8.6.3 平面與平面垂直第1課時(shí) 平面與平面垂直的判定一、選擇題1．在長(zhǎng)方體中，，，則二面角的大小是（    ）A．30o B．45o C．60o D．90o【答案】A【解析】由題意，作出長(zhǎng)方體的圖象，取中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)?/span>平面，所以即在平面上的投影，又平面，所以，因?yàn)?/span>，所以四邊形是正方形，為中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又平面，所以，即二面角，又，，所以，.故選：A2．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為(　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C．3．如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是　(　　)A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)E，F分別是AB,AP的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．同理平面，又,所以平面平面．因此A正確．對(duì)于B，因?yàn)?/span>,所以平面．又,所以平面，又平面，所以平面平面．因此B正確．對(duì)于C，由于平面平面，且與平面PAB交于EF，PB，∴所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角．因此C正確．對(duì)于D，由于FE,GE與AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角，因此D不正確．綜上選項(xiàng)D不正確．選D．4．已知是圓柱上底面的一條直徑，是上底面圓周上異于，的一點(diǎn)，為下底面圓周上一點(diǎn)，且圓柱的底面，則必有（    ）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】因?yàn)?/span>是圓柱上底面的一條直徑，所以，又圓柱的底面，所以，因?yàn)?/span>，所以平面.又平面，所以平面平面.    故選：B.5．（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．在棱上存在點(diǎn)M，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面【答案】ABC【解析】解：如圖，對(duì)于，取的中點(diǎn)，連接，∵側(cè)面為正三角形，，又底面是菱形，，是等邊三角形，，又，，平面，平面，故正確.對(duì)于，平面，，即異面直線與所成的角為90°，故正確.對(duì)于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，設(shè)，則，，在中，，即，故二面角的大小為45°，故正確.對(duì)于，因?yàn)?/span>與不垂直，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤.故選：6．（多選題）如圖，梯形中，，，，，將沿對(duì)角線折起.設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，并且平面平面.給出下面四個(gè)命題正確的：()A． B．三棱錐的體積為C．平面 D．平面平面【答案】CD【解析】如圖所示：為中點(diǎn)，連接 ，，得到 又故為等腰直角三角形平面平面， ，所以平面，所以C正確為中點(diǎn)，則平面 所以如果，則可得到平面，故 與已知矛盾.故A錯(cuò)誤三棱錐的體積為 .故B錯(cuò)誤在直角三角形中， 在三角形中， 滿足又 所以平面，所以平面平面，故D正確綜上所述：答案為CD 三、填空題7．在長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的二面角的正弦值是_________.【答案】【解析】畫(huà)出圖像如下圖所示，將平面延展成平面，將平面延展成平面，平面與平面相交于，且，所以是平面與平面所成的二面角.在中，所以.故答案為：8．如圖，在四棱錐中，底面且底面各邊都相等，是上一點(diǎn)， 當(dāng)點(diǎn)滿足           時(shí)，平面平面（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】連接，因?yàn)?/span>底面，所以,因?yàn)樗倪呅?/span>的各邊相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的與相交的直線即可，所以可填；故填．9．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，已知，將沿邊折起，折起后點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則翻折后的幾何體中有如下描述：①與所成角的正切值為；②；③；④平面平面，其中正確的命題序號(hào)為___________．【答案】③④【解析】作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示：∵AB=a,BE=a,∴AE=a.∴.∵BC∥DE，∴∠ABC是異面直線AB，DE所成的角，在Rt△ABC中, ,故①不正確；連結(jié)BD，CE，則CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD，∴CE⊥AB.故②錯(cuò)誤．三棱錐B?ACE的體積.故③正確．∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.故答案為③④．10．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，棱與棱的位置關(guān)系是_________，棱與平面的位置關(guān)系是__________，平面與平面的位置關(guān)系是_________.【答案】平行    垂直    垂直    【解析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，棱與棱平行，棱與DC,DH垂直，所以棱與平面垂直，長(zhǎng)方體的側(cè)面與底面垂直，故平面與平面垂直.三、解答題11．已知四棱錐的底面是菱形，，的中點(diǎn)是頂點(diǎn)在底面的射影，是的中點(diǎn)．　　　（1）求證：平面平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析（2）【解析】 (1)證明　∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，且M是AD的中點(diǎn)，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中點(diǎn)，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC?平面ABCD，∴PM⊥BC，而PM∩MB＝M，PM，MB?平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC?平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC.(2)解　　過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MC，連接HN，∵PM⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC?平面PMC，PM∩MC＝M，∴BH⊥平面PMC，∴HN為直線BN在平面PMC上的射影，∴∠BNH為直線BN與平面PMC所成的角，在菱形ABCD中，設(shè)AB＝2a，則MB＝AB·sin 60°＝a，MC＝＝a.又由(1)知MB⊥BC，∴在△MBC中，BH＝＝a，由(1)知BC⊥平面PMB，PB?平面PMB，∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，∴sin∠BNH＝＝＝.12．如圖在三棱錐中， 分別為棱的中點(diǎn)，已知.求證：（1）直線平面；（2）平面 平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由于分別是的中點(diǎn)，則有，又平面，平面，所以平面．（2）由（1），又，所以，又是中點(diǎn)，所以，，又，所以，所以，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面．      

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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