（一）平面向量基本定理
如果是一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
（二）向量線性運算的坐標表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.
(1)加法、減法：若，則；
(2)向量的數(shù)乘：若，則．
(3)設(shè)，則，.
（三）向量數(shù)量積的坐標表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
1．兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
2. 設(shè)a＝(x，y)，則|a|＝eq \r(x2＋y2)；設(shè)，則，.
3.a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
4．平面向量的夾角
（四）向量平行的坐標表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2＝x2y1時，a∥b．
【點撥】兩個向量共線條件的三種表示方法
(1)當(dāng)b≠0時，a＝λb．它體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系．
(2)x1y2－x2y1＝0．有助于解決向量共線問題，其優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，減少了未知數(shù)的個數(shù)，從而使問題的解決具有代數(shù)化的特點和程序化的特征．
(3)當(dāng)x2y2≠0時，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)．即兩向量的相應(yīng)坐標成比例，更易形象記憶.
（五）平面幾何中的向量方法
1.證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的意義．
2.證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)的條件： a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．
3證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(線段)是否垂直等，常運用向量垂直的條件： a⊥b?a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．
4.求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式．
5.向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．
（六）物理中的向量方法
1.力向量
力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計作用點的情況下，可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的合力．
2.速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速度的合速度．
題型一 平面向量基本定理及其應(yīng)用
【典例1】（2021春·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┤鐖D，在中，，，P為上一點，且滿足，若，，則的值為（ ）
A．-3B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三點共線求出，然后把當(dāng)基底表示出和，從而求的值.
【詳解】因為，所以，
所以，因為三點共線，所以，即，
所以，又,
所以
.
故選：C.
【典例2】（2023秋·遼寧營口·高一校聯(lián)考期末）在中，，，若（，均大于0），則的值為______.
【答案】15
【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法則，可表示，進而求出，的值，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖所示，在中，，
因為，所以，所以，①
在中，，
因為，所以，所以，代入①，
得，
因為，所以，，
所以，
故答案為：.
【規(guī)律方法】
1.平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
2.在應(yīng)用平面向量基本定理時，要注意基向量不共線這個條件．若已知條件a＝λ1e1＋λ2e2沒有指明，則應(yīng)對e1，e2共線的情況加以考慮．
題型二 向量的坐標運算
【典例3】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量，，若，則的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】直接求出與的坐標，根據(jù)模相等即可解得的值.
【詳解】由已知可得，，，
因為，所以，
解得，.
故選：C.
【典例4】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知點，，是函數(shù)，圖象上的動點，若，則的最大值為______.
【答案】##
【分析】由題可得，然后利用向量的坐標關(guān)系可得，然后利用函數(shù)單調(diào)性即得.
【詳解】由題可知，又，，，
∴，
∴，即
∴，
當(dāng)時，函數(shù)與為增函數(shù)，
所以在為增函數(shù)
∴的最大值為.
故答案為：.
【規(guī)律方法】
1.向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關(guān)系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．
2.解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．
題型三 向量共線的坐標表示及應(yīng)用
【典例5】（2023·高一課時練習(xí)）已知，，則與同向的單位向量的坐標為________．
【答案】
【分析】先由向量的線性運算求得，再由模的坐標表示求得，從而求得所求.
【詳解】因為，
所以，故，
則同向的單位向量的坐標為
故答案為：
【典例6】（2022秋·江蘇鹽城·高一濱?？h五汛中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，.
(1)當(dāng)為何值時，與共線；
(2)若，且三點共線，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得與的坐標，再由向量共線的坐標運算列式求解；
（2）由已知求得的坐標，再由兩向量共線的坐標運算求解．
【詳解】（1）解：，，
，，
又與共線，
，即；
（2）解：，，
、、三點共線，
，即．
【規(guī)律方法】
1.主要命題角度：（1）利用向量共線求向量或點的坐標；（2）三點共線問題；（3）利用向量共線求參數(shù).
2.常見解題策略：
(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若，則的充要條件是”解題比較方便．
題型四 數(shù)量積的坐標運算
【典例7】（2023·高一課時練習(xí)）已知向量，，，則________．（填寫=或）
【答案】
【分析】利用向量數(shù)量積運算法則和線性運算法則計算出與，得到兩者不相等.
【詳解】，故，
，故，
故.
故答案為：
【典例8】（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．
【答案】
【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.
【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
則點、、、，
，
則點，，，
因此，，.
故答案為：；.
【規(guī)律方法】
1.先將各向量用坐標表示，然后直接進行數(shù)量積的坐標運算；
2.先利用向量的數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知條件計算．
題型五 利用向量垂直求參數(shù)
【典例9】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量．若，則______________．
【答案】##
【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.
【詳解】由題意知：，解得.
故答案為：.
【典例10】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量，，，．
(1)求；
(2)若，求實數(shù)的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運算的坐標表示即可求得結(jié)果；（2）由即可得到.
【詳解】（1）；
（2）由可得，，
又，則，解得.
題型六 向量數(shù)量積與模的問題
【典例11】（2022春·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考期末）如果平面向量，.那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．與的夾角為D．在上的投影向量的模為
【答案】D
【分析】由向量模長的坐標公式、向量共線的坐標公式、向量夾角的坐標公式以及向量的投影求解即可.
【詳解】對于A，，則，A錯誤；
對于B，，則不平行，B錯誤；
對于C，，又，則，C錯誤；
對于D，在上的投影向量的模為，D正確.
故選：D.
【典例12】（2022春·河南安陽·高一安陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若為坐標原點，，，，則的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示以及模長公式，可得出的表達式，通過整體代換利用基本不等式和二次函數(shù)單調(diào)性即可求得最小值.
【詳解】由題意知，，
又可得，
整理得，
令，則，
且，
∴，
∴，即的最小值是3.
故選：C
【總結(jié)提升】
利用數(shù)量積求解長度（模）問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，此類問題的處理方法是：
(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2) ．
(3)設(shè)a＝(x，y)，則|a|＝eq \r(x2＋y2)；設(shè)，則，.
題型七 向量數(shù)量積與夾角問題
【典例13】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．
【答案】且.
【分析】根據(jù)已知可得，且不共線，求解即可.
【詳解】由得，，.
由已知得，，所以，即，且不共線.
則，.
又不共線，則.
所以，的取值范圍為且.
故答案為：且.
【典例14】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量,.
(1)當(dāng)時,求；
(2)當(dāng)，，求向量與的夾角.
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）向量,，則，.
由,可得即，即，
解得或,當(dāng),則,則,所以，
當(dāng)，， ，綜上 .
（2）由,,則
由,可得,解得,
所以,,

