3 . 2勾股定理的逆定理
勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a2＋b2＝c2
我們知道直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 反過來，如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形嗎?
如圖 3－7(1)，在△ABC中，a2＋b2＝c2，△ABC 是否為直角三角形?
可以用如下方法證明△ABC 是直角三角形：
畫Rt△A′B′C′，使∠C ＝90，BC′＝a，AC′＝b (如圖3－7(2)).
根據(jù)勾股定理，可得AB2 ＝a2＋b2因為 AB2＝a2＋b2，所以 A′B′2 ＝AB2，A′B′＝ AB.根據(jù)“SSS”，可證△ABC≌△A′B′C′.于是，∠C＝∠C′＝90°， △ABC 是直角三角形.
勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長分別為 a、b、c，且 a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形.
滿足關(guān)系 a2＋b2＝c2 的3個正整數(shù) a、b、c 稱為勾股數(shù).
判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形： (1) 在△ABC 中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2) 在△ABC 中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； (3) 一個三角形的三邊長 a、b、c 滿足 a∶b∶c ＝ 3∶4∶5 .
判斷一個三角形是不是直角三角形有兩種方法：1. 如果已知條件與角度有關(guān)，那么可借助三角形的內(nèi)角和定理判斷是否有一個內(nèi)角是直角；2. 如果已知條件與邊有關(guān)，一般利用勾股定理的逆定理，通過計算得出三邊的數(shù)量關(guān)系，判斷三角形的形狀.
(1) 在△ABC 中，∠A＝25°，∠C＝65°；
解：在△ABC 中， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∠A＝25°，∠C＝65°， ∴∠B＝180°－25°－65°＝90°， ∴ △ABC 是直角三角形.
(2) 在△ABC 中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
解：在△ABC 中， ∵ AC2＋BC2＝122＋162 ＝202＝AB2， ∴ △ ABC 是直角三角形.
(3) 一個三角形的三邊長 a、b、c 滿足 a∶b∶c ＝ 3∶4∶5 .
解：設a＝3x，則b＝4x，c＝5x. ∵ (3x)2＋ (4x)2＝ (5x)2， 即 a2＋b2＝c2， ∴ △ABC 是直角三角形.
利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟
(1)“找”：找出三角形三邊中的最長邊； (2)“算”：計算其他兩邊的平方和與最長邊的平方； (3) “判”：若兩者相等，則這個三角形是直角三角 形，否則不是.
已知 a、b、c 為△ABC 的三邊長，且滿足：a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷△ABC 的形狀.
解：∵ a2c2－b2c2=a4－b4， ∴ c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2+b2), 即(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0.
易錯提醒： 兩個因式的積為0，則有一個因式為0 和兩個因式都為0兩種情況；判斷三角形形狀時，不僅要考慮是否為直角三角形，還要考慮是否為等腰三角形. 本題易丟掉情況(2)，在化簡過程中沒有考慮到a2－b2＝0的情況就直接在等式兩邊除以一個可能為0 的數(shù)，從而導致了錯誤.
(1) 當a2－b2 ≠ 0 時，則有c2＝a2＋b2. ∴△ABC 是直角三角形.(2)當a2－b2＝0，即a＝b 時，若a2＋b2－c2≠0，則△ABC 是等腰三角形；若a2＋b2－c2＝0，則△ABC是等腰直 角三角形. 綜上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
美國哥倫比亞大學圖書館收藏著一塊編號為“普林頓 322”(plimptn322)的古巴比倫泥板.
泥板上的一些神秘符號揭示了什么奧秘呢?
經(jīng)過專家的潛心研究，發(fā)現(xiàn)這塊泥板文書實際是一張表格，表格里是些整數(shù)，計算考證表明，表格中的兩列數(shù)字恰好分別是直角三角形的斜邊和一條直角邊的長，運用勾股定理算得另一條直角邊的長(圖中左邊的一列)，竟然也是整數(shù)!圖中的數(shù)組都是勾股數(shù).
現(xiàn)在，人們通過研究發(fā)現(xiàn)：勾股數(shù)有無數(shù)多組.
勾股數(shù)必須同時滿足兩個條件：
(1) 三個數(shù)都是正整數(shù)；(2) 兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.
