第03講向量基本定理與向量方法(分層訓(xùn)練)-2022年春季高一數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義（蘇教版2019必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

基礎(chǔ)組
一、選擇題(共8小題)
1．(2020秋?吉安期末)設(shè)e1→，e2→為平面向量的一組基底，則下面四組向量組中不能作為基底的是( )
A．e1→+e2→和e1→-e2→；B．4e1→+2e2→和2e2→-4e1→；C．2e1→+e2→和e1→+2e2→；D．e1→-2e2→和4e2→-2e1→
【答案】D．
【解析】由題意可知，e1→，e2→是不共線的兩個向量，可以判斷選項A，B，C都可以做基底，
選項D，e1→-2e2→=-12(4e2→-2e1→)，故選項D不能做基底．
2．(2020秋?咸陽期末)已知e1→，e2→，e3→是空間的一個基底，a→=e1→+e2→，b→=e1→-e2→，c→=e3→，p→=3e1→+2e2→+e3→，若p→=xa→+yb→+zc→，則x，y，z的值分別為( )
A．12，52，1；B．52，1，12；C．1，12，52；D．52，12，1
【答案】D．
【解析】p→=xa→+yb→+zc→=x(e1→+e2→)+y(e1→-e2→)+ze3→=(x+y)e1→+(x﹣y)e2→+ze3→=3e1→+2e2→+e3→，
∴x+y=3x-y=2z=1，解得x=52y=12z=1．
3．(2020秋?西城區(qū)期末)在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線AC與BD相交于點O，則AB→+CB→=( )
A．2BO→；B．2DO→；C．BD→；D．AC→
【答案】B．
【解析】在平行四邊形ABCD中，設(shè)對角線AC與BD相交于點O，
則AB→+CB→=AB→+DA→=DB→=2DO→．
4．(2020秋?秦安縣校級期末)在平行四邊形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，若E是DC的中點，則AE→=( )
A．12a→-b→；B．32a→-b→；C．-12a→+b→；D．-32a→+b→
【答案】C．
【解析】如圖所示，平行四邊形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，則AD→=BC→=AC→-AB→=b→-a→，
又E是DC的中點，則AE→=AD→+DE→=(b→-a→)+12a→=b→-12a→=-12a→+b→．
5．(2021?山東模擬)如圖所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，則|EF→|＝( )
A．175；B．666；C．676；D．375
【答案】C．
【解析】如圖，A0，0，B3，0，C1，3，則E2，32，F(xiàn)23，233，∴EF→=676．
6．(2020秋?贛州期中)在ABC中，|CA|＝1，|CB|＝2，∠ACB=23π，點M滿足CM→=CB→+2CA→，則MA→?MB→=( )
A．0；B．2；C．23；D．4
【答案】A．
【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意知，C(0，0)，B(2，0)，A(-12，32)；
∴CB→=(2，0)，CA→=(-12，32)，∴CM→=CB→+2CA→=(1，3)，∴MA→=CA→-CM→=(-32，-32)，
MB→=CB→-CM→=(1，-3)，則MA→?MB→=-32+32=0．
7．(2020?廣東二模)已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝30°，AB＝23，AD＝5，E在CB的延長線上，且AE＝BE，則AE→?DB→=( )
A．1；B．2；C．12；D．3
【答案】A．
【解析】如圖，A0，0，B23，0，D532，52，設(shè)E3，m．
由AD→∥EB→，即532，52∥3，-m，得m=-1．∴AE→?DB→=3，-1·-32，-52=1．
8．(2020?宜賓模擬)在△ABC中，點D為BC延長線上一點，且S△ABCS△ABD=23，則( )
A．AD→=43AB→-13AC→；B．AD→=32AB→-12AC→；C．AD→=-12AB→+32AC→；D．AD→=-13AB→+43AC→