又,所以.
【總結(jié)提升】
用坐標求兩個向量夾角的四個步驟：
(1)求a·b的值；
(2)求|a||b|的值；
(3)根據(jù)向量夾角的余弦公式求出兩向量夾角的余弦；
(4)由向量夾角的范圍及兩向量夾角的余弦值求出夾角．
題型八 向量的應(yīng)用
【典例15】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知力，且和三個力的合力為，則__________．
【答案】
【分析】利用平面向量線性運算的坐標表示即可求解.
【詳解】解：設(shè)，則，即，解得，
所以.
故答案為：.
【典例16】（2023·高一課時練習(xí)）已知，，，判斷并證明以A，B，C為頂點的三角形是否為直角三角形．若是，請指出哪個角是直角．
【答案】是直角三角形，為直角，證明見解析
【分析】根據(jù)A，B，C三點的坐標可寫出向量，可利用向量數(shù)量積來證明是否存在垂直，即可判斷三角形是否為直角三角形.
【詳解】是直角三角形，為直角．
證明如下：
∵，
，
∴，∴，即.
所以是直角三角形，為直角．
一、單選題
1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知三點在同一直線上，則實數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．不確定
【答案】C
【分析】將點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，由坐標運算即可求解.
【詳解】由題得,
由 三點共線，可得 ，故 ，
故選：C
2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)x，，向量，，，且，，則（ ）
A．B．1C．2D．0
【答案】D
【分析】由題知，進而解方程即可得答案.
【詳解】解：因為向量，，，且，，
所以，解得，
所以.
故選：D
3.（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)向量，若表示向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標表示，結(jié)合題意求解即可.
【詳解】由題可知：，
即.
故選：D.
4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量，且 與方向相同，則的取值范圍是（ ）
A．（1，+∞）B．（-1，1）
C．（-1，+∞）D．（-∞，1）
【答案】C
【分析】與同向，用共線基本定理得到關(guān)系，表示依據(jù)的范圍去求.
【詳解】因為與同向，所以可設(shè)
則有，又因為，，
所以
所以的取值范圍是(-1，+∞)，
故選：C.
5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內(nèi)一動點，若，，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
【答案】B
【分析】設(shè)出的中點，利用向量的運算法則化簡；據(jù)向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點，得到選項
【詳解】解：如圖，取的中點，連接，
則．又，
，即．
又，
點在射線上．
故的軌跡過的重心．
故選：B．
6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)向量的坐標運算求出，再根據(jù)向量的模的坐標公式和題意列出關(guān)于的不等式即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以，因為不超過5，
所以，解得：，
故選：C.
7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在四邊形中，，若，且，則（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量的線性表示以及運算結(jié)合圖形求解.
【詳解】
如圖，過作，又因為，
所以四邊形是平行四邊形，
所以
又因為，
所以,
又因為，所以，
所以,所以.
故選:D.
8.（2022·江蘇·高一開學(xué)考試）邊長為2的正六邊形ABCDEF中，M為邊CD上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】A
【分析】建立坐標系，利用平面向量的坐標運算結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可
【詳解】如圖：以正六邊形的中心為原點，所在直線為軸，
的垂直平分線所在直線為軸建立平面直角坐標系，
則，設(shè)，
則，
，
因為M為邊CD上的動點，
所以，即，
解得
所以，
令，
則結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
故選：A
二、多選題
9．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)向量，平面內(nèi)任一向量都可唯一表示為（），則實數(shù)的可能取值是（ ）
A．2B．3C．1D．0
【答案】ABD
【分析】根據(jù)平面向量的分解定理中基底選擇的標準可得.
【詳解】根據(jù)平面向量的分解定理，兩個向量可作為一組基底必須它們不平行，
與不平行，有解之.
故選：ABD.
