TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3639" 【題型1 用基底表示向量】 PAGEREF _Tc3639 \h 1
\l "_Tc14700" 【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】 PAGEREF _Tc14700 \h 3
\l "_Tc16991" 【題型3 平面向量基本定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc16991 \h 5
\l "_Tc17089" 【題型4 平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 PAGEREF _Tc17089 \h 11
\l "_Tc32540" 【題型5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示】 PAGEREF _Tc32540 \h 12
\l "_Tc9206" 【題型6 向量共線、垂直的坐標(biāo)表示】 PAGEREF _Tc9206 \h 13
\l "_Tc12376" 【題型7 向量坐標(biāo)運(yùn)算的幾何應(yīng)用】 PAGEREF _Tc12376 \h 15
【知識(shí)點(diǎn)1 平面向量基本定理】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，
，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
(2)定理的實(shí)質(zhì)
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實(shí)質(zhì).
【題型1 用基底表示向量】
【例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，記AE=a，CD=b，則AC=（ ）
A．13a?bB．12a?bC．12a?13bD．23a?b
【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【解答過程】由題意可知，a=12AB+AC，b=12AB+CA=12AB?AC．
兩式相減，得a?b=32AC，所以AC=23a?b．
故選：D．
【變式1-1】（2023上·河北保定·高三校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F． 記 AB=a，AD=b，則（ ）

A．CF=?23a?13bB．CF=23a+13b
C．CF=?13a?23bD．CF=13a+23b
【解題思路】依題意可得△ABF∽△EDF，即可得到DFBF=12，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【解答過程】在平行四邊形ABCD中AB//CD，AE和BD相交于點(diǎn)F，
所以△ABF∽△EDF，又E是CD的中點(diǎn)，
所以DFBF=DEAB=12，所以DF=13DB=13AB?AD，
所以CF=CD+DF=?AB+13AB?AD=?23AB?13AD=?23a?13b.
故選：A.
【變式1-2】（2023下·廣東佛山·高一校考期中）如圖，在△ABC中，AD=13AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．設(shè)CA=a，CB=b，則EA=（ ）

A．23a?16bB．23a+16bC．16a?23bD．16a+23b
【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求得答案.
【解答過程】由題意在△ABC中，AD=13AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
故EA=?AE=?12(AC+AD)=12CA?12AD
=12CA?16AB=12CA?16(CB?CA)
=23CA?16CB=23a?16b，
故選：A.
【變式1-3】（2023下·陜西·高一校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC=b，BD=2DC，AE=4ED，則BE=（ ）

A．115a?815bB．23a?815b
C．?23a+815bD．?1115a+815b
【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解.
【解答過程】由題意BE=AE?AB=45AD?a=45(AB+BD)?a=45BD?15a =45×23BC?15a=815(b?a)?15a=?1115a+815b,
故選：D．
【題型2 利用平面向量基本定理求參數(shù)】
【例2】（2023下·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB，且BA=4PA，則（ ）

A．x=13，y=23B．x=23，y=13
C．x=34，y=14D．x=14，y=34
【解題思路】由已知，點(diǎn)P是線段BA的一個(gè)四等分點(diǎn)，得出BP與BA的關(guān)系，再由向量的線性運(yùn)算即可求得x，y的值．
【解答過程】由BA=4PA可得BP=34BA，
所以O(shè)P=OB+BP=OB+34BA =OB+34(OA?OB)=34OA+14OB，
∴x=34，y=14．
故選：C.
【變式2-1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為CO的中點(diǎn)，若EF=xOC+yOD，則x?2y=（ ）

A．1B．2C．53D．32
【解題思路】利用平面向量的線性運(yùn)算法則，求得EF=OC?12OD,進(jìn)而求得x,y的值，進(jìn)一步計(jì)算即可.
【解答過程】如圖：

因?yàn)镋F=OF?OE=12OC?12CD=12OC?12(OD?OC)
=OC?12OD,
所以x=1,y=?12,x?2y=2,
故選：B.
【變式2-2】（2023上·四川樂山·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AN=2NC，P是BN上一點(diǎn)，若AP=tAB+12AC，則實(shí)數(shù)t的值為（ ）

