2. [2022周口模擬]如圖,AB是☉O的弦,點C在過點B的切線上,OC⊥OA,OC交AB于點P.若∠BPC=70°,則∠ABC的度數(shù)等于 (　　)A.75°B.70°C.65°D.60°
2.B　∵OA⊥OC,∴∠AOC=90°.∵∠BPC=70°,∴∠OPA=∠BPC=70°,∴∠A=90°-70°=20°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠A=20°.∵CB是☉O的切線,∴∠OBC=90°,∴∠ABC=90°-20°=70°.
4. 新情境 [2021青海中考]如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時的畫面,“圖上”太陽與海平線交于A,B兩點,他測得“圖上”圓的半徑為10厘米,AB=16厘米.若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘,則“圖上”太陽升起的速度為 (　　)A.1.0厘米/分B.0.8厘米/分C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分
5. 原創(chuàng)題如圖,點O是△ABC的內(nèi)心,過點O作EF∥AB,與AC,BC分別交于點E,F,若AE+BF=8,則EF的長為 (　　)A.4B.5C.8D.16
5.C　如圖,連接AO,BO,∵點O是△ABC的內(nèi)心,∴AO平分∠CAB,BO平分∠CBA,∴∠EAO=∠OAB,∠FBO=∠OBA.∵EF∥AB,∴∠EOA=∠OAB,∠FOB=∠OBA,∴∠EOA=∠EAO,∠FOB=∠FBO,∴AE=EO,BF=OF,∴EF=OE+OF=AE+BF=8.
二、填空題9. 如圖,AB,AC,BC都是☉O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分別為M,N,若MN=2,則BC的長為　　　　　.?
9.4　∵OM⊥AB,ON⊥AC,∴M,N分別是AB,AC的中點,∴MN是△ABC的中位線,∴BC=2MN=4.
10. [2022許昌模擬]如圖,☉O與△OAB的邊AB相切,切點為B.將△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B,使點O'落在☉O上,邊A'B交線段AO于點C.若∠AOB=70°,則∠ACB的度數(shù)為　　　　.?
10.100°　如圖,連接OO',∵☉O與△OAB的邊AB相切,∴OB⊥AB,∴∠OBA=90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得O'B=OB,∠A'BO'=∠ABO=90°,又OB=OO',∴△OBO'為等邊三角形,∴∠OBO'=60°,∴∠OBC=90°-60°=30°,∴∠ACB=∠AOB+∠OBC=70°+30°=100°.
11. [2021泰州中考]如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A的坐標(biāo)為(8,5),☉A與x軸相切,點P在y軸正半軸上,PB與☉A相切于點B.若∠APB=30°,則點P的坐標(biāo)為　　　　.?
12. 如圖,☉O的半徑為2,正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于☉O,對角線CE,DF相交于點M,則△MEF的面積是　　　.?
三、解答題14. [2022長沙實驗中學(xué)期中]如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,以點D為圓心,DA長為半徑的☉D與AC相交于點E.(1)求證:BC是☉D的切線.(2)若AB=5,BC=13,求CE的長.
14.(1)證明:如圖,過點D作DF⊥BC于點F,∵∠BAD=90°,BD平分∠ABC,∴AD=DF.∵AD是☉D的半徑,∴DF是☉D的半徑,又DF⊥BC,∴BC是☉D的切線.
16.(1)證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,∴∠D+∠ABC=180°.∵∠EBC+∠ABC=180°,∴∠D=∠EBC.∵AD是☉O的直徑,∴∠ACD=90°,∴∠D+∠CAD=90°,∴∠EBC+∠CAD=90°.∵CE⊥AE,∴∠ECB+∠EBC=90°,∴∠CAD=∠ECB.
(2)解:①四邊形ABCO是菱形.理由:∵CE是☉O的切線,∴OC⊥EC.∵AE⊥EC,∴∠E+∠ECO=180°,∴OC∥AE,∴∠ACO=∠BAC.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAD,∴∠BAC=∠CAD.∵∠CAD=∠ECB,∠CAD=30°,∴∠EBC=90°-30°=60°,∠BAO=∠BAC+∠CAD=60°,∴∠BAO=∠EBC,∴BC∥AO,∴四邊形ABCO是平行四邊形,又OA=OC,∴四邊形ABCO是菱形.
17. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,☉O1與x軸相切于點A(-3,0),與y軸交于B,C兩點,BC=8,連接AB,O1B.(1)求證:∠ABO1=∠ABO.(2)求AB的長.(3)如圖2,過A,B兩點作☉O2,與y軸的正半軸交于點M,與O1B的延長線交于點N,當(dāng)☉O2的大小變化時,得出下列兩個結(jié)論:①BM-BN的值不變;②BM+BN的值不變.其中有且只有一個結(jié)論正確,請判斷正確結(jié)論并證明.

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