初中數(shù)學蘇科版八年級上冊2.5 等腰三角形的軸對稱性優(yōu)質(zhì)課ppt課件

這是一份初中數(shù)學蘇科版八年級上冊2.5 等腰三角形的軸對稱性優(yōu)質(zhì)課ppt課件，共60頁。PPT課件主要包含了5練習，數(shù)學活動等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2 . 5等腰三角形的軸對稱性
看到下邊三角形了嗎，它有何特點呢？我們今天來探討一下等腰三角形的性質(zhì).
第1課時 等腰三角形的性質(zhì)
把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)?
如圖(1)，在△ABC 中，AB ＝AC沿∠BAC 的平分線AD 把△ABD 翻折.
因為∠BAD＝∠CAD， 所以AB 落在射線 AC 上. 因為AB＝AC， 所以點 B 與點 C 重合， 從而△ABD 與△ACD 重合(2).
等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸.
由 △ABD 與△ACD 重合，可知∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD.
于是，我們得到如下定理：
等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.
你還可用什么方法證明上述定理?
作頂角的平分線，用“SAS”證明.
作底邊上的中線，用“SSS”證明.
也可以作底邊上的高，用“HL”證明.
幾何語言：如圖，在△ ABC 中， ∵ AB＝AC， ∴∠B ＝∠ C.
性質(zhì)1 等腰三角形的兩底角相等 (簡稱“等邊對等角”).
作用：是證明角相等的常用方法，應用它證角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.
性質(zhì)2 等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(簡稱“三線合一”).
(1) ∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ AD 平分∠ BAC，BD＝DC.(2)∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴ AD⊥BC，AD 平分∠BAC.(3)∵ AB＝AC，AD 平分∠BAC， ∴ BD＝DC，AD ⊥ BC．
如圖， 在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC. (1) 求∠ADB 的度數(shù)； (2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度數(shù)； (3) 若BC＝3 cm，求BD 的長.
(1) 在等腰三角形中，運用“三線合一”時，已知其中“一線”，就可以得到另外“兩線”. 根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)可以得到等線段、等角以及兩條線段互相垂直． (2) “等邊對等角”的前提是在同一個三角形中.
(1) 求∠ADB 的度數(shù)；
解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴ AD ⊥ BC， ∴∠ ADB＝90° .
(2) 若∠BAC＝100°，求∠B、∠C 的度數(shù)；
(3) 若BC＝3 cm，求BD 的長.
按下列作法，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形 ABC，使底邊 BC＝a，高AD＝h.
例 1 已知：如圖2－30，在△ABC 中，AB＝AC，點D 在BC 上，目AD＝BD. 求證：∠ADB＝∠BAC.
證明：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1(等邊對等角)∴∠C＝∠1.∵∠ADB 是△ADC 的外角，∴∠ADB＝∠C＋∠2.∴∠ADB＝∠1＋∠2＝∠BAC.
1. 在 △ABC 中，AB＝AC，點D在 BC 上. 如果∠BAD ＝∠CAD，那么AD⊥BC，BD＝CD； 如果 BD＝CD，那么∠_______＝∠_______，________⊥________； 如果 AD⊥BC，那么________________，________.
2. 在 △ABC 中，AB＝AC. (1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝_______°， ∠A＝_______°； (2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝ _______°， ∠C＝_______°； (3) 如果有一個角等于120°，那么∠A＝ _______°， ∠B ＝_______°，∠C ＝ _______°.
(4) 如果有一個角等于 50°，那么另兩個角等于多少度?
解：當頂角為 50°，即∠A ＝ 50°時，另兩個角∠B＝∠C ＝(180° － 50°) ÷2 ＝ 65°； 當?shù)捉菫?50°，如∠B＝50°時，則另兩個角∠C＝50°，∠A＝180° － 50° × 2 ＝ 80°.
3. 在如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC，∠BAC ＝ 110°， AD⊥BC. 求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度數(shù).
第2課時 等腰三角形的判定
試說出“等腰三角形的兩底角相等”這個命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題.
逆命題：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形. 這是一個真命題.
