0
λa的方向與a的方向相同
λ＝0
λa＝0（零向量?。?br>λ

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