A．16B．13C．14D．12
【解題思路】由題意設(shè)BP=λBN，由向量的線性運(yùn)算可得AP=1?λAB+23λAC，再根據(jù)已知列等式計(jì)算即可求出t.
【解答過程】由題意，P是BN上一點(diǎn)，設(shè)BP=λBN，
則AP=AB+BP=AB+λBN=AB+λAN?AB=1?λAB+λAN，
又AN=2NC，所以AN=23AC，
所以AP=1?λAB+23λAC=tAB+12AC，
所以1?λ=t23λ=12，解得t=14.
故選：C.
【變式2-3】（2023上·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)，CP=3PD，且AP=mAC+nABm,n∈R，則m+n的值為（ ）

A．14B．13C．12D．34
【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理得到AP=14AC+12AB，從而得到m=14,n=12，求出答案.
【解答過程】因?yàn)镃P=3PD，AD=2DB，所以CP=34CD，AD=23AB，
AP=AC+CP=AC+34CD=AC+34AD?34AC=14AC+34AD
=14AC+34×23AB=14AC+12AB
又AP=mAC+nABm,n∈R，所以m=14,n=12，
故m+n=34.
故選：D.
【題型3 平面向量基本定理的應(yīng)用】
【例3】（2023上·寧夏銀川·高三?？计谥校┰凇鰽BC中，D為BC上一點(diǎn)，若AD=λAB+μAC（λ>0，μ>0），當(dāng)3μ+14λμ取得最小值時(shí)，三角形ABD與三角形ADC的面積比值為（ ）
A．13B．12C．3D．2
【解題思路】由三點(diǎn)共線的λ+μ=1，結(jié)合基本不等式可得λ=23,μ=13時(shí)，3μ+14λμ取得最小值，結(jié)合圖形即可求ABD與三角形ADC的面積比.
【解答過程】由D為BC上一點(diǎn)，則λ+μ=1，則3μ+14λμ=3μ+(λ+μ)4λμ=14μ+1λ
=(14μ+1λ)(λ+μ)=54+λ4μ+μλ≥54+2λ4μ?μλ=94，
當(dāng)且僅當(dāng)λ4μ=μλ且λ+μ=1，即λ=23,μ=13，時(shí)等號(hào)成立，3μ+14λμ取得最小值.
則AD=23AB+13AC，則根據(jù)平面向量基本定理知，D為靠近B的三等分點(diǎn)，
則S△ABD=13S△ABC,S△ACD=23S△ABC，則S△ABDS△ACD=12.
故選：B.
【變式3-1】（2023上·廣西玉林·高一?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，中線AD、BE、CF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G稱為△ABC的重心，那么AG:GD是（ ）

A．3∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶3
【解題思路】設(shè)AG=mGD，得到AG=m2m+1AB+mm+1AE，結(jié)合向量共線定理的推論得到m2m+1+mm+1=1，求出m=2，求出答案.
【解答過程】因?yàn)锳D為△ABC的中線，所以AD=12AB+12AC，
設(shè)AG=mGD，則AD=m+1mAG，
故m+1mAG=12AB+12AC，所以AG=m2m+1AB+m2m+1AC，
因?yàn)锳C=2AE，所以AG=m2m+1AB+mm+1AE，
因?yàn)锽,G,E三點(diǎn)共線，可設(shè)BG=nBE，則AG?AB=nAE?AB，
故AG=nAE+1?nAB，
故m2m+1=n,mm+1=1?n，相加得m2m+1+mm+1=1，
解得m=2，故AG:GD=2:1.
故選：B.
【變式3-2】（2023上·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，AD=λAB，AE=μAC，則1λ+1μ的最小值為（ ）