如圖，在△ABC 中，∠B＝∠C. 作△ABC 的角平分線AD. 由∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，AD＝AD，可證△ABD ≌ △ACD. 可知AB＝AC.
有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).
三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.
在△ ABC 中， ∵∠B＝∠C， ∴ AB＝AC.
等邊三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性質(zhì)外，還具有什么特殊的性質(zhì)?
等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸.
由AB＝AC，可證∠B＝∠C；由BA＝BC，可證∠C＝∠A.所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
等邊三角形的各角都等于 60°.
1. 如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形嗎?
由∠A＝∠B、∠B＝∠C，可證 AC＝BC、AB＝AC.所以 AB＝BC＝AC，△ABC是等邊三角形.
2. 有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形嗎? 為什么?
如果頂角是60°，那么兩個底角相等，也都是60°.
如果一個底角是60°那么另一個底角也是60°，并且頂角也是60°.
三個角都相等的三角形是等邊三角形. 有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形.
1. 如圖 ①，在一張長方形紙片上任意畫一條線段 AB，將紙片沿線段 AB 折疊(如圖②). 重疊部分的 △ABC 是等腰三角形嗎?試說明理由.
解：△ABC 是等腰三角形.
理由如下：由折疊，可知∠1＝∠2，由長方形對邊平行，可得∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴△ABC 是等腰三角形.
2. 圖中的每一個三角形都是等邊三角形，試畫出這個圖 形所有的對稱軸.
解：這個圖形有 6條對稱軸，對稱軸略.
3. 如圖，BD、CE 是等邊三角形ABC 的中線. 求∠1、∠2、∠3、∠4 的度數(shù).
∴∠CEB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°.∴∠1＝180°－∠CEB－∠ABD ＝180°－90°－30°＝60°.∴∠2＝∠1＝60°，∴∠3＝180°－∠1 ＝180°－60°＝120°，∴∠4＝∠3＝120°.
例2 已知：如圖 2－32，∠EAC 是△ABC的外角，AD 平分∠EAC，AD∥BC. 求證：AB＝AC.
證明：∵AD∥BC. ∴∠EAD＝∠B， ∠DAC＝∠C. ∴∠EAD＝∠DAC， ∴ ∠B＝∠C. ∴ AB＝AC(等角對等邊).
在圖中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD 平分∠EAC 嗎?試證明你的結論.
證明如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴AD 平分∠EAC.
第3課時 直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)
剪一張直角三角形紙片，如圖 2－33(1).
把紙片按圖 2－33(2) 所示的方法折疊，再把紙片展平后按圖 2－33(3)所示的方法折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)?
兩條折痕與斜邊相交于同一點.
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
在圖2－34 中，如果∠A＝30，那么BC與AB 有怎樣的數(shù)量關系?試證明你的結論.
1. 如圖，在Rt△ABC中，CD 是斜邊AB上的中線， DE⊥AC，垂足為 E. (1) 如果 CD＝2.4 cm，那么AB＝_____cm；
(2) 寫出圖中相等的線段和角.
解：相等的線段有 BD＝AD＝CD，CE＝AE； 相等的角有∠A＝∠ACD， ∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠ADE， ∠BCA＝∠DEC＝∠DEA.
2. 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，角平分線 BD、 CE 相交于點O. 求證：OB＝OC.
1. (1) 已知等腰三角形的周長為 10，底邊長為 4， 求它的腰長； (2) 已知等腰三角形的周長為 10，腰長為 4， 求它的底邊長；
解：10－4×2＝2，即它的底邊長為 2.
(3) 已知等腰三角形的周長為 12，一邊長為 5，求它的 另外兩邊的長.
2. 用三角尺畫一個等腰三角形的對稱軸，你有幾種畫法?
解：主要有4種畫法： ①用三角尺量出等腰三角形的底邊的長，找出中點，再過中點與頂角的頂點畫直線； ②用三角尺過頂角的頂點作底邊的垂線；
③折疊等腰三角形，使兩腰重合，用三角尺沿折痕畫直線； ④ 折疊三角形，分別讓底邊與兩腰重合，折痕即為等腰三角形的兩底角的平分線，過其交點與頂角的頂點作出直線，即為對稱軸.
