3 . 3勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
從遠(yuǎn)處看斜拉橋，可以發(fā)現(xiàn)有許多直角三角形.
如圖，已知橋面以上的索塔 AB 的高，怎樣計(jì)算拉索 AC、AD、AE、AF、AG 的長(zhǎng)?
分別量出 BC，CD(或 BD)，DE(或 BE)，EF(或BF)，BG 的長(zhǎng)，由于已知高 AB 的長(zhǎng)，因此分別在Rt△ABC，Rt△ABD，Rt△ABE，Rt△ABF，Rt△ABG中，利用勾股定理即可求出AC，AD，AE，AF，AG的長(zhǎng).
常見(jiàn)的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)類(lèi)型：
(1) 已知直角三角形的兩邊求第三邊；(2) 已知直角三角形的一邊，確定另外兩邊的關(guān)系；(3) 證明含有平方關(guān)系的幾何問(wèn)題；(4) 對(duì)于一些非直角三角形的實(shí)際問(wèn)題，首先要建立直角三角形模型，然后利用勾股定理構(gòu)建方程或方程組解決.
運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：1. 從實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形；2. 確定要求的線段所在的直角三角形；3. 找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系；4. 求得結(jié)果.
例 1 《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何?”題意是：一根竹子原高 1丈(1 丈＝10尺)，中部有一處折斷，竹檔觸地面處離竹根 3 尺，試問(wèn)折斷處離地面多高?
解：如圖，竹子在點(diǎn) A 處折斷，竹梢點(diǎn) B 著地，△ABC 是直角三角形. 設(shè)AC＝x尺，則AB＝(10－x)尺由勾股定理，得 x2＋32＝ (10－x)2. 解得 x＝4.55. ∴折斷處離地面 4.55 尺.
一架長(zhǎng) 5 m 的梯子，斜靠在一豎直墻上，這時(shí)梯足距墻腳 3 m，若梯子的頂端下滑1 m，則梯足將滑動(dòng) ( ) A. 0 m B. 1 m C. 2 m D. 3 m
例2 如圖，AD 是△ABC 的中線，AD＝24，AB＝26，BC ＝ 20. 求 AC .
如圖， 在△ABC 中，D 是AB 邊的中點(diǎn)，DE⊥AB 于點(diǎn)D， 交AC 于點(diǎn)E， 且 AE2 －CE2＝BC2. (1) 試說(shuō)明：∠C＝90°； (2) 若DE＝6，BD＝8，求CE 的長(zhǎng)．
解：如圖所示，連接BE， ∵ D 是AB 邊的中點(diǎn)，DE⊥AB 于點(diǎn)D， ∴ DE 垂直平分AB， ∴ AE＝BE．又∵ AE2 － CE2＝BC2， ∴ BE2 － CE2＝BC2，即BE2＝BC2＋CE2． ∴△ BCE 是直角三角形，且∠C＝90°；
(1) 試說(shuō)明：∠C＝90°；
解：在Rt△BDE 中，∠BDE＝90°， DE＝6，BD＝8，由勾股定理，得62＋82＝BE2．則BE＝10， ∴ AE=10．設(shè) CE＝x，則AC＝10＋x，而AB＝2BD＝16．
(2) 若DE＝6，BD＝8，求CE 的長(zhǎng)．
在Rt△ABC 中，BC2＝AB2 － AC2 ＝162 －(10＋x)2，在Rt△BCE 中，BC2＝EB2－EC2 ＝102－x2．∴ 162 －(10＋x)2＝102 － x2．解得x＝2.8， ∴ CE＝2.8．
1. 計(jì)算圖中四邊形 ABCD 的面積.
解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD2＝AD2＋AB2 ＝122＋162＝400， ∴BD＝20.
∵BD2＋CD2＝202＋152＝625， BC2＝252＝625，∴BD2＋CD2＝BC2，∴△BCD 是直角三角形， 且∠BDC 為直角.
2. 一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的比為3∶4∶5，它的周長(zhǎng)是60cm. 求這個(gè)三角形的面積.
