新教材2023年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第八章　8.4　8.4.1A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的表示圖形是(　A　)[解析]　選項(xiàng)B、C、D中直線a在平面α外，選項(xiàng)A中直線a在平面α內(nèi)．2．給出以下命題，其中真命題是(　C　)A．8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚B．平面的形狀是平行四邊形C．任何一個平面圖形都可以表示平面D．空間圖形中，后作的輔助線都是虛線[解析]　平面是平滑、無厚度、可以無限延展的，故A是假命題．平行四邊形是平面的一部分，它是不能無限延展的，所以B是假命題．有時根據(jù)具體情況，可以用其他的平面圖形，如矩形、圓、正方形等表示平面，故C正確．在空間圖形中，我們一般把看得見的線畫成實(shí)線，把被遮住的線畫成虛線或不畫，故D是假命題．3．下面四個說法(其中A、B表示點(diǎn)，a表示直線，α表示平面)：①∵A?α，B?α，∴AB?α；②∵A∈α，B?α，∴AB?α；③∵A?a，a?α，∴A?α；④∵A∈a，a?α，∴A∈α．其中表述方式和推理都正確的結(jié)論的序號是(　C　)A．①④ B．②③C．④ D．③[解析]　①錯，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；②錯，應(yīng)寫為AB?α；③錯，推理錯誤，有可能A∈α；④推理與表述都正確．4．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)為(　D　)A．0 B．1C．0或1 D．1或3[解析]　當(dāng)三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時，確定一個平面，當(dāng)三條直線是三棱柱側(cè)棱所在的直線時，確定三個平面．5．如圖所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C?l，AB∩l＝R，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的平面為γ，則β∩γ等于 (　C　)A．直線AC B．直線BCC．直線CR D．以上都不對[解析]　由C，R是平面β和γ的兩個公共點(diǎn)，可知β∩γ＝CR．二、填空題6．在長方體ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有__5__條．[解析]　由圖可知，既與AB共面又與CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5條．7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法正確的是__(2)(3)(4)__(填序號)．(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)．(2)設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1．(3)由A、C1、B1確定的平面是ADC1B1．(4)由A、C1、B1確定的平面與由A、C1、D確定的平面是同一個平面．[解析]　(1)錯誤．如圖所示，點(diǎn)A?平面CC1B1B，所以直線AC1?平面CC1B1B．(2)正確．如圖所示．因?yàn)?/span>O∈直線AC?平面AA1C1C，O∈直線BD?平面BB1D1D，O1∈直線A1C1?平面AA1C1C，O1∈直線B1D1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1．(3)(4)都正確，因?yàn)?/span>AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以A，B1，C1，D共面．8．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，則O、C、D三點(diǎn)的位置關(guān)系是__共線__．[解析]　∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD．∵l∩α＝O，∴O∈α．又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O、C、D三點(diǎn)共線．三、解答題9．如圖，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E．求證：B，E，D三點(diǎn)共線．[解析]　因?yàn)?/span>AB∥CD，所以AB，CD可確定一個平面，設(shè)為平面β，所以AC在平面β內(nèi)，即點(diǎn)E在平面β內(nèi)．而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知點(diǎn)B，D，E為平面α與平面β的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可得，B，D，E三點(diǎn)共線．10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F為AA1的中點(diǎn)，求證：(1)E、C、D1、F、四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．[解析]　(1)分別連接EF、A1B、D1C，∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B且EF＝A1B．又∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥CD1，從而EF∥CD1．EF與CD1確定一個平面．∴E、F、D1、C四點(diǎn)共面．(2)∵EF綊CD1，∴直線D1F和CE必相交．設(shè)D1F∩CE＝P，∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D．又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)．而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直線AD，∴P∈直線AD(基本事實(shí)3)，∴直線CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè)P表示一個點(diǎn)，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是(　D　)①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈bA．①② B．②③C．①④ D．③④[解析]　當(dāng)a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；如圖∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確，選D．2．(多選題)空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個數(shù)可能是(　BD　)A．0 B．1C．2 D．4[解析]　若有三點(diǎn)共線，則由直線與直線外一點(diǎn)確定一個平面，得不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個數(shù)為1個；若任意三點(diǎn)均不共線，則空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個數(shù)是1或4．故空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個數(shù)是1或4個．故選BD．3．(多選題)下列各圖均是正六棱柱，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個點(diǎn)共面的圖形是(　ABC　)[解析]　在選項(xiàng)A、B、C中，由棱柱、正六邊形、中位線的性質(zhì)，知均有PS∥QR，即在此三個圖形中P、Q、R、S共面，故選ABC．4．(多選題)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別是四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，則(　ACD　)A．A，C，O1，D1四點(diǎn)共面 B．D，E，G，F四點(diǎn)共面C．A，E，F，D1四點(diǎn)共面 D．G，E，O1，O2四點(diǎn)共面[解析]　因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別為四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中點(diǎn)，所以O1在平面ACD1內(nèi)，故A正確；因?yàn)?/span>E，G，F在平面BCC1B1內(nèi)，D不在平面BCC1B1內(nèi)，所以D，E，G，F四點(diǎn)不共面，故B錯誤；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四點(diǎn)共面，故C正確；連接GO2并延長，交A1D1于H，則H為A1D1的中點(diǎn)，連接HO1，則HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四點(diǎn)共面，故D正確．二、填空題5．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直線，P為空間中一點(diǎn)．若α∩β＝l，m?α、n?β、m∩n＝P，則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用符號表示為__P∈l__．[解析]　因?yàn)?/span>m?α，n?β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β．又α∩β＝l，所以點(diǎn)P在直線l上，所以P∈l．6．給出以下結(jié)論：①和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；③有三個不同公共點(diǎn)的兩個平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個平面．其中正確結(jié)論的個數(shù)是__0__．[解析]　如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AD與A′B′都與直線AA′相交，但是直線AD與A′B′不在同一平面內(nèi)，故①錯誤；在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線AB，AD，AA′兩兩相交，但是這三條直線不在同一平面內(nèi)，故②錯誤；當(dāng)兩個平面相交時，兩個平面可有無數(shù)個公共點(diǎn)，只有當(dāng)兩個平面有三個不共線的公共點(diǎn)時，兩個平面才重合，故③錯誤；兩兩平行的三條直線也可能在同一平面內(nèi)，故④錯誤．綜上可知，正確結(jié)論的個數(shù)是0．三、解答題7．一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面．[解析]　因?yàn)?/span>a∥b，所以a和b確定一個平面α．因?yàn)?/span>l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α，故l?α．又a∥c，所以a和c確定一個平面β．同理l?β．即l和a既在α內(nèi)又在β內(nèi)，且l與a相交，故α，β重合，即直線a，b，c，l共面．8．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l．(1)畫出直線l的位置；(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求線段PB1的長．[解析]　(1)延長DM交D1A1的延長線于E，連接NE，則NE即為直線l的位置．(2)∵M為AA1的中點(diǎn)，AD∥ED1，∴AD＝A1E＝A1D1＝a．∵A1P∥D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a，于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a．