3. 在等腰三角形 ABC 中，∠A＝4∠B，根據(jù)下列條件 分別求∠C的度數(shù) ： (1) ∠A是頂角；
解：∵△ABC 是等腰三角形，∠A 是頂角， ∴∠B＝∠C. 又∵∠A＝4∠B，∠A＋∠B＋∠C＝ 180°， ∴4∠B＋∠B＋∠B ＝ 180°. ∴∠B＝30°. ∴∠C＝30°.
(2) ∠A 是底角.
解：∵△ABC是等腰三角形，∠A是底角， 且∠A＝4∠B， ∴ ∠B 只能是頂角， ∴∠C＝∠A＝4∠B， ∵∠A＋∠B＋∠C＝ 180°， ∴4∠B＋∠B＋4∠B＝180°， ∴∠B＝20°. ∴∠C＝4∠B＝80°.
4. 如圖，在三角測平架中，AB＝AC，在 BC的中點 D 處 掛一重錘，讓它自然下垂。如果調(diào)整架身，使重錘線 正好經(jīng)過點 A，那么就能確認 BC 處于水平位置。 為什么?
解：∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC (等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線重合). 由題意知 AD 是重錘線所在的直線，所以 BC處于水平位置.
5. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，點D在AB 上，根 據(jù)下列條件分別求∠BCD的度數(shù)： (1) CD是△ABC的角平分線； (2) CD是△ABC的高； (3) CD ＝ AD； (4) CD ＝ CB.
(2)∵CD⊥AB， ∴∠BCD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.(3)∵CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD＝40°， ∴∠BCD＝70°－40°＝30°.(4)∵CD＝CB， ∴∠B＝∠BDC＝70°， ∴∠BCD＝180°－70°－70°＝40°.
6. 在△ABC中，∠A＝40. 當∠B為多少度時，△ABC是 等腰三角形?
解：當∠A 是頂角時，∠B等于70°，△ABC是等腰三角形；當∠A 是底角，∠B 也是底角時，∠B＝40°，△ABC 是等腰三角形；當∠A 是底角，∠C 是底角時，∠B ＝100°，△ABC 是等腰三角形.
7. 如圖，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°. (1) 求∠1和∠2的度數(shù)；
解：∵∠C＝36°，∠B＝72°， ∴∠BAC＝180°－72°－36°＝72°. ∵∠BAD＝36°， ∴∠1＝∠BAC－∠BAD＝36°， ∴∠2＝∠1＋∠C＝36°＋36°＝72°.
(2) 找出圖中的等腰三角形，并加以證明.
解：圖中的等腰三角形有 3個： △ABD，△ACD，△ABC.
證明如下： ∵∠2＝∠B＝72°， ∴ AD＝AB(等角對等邊) 即△ABD 是等腰三角形.
∵∠1＝∠C＝36°，∴ AD＝CD(等角對等邊). 即△ACD 是等腰三角形.∵∠BAC＝∠B＝72°，∴AC＝BC(等角對等邊)，∴△ABC 是等腰三角形.
8. 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， 點 D、E 在 BC 上，△DAB，△EAC. 求證：△AED是等邊三角形，
∴∠CAD＝120°－90°＝30°，∴∠ADE＝60°.同理，∠BAE＝30°，∠AED＝60°.∴∠EAD＝120°－∠BAE－∠CAD＝60°.∴∠EAD＝∠ADE＝∠AED，∴△AED 是等邊二角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).
9. 已知：如圖，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD. 求證：BD＝CD.
證明：如圖所示，連接 BC.
在△ABC 中， ∵AB＝AC. ∴∠ABC＝∠ACB(等邊對等角).又∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD－∠ABC＝∠ACD－∠ACB， 即∠CBD＝∠BCD. ∴ BD＝CD(等角對等邊).
10. 如圖，△ABC和△CDE 都是等邊三角形，且點 A、C、 E 在一條直線上，AD與BE 相等嗎? 證明你的結論.
解：AD＝BE.證明如下：∵△ABC與△CDE 都是等邊三角形，∴ AC＝BC，CD＝CE， ∠ACB＝∠DCE＝60°.