A．2B．4C．6D．8
【解題思路】設(shè)MP=tMN，則t∈0,1，利用三角形相似得到λ=1?t2?t，μ=t1+t，表達(dá)出1λ+1μ=2+1t1?t，利用基本不等式求出最值即可.
【解答過程】設(shè)MP=tMN，則t∈0,1，
因?yàn)镸，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以MN=12BC，AM=MB,AN=NC，
故MP=12tBC，
因?yàn)椤鱀MP∽△DBC，所以DM=12tBD，
設(shè)BD=x，則DM=12tx,MB=x?12tx，AD=AM?DM=x?tx，
故ADAB=x?tx2x?tx=1?t2?t，故λ=1?t2?t，
同理可得NP=1?tMN，NP=121?tBC，
因?yàn)椤鱁NP∽△ECB，所以EN=121?tEC，
設(shè)EC=y，則EN=121?ty,CN=y?121?ty=121+ty，
AC=1+ty，AE=1+ty?y=ty，
故AEAC=t1+t，μ=t1+t，
則1λ+1μ=2?t1?t+1+tt=1+11?t+1+1t=2+11?t+1t=2+1t1?t
因?yàn)閠∈0,1，由基本不等式得t1?t≤t+1?t22=14，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1?t，即t=12時(shí)，等號(hào)成立，
故1λ+1μ=2+1t1?t≥2+4=6.
故選：C.
【變式3-3】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足AP=xAB+yAC，則下列說法正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①若x=y=12，則點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)；②若點(diǎn)P是BC邊上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則x=13,y=23；③若點(diǎn)P在BC邊的中線上且x+y=12，則點(diǎn)P是△ABC的重心；④若x+y=2，則△PBC與△ABC的面積相等.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解題思路】①轉(zhuǎn)化為BP=PC，即可判斷；②選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為2BP=PC，進(jìn)而根據(jù)平面向量基本定理即可判斷；③分析可得點(diǎn)P為BC邊的中線的中點(diǎn)，即可判斷；④可得點(diǎn)P在直線MN上，點(diǎn)P與點(diǎn)A到BC邊的距離相等即可判斷.
【解答過程】①若x=y=12，則AP=12AB+12AC，
即AP?AB=AC?AP，即BP=PC.
即點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，故①正確；
②由點(diǎn)P是BC邊上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
所以2BP=PC，即2AP?AB=AC?AP，
即AP=23AB+13AC，
所以x=23,y=13，故②錯(cuò)誤；
③因?yàn)辄c(diǎn)P在BC邊的中線上，設(shè)D為BC中點(diǎn)，
設(shè)AP=λAD，
又AD=12AB+AC，
所以AP=λ2AB+λ2AC，
又x+y=12，則λ2+λ2=12，
所以λ=12，即AP=12AD，
所以點(diǎn)P為BC邊的中線的中點(diǎn)，故不是重心，故③錯(cuò)誤；
④設(shè)AM=2AB，AN=2AC，則AP=x2AM+y2AN，x2+y2=1，
故點(diǎn)P在直線MN上，點(diǎn)P與點(diǎn)A到BC邊的距離相等，
所以△PBC與△ABC的面積相等，故④正確.
故選：B.
【知識(shí)點(diǎn)2 平面向量的坐標(biāo)表示】
1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)正交分解
不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標(biāo)表示
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系
2．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
由于向量=(,)，=(,)等價(jià)于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
這就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.
(2)平面向量長(zhǎng)度（模）的坐標(biāo)表示
若=(x,y)，則或.
其含義是：向量的長(zhǎng)度(模)等于向量的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.
如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
4．平面向量位置關(guān)系的坐標(biāo)表示
(1)共線的坐標(biāo)表示
①兩向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使=.如果用
坐標(biāo)表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0.
②三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點(diǎn)共線，則有=，
??????? 從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線.
(2)夾角的坐標(biāo)表示
設(shè)，都是非零向量，=(,)，=(,)，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得==.
(3)垂直的坐標(biāo)表示
設(shè)=(,)，=(,)，則+=0.
即兩個(gè)向量垂直的充要條件是它們相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為0.