【答案】C．
【解析】由題意可知，S△ABCS△ABD=23=BCBD，∴BD→=32BC→，
∴AD→=AB→+BD→=AB→+32BC→=AB→+32(AC→-AB→)=-12AB→+32AC→．
二、填空題(共4小題)
9．(2020秋?昌江區(qū)校級期末)已知正△ABC的邊長為2，BD→=4BC→，則AD→?AC→=______．
【答案】10．
【解析】由題意可得AD→?AC→=(AB→+BD→)?(AB→+BC→)
＝(AB→+4BC→)?(AB→+BC→)=AB→2+5AB→?BC→+4BC→2＝22+5×2×2×cs120°+4×22＝10．
10．(2020秋?匯川區(qū)校級月考)如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，且DC→=2DF→，則AE→?BF→的值是______．
【答案】2．
【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，AB=2，BC＝2，
可得A(0，0)，B(2，0)，E(2，1)，DC→=2DF→，
所以F(1，2)，AE→?BF→=(2，1)?(1-2，2)=2-2+2=2．
11．(2020秋?天津期末)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD=π3，點EF在CD上且滿足DE→=13DC→，DF→=23DC→，若M為AB的中點，且AF→?ME→=1，則AB的長為______．
【答案】94．
【解析】如圖，∵DE→=13DC→，DF→=23DC→，且DC→=AB→，MA→=-12AB→，
∴AF→=AD→+DF→=AD→+23AB→，ME→=MA→+AD→+DE→=-12AB→+AD→+13AB→=-16AB→+AD→，
且AD=1，∠BAD=π3，AF→?ME→=1，
∴(AD→+23AB→)?(-16AB→+AD→)=AD→2-19AB→+12AB→?AD→=1-19|AB→|2+14|AB→|=1，
解得|AB→|=94或0(舍去)，∴AB=94．
12．(2020秋?株洲月考)在直角邊長為3的等腰直角△ABC中，E、F為斜邊BC上的兩個不同的三等分點，則AE→?AF→=______．
【答案】4．
【解析】由題意，以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A(0，0)，B(3，0)，C(0，3)，由于E、F為斜邊BC上的兩個不同的三等分點，
則由題意，不妨設(shè)E(2，1)，F(xiàn)(1，2)，可得AE→=(2，1)，AF→=(1，2)，
可得AE→?AF→=2×1+1×2＝4．
三、解答題(共2小題)
13．(2020秋?東湖區(qū)校級期末)在△ABC中，若AB→=a→，AC→=b→，BD→=23BC→．
(1)用a→，b→表示AD→，BD→；
(2)若AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，求AD→?BD→的值．
【答案】(1)AD→=13a→+23b→，BD→=23(b→-a→)；(2)229．
【解析】(1)如圖，∵AB→=a→，AC→=b→，
∴BD→=23BC→=23(AC→-AB→)=23(b→-a→)，AD→=BD→-BA→=23(b→-a→)+a→=13a→+23b→；
(2)∵AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，
∴AD→?BD→=23(AC→-AB→)?(13AB→+23AC→)=49AC→2-29AB→2-29AB→?AC→=4-89-29×2×3×12=229．
14．(2019秋?大連期末)如圖，平行四邊形ABCD中，已知AE→=2EB→，BF→=3FC→，設(shè)AB→=a→，AD→=b→，
(Ⅰ)用向量a→和b→表示向量DE→，AF→；
(Ⅱ)若DO→=xDE→，AO→=yAF→，求實數(shù)x和y的值．
【答案】(1)DE→=23a→-b→，AF→=a→+34b→；(2)x=23，y=49．
【解析】(Ⅰ)由題意得，DE→=AE→-AD→=23AB→-AD→=23a→-b→，
AF→=AB→+BF→=AB→+34BC→=a→+34b→，
(Ⅱ)因為DO→=xDE→，AO→=yAF→，
所以AD→=AO→+OD→=AO→-DO→=yAF→-xDE→=ya→+34b→-x23a→-b→
