類型一：基底及用基底表示向量
類型二：用平面向量基本定理求參數(shù)
類型三：平面向量坐標運算
類型四：由向量線性運算解決最值和范圍問題
類型五：平面向量數(shù)量積的坐標表示
類型六：向量的平行、垂直及應用
類型七：利用坐標求模
類型八：向量的夾角及與向量夾角有關的參數(shù)問題
類型九：平面向量夾角為銳角（鈍角）問題
類型十：利用坐標求向量數(shù)量積的最值，范圍
類型十一：利用坐標求向量的模的最值
類型十二：新定義題
類型一：基底及用基底表示向量
典型例題
例題1．（2022·高一課前預習）設是平面內所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．與 B． 與
C． 與D． 與
例題2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）設為所在平面內一點，，則（ ）
A．B．
C．D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）中，是邊上靠近的三等分點，則向量（ ）
A．B．
C．D．
例題4．（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，，，
（1）如圖1，如果，分別是，的中點，試用分別表示.
（2）如圖2，如果是與的交點，是的中點，試用表示.
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（多選）（2022·高一課時練習）如圖所示，設是平行四邊形的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內所有向量的基底的是（ ）
A．與B．與C．與D．與
類型二：用平面向量基本定理求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）中，點是的中點，點為上一點，與交于點，且，.則（ ）.
A．B．C．D．
例題2．（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
例題3．（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，點，分別滿足，．若，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
例題4．（2023·全國·高三專題練習）在中，點是線段上任意一點（不包含端點），若，則的最小值是________.
同類題型演練
1．（2023·全國·鄭州中學校考模擬預測）在中，點在邊上，且，點在邊上，且，連接，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，是的中線.是上的一點，且，若，其中，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習）在中，是上一點，，是線段上一點，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四邊形為平行四邊形，，若，則的值為_________．
類型三：平面向量坐標運算
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）設，，，若，則______．
例題2．（2023·高一課時練習）集合，，則等于（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·高一課時練習）己知點，，，設，，，且，，
(1)求；
(2)求滿足的實數(shù)的值．
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習）已知點，則滿足的的坐標為______.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知平行四邊形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如圖建立直角坐標系，求和的坐標.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).設=，=，=，且=3，=-2.
（1）求3+-3;
（2）求滿足=m+n的實數(shù)m，n;
（3）求M，N的坐標及的坐標.
類型四：由向量線性運算解決最值和范圍問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習）在等腰直角中，為斜邊的中點，點為內一點（含邊界），若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）在矩形中，，，動點在以點為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（ ）
A．3B．C．D．2
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知點.
(1)已知點，以為一組基底來表示；
(2)若，且點在第四象限，求的取值范圍.
同類題型演練
1．（2022·高一課時練習）如圖，四邊形是正方形，延長至，使得.若動點從點出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，其中，下列判斷正確的是（ ）
A．滿足的點必為的中點.
B．滿足的點有且只有一個.
C．的最大值為3.
D．的最小值不存在.
2．（2022春·湖北荊州·高一沙市中學校考期中）在直角梯形中，，，，，，分別為，的中點，點在以為圓心的圓弧上運動，若，求的取值范圍．
類型五：平面向量數(shù)量積的坐標表示
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）是邊長為的正方形，、分別是、的中點，則_____.
例題2．（2023秋·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習）在中，，斜邊，點滿足，則（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為3，則圖③中的值為（ ）
A．B．C．6D．
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習）在邊長為2的正方形中，是的中點，則（ ）
A．2B．C．D．4
2．（2023·高一課時練習）已知為互相垂直的單位向量，且，，那么______．
3．（2023·全國·高三專題練習）＝（2，1），＝（2，－1），＝（0，1），則＝______；＝______.
類型六：向量的平行、垂直及應用
典型例題
例題1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，，，若，則的值為（ ）
A．2B．-2C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，且，是與同向的單位向量，則（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023秋·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，且，則實數(shù)的值為____________．
例題4．（2023·全國·高三專題練習）已知向量
(1)若求的坐標；
(2)若（5－2）⊥（＋），求與的夾角．
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，若，則銳角等于（ ）
A．15°B．30°
C．45°D．60°
2．（2023·全國·模擬預測）已知向量，，且//，則實數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量 ，若 與垂直，則λ＝（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
4．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知，，，若，則________．
類型七：利用坐標求模
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，則（ ）
A．B．2C．5D．
例題2．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）已知向量，若，則（ ）
A．B．C．D．
同類題型演練
1．（2023·高一課時練習）已知向量，若，則（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2023·高一課時練習）已知 ，，若，且，則實數(shù)a的值等于（ ）
A．1或2B．或1C．D．
類型八：向量的夾角及與向量夾角有關的參數(shù)問題
典型例題
例題1．（2022秋·河南洛陽·高三孟津縣第一高級中學校考階段練習）已知平面向量，，則，的夾角為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2022秋·四川成都·高三統(tǒng)考期中）已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．或D．-1
例題3．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學?？寄M預測）已知，，則與夾角的余弦值為________.