10．（2022秋·江蘇鹽城·高一濱?？h五汛中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量的坐標運算，即可求解模長和數(shù)量積以及平行關(guān)系.
【詳解】由于，所以，故A 對，
故B 錯，
，所以，故C對，
，故不平行，故D錯，
故選：AC
三、填空題
11．（2023秋·江蘇無錫·高一無錫市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D,在平行四邊形中,點E是CD的中點,點F為線段BD上的一個三等分點,且,若,則______.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知,,根據(jù)平面向量基本定理,將用線性表示,根據(jù)兩個向量相等即可得的值,進而得出結(jié)果.
【詳解】解:由題知點F為線段BD上的一個三等分點,所以,
所以
,
因為不共線,所以,故.
故答案為:
12．（2022·江蘇·高一開學(xué)考試）已知向量，，，且，，則_________.
【答案】-10
【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標表示，向量垂直的坐標表示列方程，求解作答.
【詳解】向量，，，因，，
于是得，解得，所以.
故答案為：-10
四、解答題
13．（2022春·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，．
(1)求的值；
(2)若向量與夾角為，求實數(shù)λ的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先求出的坐標，再根據(jù)向量模的坐標表示計算可得；
（2）首先求出的坐標，即可得到，再根據(jù)數(shù)量積的坐標表示求出，最后根據(jù)數(shù)量積的定義得到方程，解得即可；
(1)
解：因為，，
所以，
所以；
(2)
解：，
所以，，
又向量與夾角為，
所以，
即，
即，解得或.
14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量．
(1)求；
(2)求滿足的實數(shù)m和n的值；
(3)若，求實數(shù)k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量的坐標運算求解；
（2）利用平面向量相等求解；
（3）利用平面向量共線定理求解.
【詳解】（1）解：；
（2）因為．
所以，
則，解得．
（3），
因為，
所以，
解得．
15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量與向量的夾角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算求向量的模即可；（2）由向量的模，根據(jù)向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化求向量的夾角即可.
【詳解】（1）由題知，，
所以，
所以.
（2）由題知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因為，
向量與向量的夾角為.
16．（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知是邊長為2的正三角形，點P在邊BC上，且，點Q為線段AP上一點.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)求·的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理可得，再由向量相等即可求解；
（2）由平面向量基本定理可得，再結(jié)合兩項數(shù)量積的運算性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可
【詳解】（1）由題意，
即，故，
因為Q為線段AP上一點，
設(shè)，又不共線，
所以，解得
所以；
（2），
由（1）知，，
，
所以
，
當(dāng)時，，
所以的最小值為

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專題5.2 平面向量的基本定理及坐標運算-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型 ?技巧》精講與精練

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專題04 二項式定理（知識串講 熱考題型 專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第二冊）

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專題02 平面向量的基本定理及坐標運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）

專題02 平面向量的基本定理及坐標運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）
專題01 平面向量的概念與運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）

專題01 平面向量的概念與運算（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教A版2019必修第二冊）
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