題型一：基底的判斷
題型二：基底的運用
題型三：正交分解
題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題
【知識點梳理】
知識點01：空間向量基本定理及樣關概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共面，那么對空間中的任意一個向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .其中，空間中不共面的三個向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 組成的集合{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }，常稱為空間向量的一組基底.此時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都稱為基向量；如果 SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 在基底{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }下的分解式.
知識點2：空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用 SKIPIF 1 < 0 表示.
正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.
知識點3：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題
用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立
【典例例題】
題型一：基底的判斷
例1．已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一組基底，則可以與向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構成基底的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共面，故A，B錯誤；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共面，故C錯誤；
∵ SKIPIF 1 < 0 是基底，∴不存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不共面，故 SKIPIF 1 < 0 可以與 SKIPIF 1 < 0 構成空間的一組基底，故D正確.故選：D.
例2．已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個基底，則可以與向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構成空間另一個基底的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均與向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面．故選：C
題型二：基底的運用
例3．在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，Q是BC的中點，且M為PQ的中點，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為Q是 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因為M為PQ的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A.
例4．如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且 SKIPIF 1 < 0 ，用向量 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 為( )

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：D
題型三：正交分解
例5．設 SKIPIF 1 < 0 為空間的一個標準正交基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C．23D．11
【答案】B
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 為空間的一個標準正交基底，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故選：B.
例6．已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個單位正交基底，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空間的另一個基底，向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐標為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐標為 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題
例7．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證EG⊥AB；
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
【解析】(1)證明：連接DE，
因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由題意得： SKIPIF 1 < 0 均為等邊三角形且邊長為1，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
設異面直線AG和CE所成角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
例8．已知平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由題意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【過關測試】
一、單選題
1．在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，Q是 SKIPIF 1 < 0 的中點，且M為PQ的中點，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為Q是 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為M為PQ的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D
2．在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，M為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列向量中與 SKIPIF 1 < 0 相等的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，M為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點，
SKIPIF 1 < 0 .故選：B
3．如圖，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長度為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由圖形易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
4．已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG＝3GG1，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由題設， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
二、填空題
5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則 SKIPIF 1 < 0 的值為____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】根據(jù)題意ABCD為正四面體， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩兩成 SKIPIF 1 < 0 角， SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0
6．如圖，已知空間四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則 SKIPIF 1 < 0 ＝________.(用向量 SKIPIF 1 < 0 表示)
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設G為BC的中點，連接EG，F(xiàn)G，
則 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
7．在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的余弦值是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由題設，可得如下示意圖，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答題
8．如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的正方形，側(cè)棱 SKIPIF 1 < 0 的長為2，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，設 SKIPIF 1 < 0 .
(1)將空間向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示出來；
(2)求線段BM的長.
【解析】1) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(2)由題可知因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的長為 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的長；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值.
【解析】(1)在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為空間的一個基底，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 .

相關試卷

2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第9講 直線的交點坐標與距離公式（2份打包，原卷版+教師版）：

這是一份2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第9講 直線的交點坐標與距離公式（2份打包，原卷版+教師版），文件包含2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第9講直線的交點坐標與距離公式教師版doc、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第9講直線的交點坐標與距離公式教師版pdf、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第9講直線的交點坐標與距離公式學生版doc、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第9講直線的交點坐標與距離公式學生版pdf等4份試卷配套教學資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第06講 空間向量的應用（2份打包，原卷版+教師版）：

這是一份2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第06講 空間向量的應用（2份打包，原卷版+教師版），文件包含2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第06講空間向量的應用教師版doc、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第06講空間向量的應用教師版pdf、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第06講空間向量的應用學生版doc、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第06講空間向量的應用學生版pdf等4份試卷配套教學資源，其中試卷共68頁， 歡迎下載使用。

2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第05講 空間向量及其運算的坐標表示（2份打包，原卷版+教師版）：

這是一份2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第05講 空間向量及其運算的坐標表示（2份打包，原卷版+教師版），文件包含2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第05講空間向量及其運算的坐標表示教師版doc、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第05講空間向量及其運算的坐標表示教師版pdf、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第05講空間向量及其運算的坐標表示學生版doc、2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第05講空間向量及其運算的坐標表示學生版pdf等4份試卷配套教學資源，其中試卷共32頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

第05講 空間向量基本定理（四大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義

第05講 空間向量基本定理（四大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義
（預習課）2024年高中數(shù)學高二暑假講義05 空間向量基本定理（2份打包，原卷版+教師版）

（預習課）2024年高中數(shù)學高二暑假講義05 空間向量基本定理（2份打包，原卷版+教師版）
數(shù)學選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.3 空間向量及其運算的坐標表示同步練習題

數(shù)學選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.3 空間向量及其運算的坐標表示同步練習題
人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.3 空間向量及其運算的坐標表示一課一練

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.3 空間向量及其運算的坐標表示一課一練
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部