例題4．（2023·廣西柳州·二模）已知向量，，則與的夾角為__________.
例題5．（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）如圖， 正方形 中， 是 中點， 是 中點， 與 交于點 ， 求 的余弦值．
同類題型演練
1．（2022秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考開學考試）已知向量，且夾角的余弦值為，則（ ）
A．0B．C．0或D．
2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知向量，，則向量與向量的夾角為______．
3．（2023·高一課時練習）設向量，，若與的夾角大于，則實數(shù)的取值范圍為____________.
4．（2022秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知平面向量，，則平面向量與的夾角為______.
5．（2023·高一課時練習）已知，，，，求與的夾角．
類型九：平面向量夾角為銳角（鈍角）問題
典型例題
例題1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學校聯(lián)考期末）已知向量，，則是向量，夾角為鈍角的（ ）
A．充要條件B．既不充分也不必要條件
C．必要不充分條件D．充分不必要條件
例題2．（多選）（2022·高一單元測試）已知向量，，，若為銳角，則實數(shù)可能的取值是（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·高一課時練習）已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____;
例題4．（2022春·遼寧·高一遼師大附中校考階段練習）已知向量，向量．
(1)求與的夾角；
(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍．
同類題型演練
1．（2023·高一課時練習）若分別是軸正方向上的單位向量，且，，若，的夾角為鈍角，則實數(shù)m的范圍為______．
2．（2023·高一課時練習）設向量，，若與的夾角大于，則實數(shù)的取值范圍為____________.
3．（2022·吉林·東北師大附中校考模擬預測）向量，，若的夾角為鈍角，則t的范圍是________．
4．（2022·上?！じ呷y(tǒng)考學業(yè)考試）已知，，如果與的夾角是鈍角，則的取值范圍是___________
類型十：利用坐標求向量數(shù)量積的最值，范圍
典型例題
例題1．（2023秋·北京西城·高三統(tǒng)考期末）在中，．為邊上的動點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習）正方形的邊長為2，以為直徑的圓，若點為圓上一動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023秋·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為______.
例題4．（2023秋·天津河西·高三?？计谀┰谒倪呅沃?，已知．點是線段上的點，且，則_______．若是線段上的動點，則的最小值為_______．
同類題型演練
1．（2022秋·浙江寧波·高三校聯(lián)考期末）已知中，，，，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）在矩形ABCD中，，點E為邊AB的中點，點F為線段BC上的動點，則的取值范圍是_________．
3．（2022秋·山西晉城·高三晉城市第一中學校?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，且是線段上的動點，且，則的最小值為__________.
4．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知M是邊長為1的正的邊AC上的動點，N為AB的中點，則的最大值是_____.
類型十一：利用坐標求向量的模的最值
典型例題
例題1．（2022春·廣東韶關·高一?？茧A段練習）已知向量，，，則當時，的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
例題2．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知在直角梯形中，，，，，是腰上的動點，則的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例題3．（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）如圖，為矩形邊中點，，分別在線段、上，其中，，，若，則的最小值為__________．
同類題型演練
1．（2022春·西藏拉薩·高一校聯(lián)考期末）已知向量，則的取值范圍是（ ）
A．B．[0，2 ]
C．[1，2]D．
2．（2023·全國·高三專題練習）平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是___．
3．（2022秋·江西宜春·高三江西省豐城中學?？茧A段練習）在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1，0)和點B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O為坐標原點．
（1）若θ＝，設點D為線段OA上的動點，求的最小值；
類型十二：新定義題
1．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)學家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習）如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則以下結論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習）黃金分割〔〕是一種數(shù)學上的比例關系.黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值.應用時一般取，就像圓周率在應用時取一樣.高雅的藝術殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農神廟就是一個很好的例子，達芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為其實有關“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國數(shù)學家獨立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點，，，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·高一課時練習）我校八角形校徽由兩個正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進取”之精神，如圖，在抽象自“南開校徽”的多邊形中，已知其由一個正方形與以該正方形中心為中心逆時針旋轉后的正方形組合而成，已知向量，，則向量（ ）
A．B．
C．D．

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