解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 3x cm，4x cm，5x cm. 由題意得 3x＋4x＋5x＝60， 解得 x＝5. ∴三角形的三邊長(zhǎng)分別為15 cm，20 cm，25 cm.
1. 如圖，起重機(jī)吊運(yùn)物體，BC＝7.5m，AC＝19.5m. 求AB的長(zhǎng).
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB2＝AC2－BC2 ＝19.52－7.52 ＝324，∴AB＝18 m.∴AB的長(zhǎng)為18 m.
2. 如圖，育苗棚的頂部是矩形，求育苗棚頂部塑料薄膜 的面積.
解：設(shè)育苗棚頂部矩形的寬為x m， 由勾股定理， 得x2＝22＋1.52＝6.25， 解得 x＝2.5. 2.5×20＝50(m2). ∴育苗棚頂部塑料薄膜的面積為50 m2.
3. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， AB的垂直平分線分別交AB、AC 于點(diǎn)D、E. 求 AE、EC 的長(zhǎng).
解：如圖所示，連接BE.
設(shè) AE＝x，則 EC＝12－x.∵DE是AB的垂直平分線，∴BE＝AE＝x.
4. 如圖，以 Rt△ABC 的三邊為直徑的 3個(gè)半圓的面積之 間有什么關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：分別以?xún)蓷l直角邊為直徑的兩個(gè)半圓面積的和等于以斜邊為直徑的半圓面積.
勾股定理是數(shù)學(xué)史上非常重要的一個(gè)定理。 2 000 多年來(lái)，人們對(duì)它進(jìn)行了大量的研究，至今已有幾百種證明方法. 下面是歐幾里得編纂的《原本》中證明勾股定理的方法：
如圖，四邊形 ABFE、AJKC、BCIH 分別是以 Rt△ABC 的三邊為一邊的正方形.
過(guò)點(diǎn)C作AB 的垂線，交AB 于點(diǎn)D，交FE 于點(diǎn)G，連接 HA、CF.
∴ △ABH 的面積＝△FBC 的面積. ∴ 2△ABH 的面積＝2△FBC 的面積，即 正方形 BCIH 的面積 ＝矩形 BFGD 的面積.同理，正方形 AJKC 的面積 ＝矩形 DGEA 的面積.
∴ 正方形 ABFE 的面積＝ 矩形 BFGD 的面積＋矩形 DGEA 的面積＝ 正方形 BCIH 的面積＋正方形 AJKC 的面積，即 c2＝a2＋b2.
直角三角形的三邊的長(zhǎng)，有的都是整數(shù)(即三邊的長(zhǎng)是“勾股數(shù)”有的不都是整數(shù)，例如：
勾股數(shù)有多少?勾股數(shù)有規(guī)律嗎?
活動(dòng)1 試構(gòu)造 5 組勾股數(shù). 構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找 3 個(gè)正整數(shù)，使它們滿足“兩個(gè)數(shù)的平方和(或差)等于第三個(gè)數(shù)的平方”，即滿足以下形式：( )2＋( )2＝( )2； ①或( )2－( )2＝( )2； ②
要滿足上述①、②的形式，不妨從乘法公式入手。我們已經(jīng)知道：(x＋y)2－ (x－y)2＝4xy. ③ 如果等式③的右邊也能寫(xiě)成“( )2”的形式，那么它就符合②的形式。
因此，只要設(shè) x＝m2，y＝n2，③式就可以化成：(m2＋n2)2－(m2－n2)2＝(2mn)2. 于是，當(dāng)m、n為任意正整數(shù)，且m＞n時(shí)，“m2＋n2、m2－n2 和 2mn”就是勾股數(shù)。 根據(jù)勾股數(shù)的這種表達(dá)式，就可以找出無(wú)數(shù)組勾股數(shù).
活動(dòng) 2 在下表中填寫(xiě)勾股數(shù)：
活動(dòng) 3 一位數(shù)學(xué)家在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中，用 2n2＋2n＋1(n 為任意正整數(shù))表示勾股數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)，你能找出另外兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式嗎?

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3.3 勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

版本： 蘇科版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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