=(y-23x)a→+(34y+x)b→=b→，即(y-23x)a→+(34y+x-1)b→=0→，
因為a→與b→不共線，從而y-23x=0，34y+x-1=0，解得，x=23，y=49．
提高組
一、選擇題(共8小題)
1．(2020秋?歷城區(qū)校級期中)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，且AE→=EB→，AD→=2DC→，則BD→?CE→=( )
A．﹣3；B．﹣2；C．﹣1；D．3
【答案】B．
【解析】△ABC是邊長為2的等邊三角形，且AE→=EB→，AD→=2DC→，
畫出圖形，建立平面直接坐標(biāo)系如圖：可得A(﹣1，0)，E(0，0)，B(1，0)，C(0，3)，
則D(-13，233)，則BD→?CE→=(-43，233)?(0，-3)＝﹣2．
2．(2020春?杜集區(qū)校級月考)在平行四邊形ABCD中，已知BM→=12BC→，DN→=23DC→，若AC→=λAM→+μ2AN→，則μλ=( )
A．3；B．2；C．12；D．13
【答案】A．
【解析】AM→=AB→+12BC→=AB→+12AD→，AN→=AD→+23DC→=AD→+23AB→，
∴AC→=λAM→+μ2AN→=λAB→+λ2AD→+μ2AD→+μ3AB→=(λ+μ3)AB→+(λ2+μ2)AD→，
又AC→=AB→+AD→，∴λ+μ3=1λ2+μ2=1，解得λ=12μ=32，∴μλ=3．
3．(2020秋?隨州月考)已知O是平面上一點，A、B、C是平面上不共線的三個點，點O滿足OA→?(AB→|AB→|-AC→|AC→|)=OB→?(BA→|BA→|-BC→|BC→|)＝0，則O點一定是△ABC的( )
A．外心；B．內(nèi)心；C．重心；D．垂心
【答案】B．
【解析】∵OA→?(AB→|AB→|-AC→|AC→|)＝0，∴OA→?AB→|AB→|=OA→?AC→|AC→|，∴|OA→|?|AB→||AB→|cs∠OAB=|OA→|?|AC→||AC→|cs∠OAC，
∴cs∠OAB＝cs∠OAC，又∠OAB，cs∠OAC∈(0，π)，
∴∠OAB＝∠OAC，∴點O在∠BAC的平分線上．
又OB→?(BA→|BA→|-BC→|BC→|)＝0，同理可得：點O在∠ABC的平分線上．
∴點O是△ABC的內(nèi)角平分線的交點，即為△ABC的內(nèi)心．
4．(2020秋?全國月考)在長方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點M在邊CD上運動，則MA→?MB→的最小值為( )
A．﹣1；B．0；C．1；D．3
【答案】B．
【解析】如圖，以A為原點，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則：A(0，0)，B(2，0)，又M點在CD上，設(shè)M(x，1)，x∈[0，2]，
則MA→=(-x，-1)，MB→=(2-x，-1)，
∴MA→?MB→=x2-2x+1=(x-1)2，當(dāng)x＝1時，MA→?MB→取最小值0．
5．(2020秋?徐州月考)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，點D為BC邊上一點，且D為BC邊上靠近C的三等分點，則AB→?AD→=( )
A．8；B．6；C．4；D．2
【答案】A．
【解析】如圖，∵D為BC邊上靠近C的三等分點，
∴AD→=AC→+13CB→=AC→+13(AB→-AC→)=13AB→+23AC→，且AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，
∴AB→?AD→=AB→?(13AB→+23AC→)=13AB→2+23|AB→||AC→|?cs60°=163+23×4×2×12＝8．
6．(2020秋?龍鳳區(qū)校級期中)在邊長為2的正方形ABCD中，E為CD的中點，AE交BD于F．若AF→=xAB→+3yAD→，則x+y＝( )
A．1；B．59；C．-13；D．-59
【答案】B．
【解析】解法一，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則AB→=(2，0)，AD→=(0，2)，
所以xAB→+3yAD→=(2x，6y)；根據(jù)題意知，F(xiàn)EAF=DEAB=12，所以AE→=(1，2)，AF→=23AE→=(23，43)，
