第02講 向量數量積【必備知識】向量數量積:已知兩個非零向量和,它們的夾角為,把數量叫做和的數量積,記作,即.坐標表示:在平面直角坐標系下,給定非零向量,則. 夾角公式:已知兩個非零向量和,它們的夾角為,則.夾角公式是根據向量數量積的定義推出的.坐標表示:設非零向量,則.注意的范圍是,當時, 兩向量的位置關系分別是同向共線,垂直,反向共線. 向量的投影:向量在向量方向上的投影為,向量在向量方向上的投影為,其中 為向量的夾角。根據向量投影的定義可以知道,向量在向量方向上的投影為,同理可得向量在向量方向上的投影為,可以簡記為:在向量上的投影,就用數量積除以向量的模長, 在向量上的投影,就用數量積除以向量的模長. 投影向量:對于向量和,向量在向量上的投影向量為,為向量方向上的單位向量.對于向量和,向量在向量上的投影向量為,為向量方向上的單位向量. 【典例剖析】題型一:定義法求向量數量積1．已知向量滿足，且 與 的夾角為30°，那么等于（       ）A．1 B． C．3 D．3【答案】C【詳解】由題意可得： ，故選：C2．已知，，且，的夾角為60°，如果，那么m的值為（　　）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意知，即因為，，，所以，解得.故選：C.3．已知是單位向量，與的夾角是，且， 則=（       ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題得所以或（舍去）.故選：D4．已知等邊的邊長為3，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，，故點為線段上靠近點的三等分點故故選：A 類型二:坐標法求向量數量積1．在中，若，且，點分別是的中點，則（       ）A． B． C．10 D．20【答案】C【詳解】解：因為，所以，如圖建立平面直角坐標系，則、、、，所以、、，所以，所以；故選：C2．如圖，梯形中，，，，，若點為邊上的動點，則的最小值是（       ）A．1 B．C． D．【答案】D【詳解】以為原點，，所在直線分別為，軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，設，則，，因為，所以，解得，即，設，，，則，，所以，所以的最小值為．故選：D.3．已知在邊長為2的正三角形中，分別為邊上的動點，且，則的最大值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以中點為原點，和其對應高線作為坐標軸，建系如圖所示，則，，，則，，設()，則()，則，，∴，，∴，當時取最大值，故選：D.4．已知△是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，且 ，則的值為（       ）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】把△如下圖放在直角坐標系中，由于△的邊長為1，故，點分別是邊的中點，，設，，，，.故選：B.  類型三:轉化法求向量數量積1．在中，，，為的中點，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，因此，.故選：A.2．在菱形ABCD中，，，，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，所以．因為，，所以．故選：A3．在中，已知，，P是邊BC垂直平分線上的一點，則（       ）A． B． C． D．3【答案】C【詳解】在中,取BC中點M，做BC的垂直平分線MP，連接AM、AP.則，，故選：C4．已知等邊△的邊長為，點，分別為，的中點，若，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知條件,圖形如下圖所示： ,解得.故選：. 類型四:坐標法求向量夾角1．已知點，，，，則向量與夾角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設與的夾角為，因為，，所以．故選：B2．若向量與的夾角為銳角，則t的取值范圍為（            ）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：與夾角為銳角，則且與不同向，即，即，由，共線得，得，故.故選:D.3．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求 的值；(2)若⊥（＋2），求實數k的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實數k的取值范圍．【答案】(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6.【解析】(1)解：因為向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．(2)解：因為＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．(3)解：因為與的夾角是鈍角，則＜0且與不共線．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．4．已知．(1)若θ為2與的夾角，求θ的值；(2)若2與k垂直，求k的值．【答案】(1)θ＝； (2)0.【解析】(1)解：（1）因為所以2，．所以cos θ＝＝＝.因為θ∈[0，π]，所以θ＝.(2)解：，依題意,所以3k－3＋6k＋3＝0. 所以k＝0. 類型五:數量積和模求向量夾角1．已知向量，是單位向量，若，則與的夾角為（       ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，是單位向量，若，∴，，,∴.∴，∴，∴,由∴與的夾角為,故選:B.2．已知平面向量，若，則與的夾角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可得，所以，即，所以，設的夾角為，則,故選：B.3．已知向量，滿足，，若不等式對任意實數恒成立，則與的夾角為（       ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據題意，設與的夾角為，若不等式對任意實數恒成立，即恒成立，即恒成立，又，, 則有恒成立，必有，故有，即，又由，則；故選：C．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點O，M為BO中點．設向量，．(1)求的值；(2)用，表示；(3)求 的值．