判斷一組數(shù)是否為勾股數(shù)的一般步驟
(1)“看”：看是不是三個正整數(shù)；(2)“找”：找最大數(shù)；(3)“算”：計算最大數(shù)的平方與兩個較小數(shù)的平方和；(4) “判”： 若兩者相等， 則這三個數(shù)是一組勾股數(shù)； 否則，不是一組勾股數(shù).
1. 勾股數(shù)有無數(shù)組； 2. 如果 a，b，c 是一組勾股數(shù)， 那么 na，nb，nc (n 為正整數(shù))也是一組勾股數(shù).
下列四組數(shù)據(jù)，不是勾股數(shù)的是(　　) A. 3，4，5 　 B. 5，6，7 　 C. 6，8，10 　 D. 9，40，41
1. 如圖，把 12 段同樣長的繩子連成環(huán)狀，拉直點 B 到 點C 之間的 5 段繩子，然后在點 A 處將繩子拉緊， 則∠BAC 為直角. 你能說明其中的道理嗎?
解：∵AC2＋AB2＝32＋42 ＝52＝BC2. ∴△ABC 為直角三角形，且∠BAC＝90°.
2. 如果3條線段的長分別為a、b、c，且滿足c2＝a2－b2， 那么由這 3 條線段組成的三角形是直角三角形嗎? 為什么?
解：是直角三角形. 由c2＝a2－b2，移項，得 b2＋c2＝a2， 所以這3條線段組成的三角形是以 a為斜邊的直角三角形.
3. 下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎? 為什么?(1) 12，15，18；(2) 11，60，61；
解：不是勾股數(shù). 因為 122＋152≠182，所以12，15，18不是勾股數(shù).
解：是勾股數(shù). 因為 112＋602＝612，所以11，60，61是勾股數(shù).
(3) 15，36，39；(4) 12，35，36.
解：是勾股數(shù). 因為 152＋362＝392，所以15，36，39是勾股數(shù).
解：不是勾股數(shù). 因為 122＋352≠362，所以12，35，36不是勾股數(shù).
1. (1) 3、4、5 是一組勾股數(shù)，把這3個數(shù)分別擴大2倍， 所得的 3個數(shù)還是勾股數(shù)嗎? 擴大3 倍、4 倍和 k倍 呢? 證明你的結(jié)論；
證明如下： 把 3，4，5 分別擴大2倍，得到 6，8，10. ∵62＋82＝100，102＝100， ∴62＋82＝102. ∴把 3，4，5 分別擴大 2倍，得到的一組新數(shù)是勾股數(shù).
把 3，4，5 分別擴大3倍，得到 9，12，15. ∵92＋122＝225，152＝225， ∴92＋122＝152. ∴把 3，4，5 分別擴大3倍，得到的一組新數(shù)是勾股數(shù).
把 3，4，5 分別擴大4倍，得到 12，16，20. ∵122＋162＝400，202＝400， ∴122＋162＝202. ∴把 3，4，5 分別擴大4倍，得到的一組新數(shù)是勾股數(shù).
把 3，4，5 分別擴大 k 倍，得到 3k，4k，5k. ∵(3k)2＋ (4k)2＝25k2， (5k)2＝25k2 ， ∴ (3k)2＋ (4k)2 ＝ (5k)2. ∴把 3，4，5 分別擴大k倍，得到的一組新數(shù)是勾股數(shù).
(2) △ABC的三邊長分別是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n， c＝n＋1，△ABC是直角三角形嗎? 證明你的結(jié)論.
證明如下：∵a2＋b2＝(n2－1)2 ＋(2n)2 ＝ n4 － 2n2＋1＋4n2 ＝ n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝c2，∴△ABC 是直角三角形，且邊長C所對的角為直角.
2. 如圖，AD⊥BC，垂足為 D .如果CD＝1，AD＝2， BD＝4，那么∠BAC是直角嗎?證明你的結(jié)論
解：∠BAC 是直角.
證明如下： ∵AD ⊥ BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°.在 Rt△ADC 中， AC2＝AD2＋CD2＝22＋12＝5.在 Rt△ADB 中， AB2＝ AD2＋BD2＝22＋42＝20.
∴AC2＋AB2＝25.又∵BC2 ＝ 25， ∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△ABC 為直角三角形， 且∠BAC 是直角.

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3.2 勾股定理的逆定理

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