所以2x=23，6y=43，解得x=13，y=29，所以x+y=13+29=59．
解法二：根據(jù)題意知，F(xiàn)EAF=DEAB=12，所以DF=12FB，DF=13DB，
所以AF→=AD→+DF→=AD→+13DB→=AD→+13(AB→-AD→)=13AB→+23AD→，
所以AF→=xAB→+3yAD→，即x=133y=23，解得x=13y=29，所以x+y=13+29=59．
7．(2020秋?連云港期中)已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝23，BM→+12CB→=0→，DC→=λDN→，若AM→?AN→=29，則λ＝( )
A．18；B．17；C．16；D．15
【答案】D．
【解析】連接AC，DB，分別以AC，DB所在的直線為x，y軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，
∵AC=23，∠ABC=120°，∴BO＝1，
∵BM→+12CB→=0→，∴BM→=12BC→，即M為邊BC的中點，
設(shè)N(x，y)，則A(-3，0)，B(0，1)，C(3，0)，M(32，12)，D(0，﹣1)，
∴AM→=(332，12)，DC→=(3，1)=λDN→=λ(x，y+1)，由題意知λ≠0，
∴N(3λ，1λ-1)，AN→=(3λ+3，1λ-1)，∴AM→?AN→=5λ+4=29，解得λ=15．
8．(2020春?天津月考)已知∠BAC=5π6，AB＝3，AC＝23，BP→=λBC→，且AP→?BC→=-5，則λ的值為( )
A．12；B．23；C．13；D．14
【答案】C．
【解析】∵BP→=λBC→，∴AP→-AB→=λ(AC→-AB→)，
∴AP→=(1-λ)AB→+λAC→，且∠BAC=5π6，AB=3，AC=23，
∴AP→?BC→=[(1-λ)AB→+λAC→]?(AC→-AB→)=(λ-1)AB→2+λAC→2+(1-2λ)AB→?AC→
=9(λ-1)+12λ+(1-2λ)?3?23?(-32)＝39λ﹣18＝﹣5，∴λ=13．
二、填空題(共4小題)
9．(2020春?靖遠(yuǎn)縣期末)已知O為△ABC所在平面內(nèi)的一點，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，AB→=2，BC→=6，∠ABC=2π3．若BO→=2mAB→+nBC→，則2m﹣3n＝______．
【答案】﹣4．
【解析】由題意|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，可知O為△ABC外心，
根據(jù)向量幾何意義：AB→?BO→=|AB→|?|BO→|cs∠OBA=12|AB→|＝2……①
同理BC→?BO→=12|BC|2=18??②
將BO→=2mAB→+nBC→帶入①可得2m|AB→|2+nAB→?BC→=2m|AB→|2+n|AB→|?|BC→|cs∠ABC＝2……③
將BO→=2mAB→+nBC→帶入②可得2mAB→?BC→+n|BC→|2＝2m|AB→|?|BC→|cs∠ABC+n|BC→|2＝2……④
由③④可解得m=-56n=79，∴2m﹣3n=2×(-56)-3×79=-4．
10．(2020?和平區(qū)校級一模)已知平行四邊形ABCD的面積為93，∠BAD=2π3，|AD→|＝6，E為線段BC的中點，若F為線段DE上的一點，且AF→=λAB→+56AD→，則λ＝______；AF→?AE→的值為______．
【答案】13；9．
【解析】根據(jù)題意，作出如下所示圖形，∵E為線段BC的中點，
∴AB→=AE→+EB→=AE→-12BC→=AE→-12AD→．∵AF→=λAB→+56AD→，且D、E、F三點共線，
∴AF→=λ(AE→-12AD→)+56AD→=λAE→+(56-λ2)AD→，∴λ+56-λ2=1，解得λ=13．
∵平行四邊形ABCD的面積為93，∠BAD=2π3，|AD→|＝6，
∴93=2×12|AB|?|AD|sin∠BAD＝|AB|×6sin2π3，解得|AB|＝3．
∴AF→?AE→=(13AB→+56AD→)?(AB→+12AD→)=13AB→2+AB→?AD→+512AD→2=13×9+3×6×cs2π3+512×36=9．
11．(2018春?亳州期末)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，設(shè)點P，Q滿足AP→=λAB→，AQ→=(1-λ)AC→，λ∈R，若BQ→?CP→=-32，則λ＝______．