【答案】(1)  (2)  (3)【解析】(1)解：由題意，得；(2)解：因為平面向量加法的平行四邊形法則，且BD，AC相交于點O，M為BO中點，所以即；(3)解：由（1），得，且，由（2），得，則，所以. 類型六:坐標法求向量的模1．已知向量，且，，則（       ）A．3 B． C． D．【答案】B【詳解】向量，由得：，即，由得：，即，于是得，，，所以.故選：B2．已知向量，，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，所以，，故當時，取得最小值.故選：C.3．若向量，，，且，則的最小值為_________．【答案】【詳解】由題設，，，又，∴，則，又，則，∴要求的最小值，即求定點到直線的距離，∴.故答案為：4．已知，（1）求；（2）設與的夾角為，求的值；（3）若向量與互相垂直，求k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】解：；故；因為向量與互相垂直，所以，即，因為，，所以 類型七:轉化法求向量的模1．已知，，則(       )A．2 B．4 C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，則.∴，故.故選：B.2．已知則=（       ）A．4 B． C．10 D．16【答案】B【詳解】由，可得，即，所以，故，故選：B3．已知單位向量，滿足，則（       ）A． B．5 C．2 D．【答案】D【詳解】由題意，，，對兩邊同時平方可得，，解得，故，得.故選：D.4．已知單位向量、滿足，則的最小值為（       ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為、是單位向量，由可得，則，所以，，即，可得，所以，，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故選：C. 類型八:投影與投影向量1．已知向量，滿足，，在方向上的投影為，則（       ）A．6 B．9 C． D．【答案】A【詳解】由，得，所以，因為在方向上的投影為，所以，，所以，，故選：A2．已知向量，若在的投影為，則（       ）A．169 B．13 C．196 D．14【答案】B【詳解】解：因為，所以，因為在的投影為，所以，所以，所以故選：B3．已知向量，則在方向上的投影是（       ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題得，在方向上的投影是.故選：C4．已知點，，，，與同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量為（       ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知點，，，，有， ，，.與同向的單位向量為.所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：B.5．如圖，在等邊中，，向量在向量上的 投影向量為（       ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題知D點是BC的四等分點，設三角形邊長為a，則，，，則向量在向量上的投影向量為：，故選：D  【過關檢測】一、單選題1．已知單位向量，滿足，若向量，則〈，〉=（       ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知知，，則故選：C.2．已知向量，，，，若在上的投影向量為（是與同向的單位向量），則（       ）A．169 B．13 C．196 D．14【答案】B【詳解】因為在上的投影向量為，是與同向的單位向量，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以13，故選：B3．中，，，是邊中垂線上任意一點，則的值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設中點為，，，；又，.故選：A.4．已知中，，，，為所在平面內一點，且滿足，則的值為（       ）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，∴，∴，故選：B.5．已知梯形ABCD 中，，，，，，點P，Q在線段BC上移動，且，則的最小值為（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以B為坐標原點，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系， 因為，，，，所以，不妨設，，則，所以當時，取得最小值，故選：D6．在三角形ABC中，已知AB＝2，AC＝1，，，，若CD與BE交于O點，則AO的長為（       ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為AB＝2，AC＝1，，則．設，，因為與不平行，所以，為一組基向量，因為B，O，E共線，，所以，因為C，O，D共線，，所以，所以，則，解得，所以，所以，所以AO的長為，故選：B．二、填空題7．已知平行四邊形中，，，，M、N分別為BC、CD的中點，則___________.【答案】15【詳解】，故答案為：158．已知，若與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由題意，與的夾角為銳角，故，即 ，即 ，當與共線時， ，解得 或，當與同向時，，此時， 但不符合與的夾角為銳角，故實數的取值范圍是 ，故答案為：9．已知在邊長為的正三角形中，、分別為邊、上的動點，且，則的最大值為_________．【答案】【詳解】如圖建系，則、、，則，，設（），則（），則，，∴，∴，當時，取最大值．故答案為：三、解答題10．如圖，在中，已知，，點在上，且，點是的中點，連接，相交于點.(1)求線段，的長；(2)求的余弦值.【答案】(1)， (2)【解析】(1)解：由題意，，，又，所以，，即，                  =，，即；(2)解：，==，   與的夾角即為，.11．已知單位向量的夾角為，向量，向量.(1)若∥，求x的值；(2)若，求.【答案】(1) (2)【解析】(1)因為，所以存在實數，使得，即，則有，，解得；(2)由，有，即，解得，故，所以.12．設平面內三點，，.(1)求；(2)求向量在上的投影向量的坐標.【答案】(1)； (2).【解析】(1)由，，，得，，所以(2)，.設向量與的夾角為，則所以向量在上的投影向量為所以向量在上的投影向量的坐標為.
 

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