1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
一個(gè)平面向量a能用一組基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.則稱它為向量的分解。當(dāng)e1，e2互相垂直時(shí)，就稱為向量的正交分解。
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)；|a|＝eq \r(x2＋y2).
3．向量平行的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?a＝λb? x1y2－x2y1＝0.
4．向量相等
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a＝b，則x1＝x2，y1＝y(tǒng)2，即坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等.
典例剖析
題型一 利用基向量表示其他向量
例1 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知eq \(AM,\s\up6(→))＝c，eq \(AN,\s\up6(→))＝d，試用c，d表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))
解析 設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b.
因?yàn)镸，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.
因而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝b＋\f(1,2)a,d＝a＋\f(1,2)b))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)?2d－c?，,b＝\f(2,3)?2c－d?，))即eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(2d－c)，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(2c－d)．
變式訓(xùn)練 如圖所示，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，A，B，C在一條直線上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(CB,\s\up6(→))，則c＝__________.
答案 c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b
解析 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(CB,\s\up6(→))，∴eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－3(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))．∴eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))，即c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b.
解題要點(diǎn) 用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．
題型二 平面向量的坐標(biāo)表示
例2 (1)設(shè)平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，則2a－3b＝__________.
(2) 若向量eq \(BA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(CA,\s\up6(→))＝(4，7)，則eq \(BC,\s\up6(→))＝________．
答案 (1) (－2，－6) (2) (－2，－4)
解析 (1)2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．(2) eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝(－2，－4)．
變式訓(xùn)練 已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2)))
解析 設(shè)D(x，y)，則由eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，得(4，3)＝2(x，y－2)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝4，,2(y－2)＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝\f(7,2).))
解題要點(diǎn) 求解向量相等問(wèn)題，常常借助方程(方程組)的思想.
題型三 向量共線
例3 (1)若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，則實(shí)數(shù)x＝________．
(2)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(2，y)，向量a＝(1,2)，若eq \(AB,\s\up8(→))∥a，則實(shí)數(shù)y的值為__________.
答案 (1) －6 (2) 7
解析 (1)a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.
(2)eq \(AB,\s\up8(→))＝(3，y－1)，a＝(1,2)，eq \(AB,\s\up8(→))∥a，則2×3＝1×(y－1)，解得y＝7.
變式訓(xùn)練 已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為________．
答案 eq \f(1,2)
解析 因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u(píng)＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，
又因?yàn)閡∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
即10x＝5，解得x＝eq \f(1,2).
解題要點(diǎn) (1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解．
當(dāng)堂練習(xí)
1．(2015江蘇)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．
答案 －3
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝2－5＝－3.
2．在OA為邊，OB為對(duì)角線的矩形中，eq \(OA,\s\up6(→))＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，則實(shí)數(shù)k＝________.
答案 4
解析 ∵eq \(OA,\s\up7(→))＝(－3,1)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(－2，k)，
∴eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)．
又eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))為矩形相鄰兩邊所對(duì)應(yīng)的向量，
∴eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，即eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝－3×1＋1×(k－1)＝－4＋k＝0，即k＝4.
3. 設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為__________.
答案 (4，－6)
解析 由題意知，4a＋3b－2a＋c＝0，
∴c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6).
4．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，4)，則eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))等于 __________.
答案 (－2,3)
解析 依題意得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－4,6)，
eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－4,6)＝(－2,3).
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.
答案 (0，－2)
解析 設(shè)D(x，y)，由題意知eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
即(x－6，y－8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－6＝－6，,y－8＝－10，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－2.))
課后作業(yè)
填空題
1． (2015新課標(biāo)Ⅰ文)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq \(BC,\s\up6(→))等于__________.
答案 (－7，－4)
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c則λ＝__________.
答案 eq \f(1,2)
解析 可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝eq \f(1,2).
3．已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為__________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋?－4?2)＝5，
∴與eq \(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq \f(\(AB,\s\up6(→)),5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
4．在?ABCD中，若eq \(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，對(duì)角線交點(diǎn)為O，則eq \(CO,\s\up7(→))等于__________.
答案 (－eq \f(1,2)，－5)
解析 eq \(CO,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→)))＝－eq \f(1,2)(1,10)＝(－eq \f(1,2)，－5)．
5．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝λeq \(AO,\s\up7(→))，則λ＝__________.
答案 2
解析 由平行四邊形法則知eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＝2eq \(AO,\s\up7(→))， ∴λ＝2.
6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝__________.
答案 (－4，－8)
解析 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
7．已知點(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，則與eq \(AB,\s\up7(→))共線的單位向量為__________.
答案 (－eq \f(5,13)，eq \f(12,13))或(eq \f(5,13)，－eq \f(12,13))
解析 因?yàn)辄c(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，所以eq \(AB,\s\up8(→))＝(－5,12)，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝13.
與eq \(AB,\s\up8(→))共線的單位向量為±eq \f(\(AB,\s\up8(→)),|\(AB,\s\up8(→))|)＝±eq \f(1,13)(－5,12)＝±(－eq \f(5,13)，eq \f(12,13))．
8．已知向量a＝(csα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，則tan(α－eq \f(π,4))等于__________.
答案 －3
解析 ∵a＝(csα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，∴eq \f(sinα,csα)＝eq \f(1,－2)，∴tanα＝－eq \f(1,2).
∴tan(α－eq \f(π,4))＝eq \f(tanα－1,1＋tanα)＝eq \f(－\f(1,2)－1,1－\f(1,2))＝－3.
9．已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(x,2)))，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝__________.
答案 4
解析 a－2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－2x，\f(x,2)－2))，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由題意得(8－2x)·(x＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－2))·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.
10．設(shè)a＝(1,2)，b＝(－2，y)．若a∥b，則|2a－b|＝______.
答案 4eq \r(5)
解析 ∵a∥b，∴y＋4＝0，∴y＝－4，∴2a－b＝(2,4)－(－2，－4)＝(4,8)，∴|2a－b|＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5).
11．已知向量a＝(2,3)，b＝(1,2)，且a，b滿足(a＋λb)∥(a－b)，則實(shí)數(shù)λ＝________.
答案 －1
解析 ∵a＋λb＝(2＋λ，3＋2λ)，a－b＝(1,1)，又(a＋λb)∥(a－b)，∴2＋λ＝3＋2λ，得λ＝－1.
二、解答題
12．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？
解析 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a(chǎn)－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
若向量ka＋b與向量a－3b共線，則必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－eq \f(1,3).
這時(shí)ka＋b＝(－eq \f(10,3)，eq \f(4,3))，所以ka＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)．即兩個(gè)向量恰好方向相反，
故存在實(shí)數(shù)k滿足條件，且k＝－eq \f(1,3).
13．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解析 (1)由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)).
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－3.))
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．

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