第12講復(fù)數(shù)相關(guān)題型匯總-2023-2024高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點分類培優(yōu)講義(蘇教版必修第二冊)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第12講復(fù)數(shù)相關(guān)題型匯總【必備知識】一.數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù):集合中的數(shù),即形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,它滿足.全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集.2.復(fù)數(shù)的表示:通常用字母表示,即,這一表現(xiàn)形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.其中,分別叫做復(fù)數(shù)的實部、虛部.3.復(fù)數(shù)相等的充要條件:(1)且.)(2)且;(3)且.(.)(只有實數(shù)才能比較大小!)4.復(fù)數(shù)的分類:當時,是實數(shù);當時,是虛數(shù)(當時,是純虛數(shù)).5.復(fù)數(shù)的幾何意義:用直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,軸叫做實軸,軸叫做虛軸;顯然,實軸上的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示虛數(shù)..規(guī)定:相等的向量表示同一個復(fù)數(shù).6.復(fù)數(shù)的模(或絕對值):向量的模叫做,記作|z|或;7.共軛復(fù)數(shù)當兩個復(fù)數(shù)的實部相同,虛部互為相反數(shù)時, 這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作.虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是:.它們在復(fù)平面所對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱.顯然,. 二.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算1.復(fù)數(shù)的四則運算法則：(1) ; 滿足交換律、結(jié)合律.(2) ; 加法的逆運算. (3) ; 滿足交換律、結(jié)合律、分配律.(4) . 分母實數(shù)化:分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù). 2.加減法的幾何意義:向量加、減法的平行四邊形法則..(1)的幾何意義是復(fù)平面上兩點間的距離,即.(2)復(fù)平面上的兩點間的距離公式:.(3)當,表示復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡是以表示的點為圓心,半徑為的圓;單位圓.(4)當,表示復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡是以所表示的點為端點的線段的垂直平分線. 3.實系數(shù)一元二次方程的解對于實系數(shù)一元二次方程,令,則(1) 若; (2) (2)若,則;(3) 若,它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根;在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復(fù)數(shù)根:(虛根成對). 【典例剖析】類型一:復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．設(shè)集合，，，則，，間的關(guān)系為（）A． B． C． D． 2．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．-2 C． D． 3．對于復(fù)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則為純虛數(shù)B．若，則，C．若，則為實數(shù)D．若，則z不是復(fù)數(shù) 4．以下復(fù)數(shù)中是純虛數(shù)的是（）A． B． C． D．類型二:復(fù)數(shù)的四則運算1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．i B．-i C．1 D．-1 2．已知，則（）A． B． C． D． 3．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)可化簡為（）A． B． C． D． 4．已知i是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實數(shù)（）A．1 B． C．2 D． 5．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．1 C．2 D．類型三:利用復(fù)數(shù)的概念求參數(shù)1．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．－i C．i D．－1 4．設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件類型四:復(fù)數(shù)相等的條件求參數(shù)1．設(shè)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D． 2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．-i B．-1 C．0或-1 D．0或-i 3．已知復(fù)數(shù)，且，則（）A．3 B．0 C． D． 4．已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，則實數(shù)m的值為（）A．4 B．-1C．-1或4 D．-1或6 5．求滿足下列條件的實數(shù)，的值：(1)；(2)．類型五:復(fù)數(shù)的幾何意義1．已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．非零復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)的點位于（）A．實軸 B．虛軸 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 4．已知復(fù)數(shù).(1)求復(fù)數(shù)的實部、虛部、模長及表示復(fù)平面上的點的坐標；(2)若，試求實數(shù)、的值. 類型六:復(fù)數(shù)的模1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D． 2．已知m，，是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．4 C． D．3 3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，且z的實部小于虛部，則（）A． B．C． D． 4．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．2 C． D． 5．已知復(fù)數(shù)(1)若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第四象限，求實數(shù)的取值范圍及的最小值. 類型七:共軛復(fù)數(shù)1．已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D． 2．復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D． 3．已知復(fù)數(shù)z滿足條件，則（）A． B． C．或 D．或 4．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）．(1)若z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；(2)設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第一象限，求實數(shù)m的取值范圍．類型八:根據(jù)幾何意義求參數(shù)或模的范圍1．已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是（）A． B． C． D． 3．設(shè)，且，則的最小值為（）A．0 B．1 C． D． 4．當x復(fù)數(shù) 的模長的最小值是（）A．2 B． C．10 D．類型九:復(fù)數(shù)的軌跡問題1．世紀末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D． 2．已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）A．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓.B．復(fù)數(shù)的虛部為.C．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.D． 3．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．1 B． C．2 D．3 4．若z是復(fù)數(shù)，|z+2-2i|＝2，則|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）A． B． C． D． 5．設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中錯誤的是（）A． B．若，則的最大值為2C． D．若，則 6．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是（）A．5 B．9 C．7 D．3 類型十:復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根1．已知是關(guān)于x的方程的根，則實數(shù)（）A． B． C．2 D．4 2．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，則（）A．25 B．5 C． D．41 3．若關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程的兩個根分別是和，則這個一元二次方程可以是（）.A． B． C． D． 4．二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根，一個虛數(shù)根C．有一對共軛虛數(shù)根 D．有兩個虛數(shù)根【過關(guān)檢測】一、單選題1．已知關(guān)于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有實數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z等于（　?。?/span>A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i 2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A． B． C． D． 3．復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B． C． D． 4．復(fù)平面中有動點Z，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，則動點Z的軌跡為（）A．直線 B．線段 C．兩條射線 D．圓 5．若復(fù)數(shù)的實部與虛部分別為a，b，則點A(b，a)必在下列哪個函數(shù)的圖象上（）A． B．y＝C． D． 6．設(shè)關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中的兩個根為?，則下列結(jié)論中恒成立的是（）.A．和互為共軛復(fù)數(shù) B．，C． D．二、多選題7．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上 D．的虛部為 8．對任意復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．三、填空題9．若復(fù)數(shù)，，則的虛部為___________． 10．已知是復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)_________ 11．若，則取值范圍是______ 12．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：___________. 四、解答題13．計算下列各式的值.(1)；(2)；(3). 14．已知復(fù)數(shù)，，，，．(1)在如圖所示復(fù)平面內(nèi)，作出各復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量；(2)求各復(fù)數(shù)的模；(3)求各復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，并在復(fù)平面內(nèi)作出這些共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量． 15．求實數(shù)取何值時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點；(1)位于第二象限；(2)位于第一或第三象限；(3)在直線上． 16．設(shè)復(fù)數(shù)、滿足.(1)若、滿足，求、；(2)若，則是否存在常數(shù)，使得等式恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

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