11. 如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC 的中點. (1) AB＝10，AC＝8，求四邊形 AEDF 的周長； (2) EF與AD 有怎樣的位置關系? 證明你的結論.
(1) AB＝10，AC＝8，求四邊形 AEDF 的周長；
∴ DE，DF 分別為 Rt△ABD 和Rt△ACD 斜邊上的中線.∴ DE＝AB＝5，DF＝AC＝4 (直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，∴四邊形AEDF 的周長為 AE＋ED＋DF＋FA＝5＋5＋4＋4 ＝18.
證明如下：∵DE為 Rt△ABD斜邊上的中線， ∴AE＝DE. ∴點E在AD的垂直平分線上(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上). 同理，點F也在AD的垂直平分線上. ∴ EF垂直平分AD(兩點確定一條直線).
(2) EF與AD 有怎樣的位置關系? 證明你的結論.
12. 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上， 且 AE＝CF . 求證：DE＝DF.
證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等邊對等角).∵∠ACB＝90，D是AB 的中點，
∴CD＝AD＝BD (直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).∴∠B＝∠DCB，∴∠DCB＝∠A.在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF.
小學里已經(jīng)學過：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形稱為梯形，平行的一組對邊稱為底，不平行的一組對邊稱為腰.
如圖(1)，在等腰三角形紙片 ABC 上，畫底邊 BC 的平行線 DE，可得到一個梯形 DBCE. 由∠B＝∠C，DE // BC， 可知∠ADE＝∠AED，于是 AD ＝AE. 又AB＝AC，從而 DB＝ EC. 像梯形 DBCE，兩腰相等的梯形稱為等腰梯形.
如果把如圖(1)的等腰三角形紙片 ABC 沿頂角平分線 AM 折，那么AB與AC 重合，由于AD＝AE，可知點D與點E 重合 (如圖(2))，于是 MB＝MC，ND＝NE。
由此，我們可以得到如下結論：
等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸. 等腰梯形在同一底上的兩個角相等. 等腰梯形的對角線相等.
利用等腰梯形與等腰三角形的內(nèi)在聯(lián)系，還可以研究：具備什么條件的梯形是等腰梯形?
如圖(3)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C.
若 BA、CD 的延長線交于點 E，則 ∠EAD ＝∠B＝∠C＝∠EDA，所以△EAD、△EBC 都是等腰三角形，于是 EB－EA ＝ EC－ED，即AB＝DC，梯形 ABCD 是等腰梯形.
如圖(4)，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC＝BD.
若過點D作 DE∥AC，交 BC 的延長線于點E，則可證 △ADC≌△ECD，得 DE＝AC＝DB. 所以∠DBC＝∠E＝∠ACB. 于是，由△ABC≌△DCB. 可得 AB＝DC，梯形ABCD 是等腰梯形.
由此可知： 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形. 對角線相等的梯形是等腰梯形.
折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法. 例如，在△ABC 中，AB＞AC(如圖 2－35(1))，怎樣證明∠C＞∠B 呢?
把AC沿∠A的平分線 AD 翻折，因為 AB＞AC，所以點 C 落在AB上的點C處(如圖2－35 (2)). 于是，由∠ACD＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B.
請選用下面提供的活動材料，折紙并證明. 1.用一張正方形紙片折等邊三角形.
(1) 如圖 2－36，把正方形紙片 ABCD 對折后再展開，折痕為 EF；
(2) 如圖 2 － 37，將點A翻折到EF 上的點A處，且使折痕過點 B；
(3) 如圖2－38，沿 A′C 折疊，得△A′BC(如圖2－39).
你能證明 △A′BC 是等邊三角形嗎?
2. 用紙條折一個正五邊形.
(1) 把紙條打好一個結(如圖2－40)，再拉緊壓平 (如圖2－41)；
(2) 沿圖2－42中的虛線剪開，就得五邊形ABCDE (如圖2－43).
各邊相等、各角相等的五邊形是正五邊形。你能證明五邊形 ABCDE 是正五邊形嗎?