【答案】12．
【解析】如圖所示，
∵BQ→?CP→=AQ→-AB→?AP→-AC→=1-λAC→-AB→?λAB→-AC→
=(λ-λ2+1)AB→?AC→-(1-λ)AC→2-λAB→2，
AB→?AC→=22cs60°＝2，AC→2=22=AB→2，∴BQ→?CP→=2(λ﹣λ2+1)﹣4(1﹣λ)﹣4λ＝2λ﹣2λ2﹣2，
又∵BQ→?CP→=-32，∴2λ-2λ2-2=-32，化為(2λ﹣1)2＝0，解得λ=12．
12．(2020?浙江模擬)如圖，已知矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，E為邊AB的中點，P為邊DC上的動點(不包括端點)，DP→=λDC→(0＜λ＜1)，設(shè)線段AP與DE的交點為G，則AG→?AP→的最小值是______．
【答案】3-1．
【解析】因△AGE與△PGD相似，所以AGGP=AEDP=12λ，則AG→?AP→=11+2λAP→2=11+2λ(1+2λ2)，
令t＝1+2λ(1＜t＜3)，
則AG→?AP→=t2-2t+32t=12(t+3t)﹣1≥3-1，當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即λ=3-12∈(0，1)取到．
三、解答題(共2小題)
13．(2020春?新余期末)如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，D為線段BC中點，E為線段AD中點．
(1)求AD→?BC→的值；
(2)求EB→，EC→夾角的余弦值．
【答案】(1)6；(2)-5217．
【解析】(1)依題意可知△ABC為直角三角形，BC=23，如圖建立坐標(biāo)系：
則B(0，0)，A(0，2)，C(23，0)，因為D為BC的中點，故D(3，0)
∴AD→=(3，-2)，BC→=(23，0)，∴AD→?BC→=3×23=6．
(2)由E為線段AD中點可知E(32，1)，∴EB→=(-32，-1)，EC→=(332，-1)，
∴cs＜EB→，EC→＞=EB→?EC→|EB→||EC→|=-32×332+1×1(-32)2+(-1)2?(332)2+(-1)2=-5217．
14．(2020春?威海期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，點E，F(xiàn)在BC邊上且BE→=λBC→，BF→=μBC→．
(Ⅰ)若λ=13，求AE的長；
(Ⅱ)若AE→?AF→=4，求1λ+1μ的值．
【答案】(1)133；(2)75．
【解析】(Ⅰ)設(shè)AB→=a→，AC→=b→，則|a→|=2，|b→|=1，a→?b→=|a→||b→|cs120°＝﹣1，λ=13，
BE→=13BC→，E是BC的一個3等分點，過E作EM平行AC角AB于M，
作EN平行AB交AC于N，則AM=23AB，AN=13AC，所以AE→=23a→+13b→，
∴|AE→|=(23a→+13b→)2=19(16+1-4)=133．
(Ⅱ)AE→=AB→+BE→=a→+λ(b→-a→)=(1﹣λ)a→+λb→，
同理可得，AF→=AB→+BF→=a→+μ(b→-a→)=(1﹣λ)a→+μb→，
AE→?AF→=[(1﹣λ)a→+λb→][(1﹣λ)a→+μb→]＝4(1﹣λ)(1﹣μ)+λμ﹣[(1﹣λμ)+(1﹣μ)λ]＝4+7λμ﹣5(λ+μ)，
∴4+7λμ﹣5(λ+μ)＝4，7λμ﹣5(λ+μ)＝0，
同除以λμ可得，1λ+1μ=75．
附：分層訓(xùn)練答案
基礎(chǔ)組
一、選擇題(共8小題)
1．D；2．D；3．B；4．C；5．C；6．A；7．A；8．C．
二、填空題(共4小題)
9．10；10．2；11．94；12．4．
三、解答題(共2小題)
13．(1)AD→=13a→+23b→，BD→=23(b→-a→)；(2)229．
14．(1)DE→=23a→-b→，AF→=a→+34b→；(2)x=23，y=49．
提高組
一、選擇題(共8小題)
1．B；2．A；3．B；4．B；5．A；6．B；7．D；8．C．
二、填空題(共4小題)
9．-4；10．13，9；11．12；12．3-1．
三、解答題(共2小題)
13．(1)6；(2)-5217．
14．(1)133；(2)75．

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