【題型4 平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】
【例4】（2023上·新疆·高二學(xué)業(yè)考試）若向量a=3,?2，b=0,?1，則向量2b+a的坐標(biāo)是（ ）
A．3,?4B．?3,4C．3,4D．?3,?4
【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.
【解答過程】向量a=3,?2，b=0,?1，
則向量2b+a=20,?1+3,?2=3,?4.
故選：A.
【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量a=(5,2),b=(?4,?3),c=(x,y)，若3a?2b+c=0，則c=（ ）
A．(?23,?12)B．(23,12)
C．(7,0)D．(?7,0)
【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【解答過程】由題意可得3a?2b+c=3(5,2)?2(?4,?3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0,0),
所以23+x=012+y=0解得x=?23y=?12,
所以c=(?23,?12).
故選:A.
【變式4-2】（2023下·西藏林芝·高一?？计谀┮阎蛄縜=3,2，b=0,?1，則?2a+4b等于（ ）
A．6,0B．?6,0C．?6,?8D．6,8
【解題思路】直接利用平面向量的加法法則，直接計(jì)算可得答案.
【解答過程】向量a=3,2，b=0,?1，
則?2a+4b=(?6,?4)+(0,?4)=(?6,?8).
故選:C.
【變式4-3】（2023下·四川眉山·高一?？计谥校┮阎蛄縜 ,b滿足2a ?b→=0,3，a→ ?2b→=?3,0，λa→ +μb=?1,1，則λ+μ=（ ）
A．-1B．0C．1D．25
【解題思路】設(shè)出向量a，b的坐標(biāo)，根據(jù)條件列出坐標(biāo)方程，即可解出a，b的坐標(biāo)，即可進(jìn)一步列出含參數(shù)的坐標(biāo)方程，從而解出參數(shù)λ，μ.
【解答過程】設(shè)a=x1,y1，b=x2,y2，又2a→?b→=0,3，a→?2b→=?3,0，
所以2x1?x2=02y1?y2=3，且x1?2x2=?3y1?2y2=0，
解得x1=1y1=2，x2=2y2=1，即a=1,2，b=2,1.所以λa+μb=λ1,2+μ2,1=λ+2μ,2λ+μ=?1,1，則λ+2μ=?12λ+μ=1，解得λ=1μ=?1，故λ+μ=0.
故選：B.
【題型5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示】
【例5】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知向量a=1,3,b=?2,?1，則a+b?2a?b=（ ）
A．10B．18C．?7,8D．?4,14
【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.
【解答過程】因?yàn)橄蛄縜=1,3,b=?2,?1，
所以a+b?2a?b=?1,2?4,7=?1×4+2×7=10，
故選:A.
【變式5-1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）設(shè)x∈R，向量a=(x,1)，b=(1,?2)，且a⊥b，則csa+b,b=（ ）
A．210B．22C．510D．25
【解題思路】根據(jù)條件，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，得出x=2，從而可得出a+b=(3,?1)，再利用向量數(shù)量積公式即可求出結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)閍=(x,1)，b=(1,?2)，又a⊥b，所以x?2=0，得到x=2，
所以a=(2,1)，得到a+b=(3,?1)，
所以csa+b,b=(a+b)?ba+bb=3+29+1?1+4=552=22，
故選：B.
【變式5-2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）已知向量a=sinθ,csθ，b=22,2，a，b夾角為π6，則a+b為（ ）
A．19B．19C．32D．18
【解題思路】先分別求a=1，b=23，2a?b=6，再求a+b2，開方可得a+b.
【解答過程】a2=a2=sin2θ+cs2θ=1，a=1，
b2=b2=222+22=12，b=23，
2a?b=2a?bcsπ6=2×1×23×32=6，
a+b2=a2+b2+2a?b =1+12+6=19，a+b=19.
故選：A.
【變式5-3】（2023上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a=λ,2,b=3,1，若a與b的夾角的余弦值為31010，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．83B．43C．3D．3
【解題思路】根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.
【解答過程】依題意，csa,b=a?b|a||b|=3λ+2λ2+4?10=31010，解得λ=83.
故選：A.
【題型6 向量共線、垂直的坐標(biāo)表示】
【例6】（2023上·黑龍江雞西·高三?？茧A段練習(xí)）已知平面向量a=1,x，b=2x+3,?x，x∈R．
(1)①若a∥b，求x；②若a⊥b，求x；
(2)若向量a與b的夾角為鈍角，求x的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)向量平行，垂直可構(gòu)造方程求得x；
（2）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.
【解答過程】（1）a=1,x，b=2x+3,?x，
①若a∥b，則1×?x?x2x+3=0，即x2+2x=0，解得x=0或x=?2；
②若a⊥b，則a?b=2x+3?x2=0，解得x=?1或x=3.
（2）由a?b=2x+3?x2

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