第八章　8.5　8.5.2A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．直線l與平面α平行的充要條件是(　D　)A．直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)B．直線l與平面α內(nèi)的一條直線平行C．直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都平行D．直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)[解析]　無數(shù)個(gè)點(diǎn)不是所有的點(diǎn)，所以A不正確；由線面平行的判定定理知，缺少條件直線l在平面α外，所以B不正確；當(dāng)直線l在平面α內(nèi)時(shí)，滿足直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，但直線l與平面α不平行，所以C不正確；由直線與平面平行的定義知D正確．故選D．2．(2022·哈爾濱高一檢測(cè))已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是它們所在線段的中點(diǎn)，則滿足A1F∥平面BD1E的圖形個(gè)數(shù)為(　B　)A．0 B．1C．2 D．3[解析]　①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′與面BD1E只有一個(gè)交點(diǎn)D1，則A1F與平面BD1E不平行；②中，由于A1F∥D1E，而A1F?平面BD1E，D1E?平面BD1E，故A1F∥平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′與面BD1E只有一個(gè)交點(diǎn)D1，則A1F與平面BD1E不平行．3．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又點(diǎn)H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則(　B　)A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形[解析]　由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD，又點(diǎn)H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴HG∥BD且HG＝BD，∴EF∥HG且EF≠HG，故選B．4．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點(diǎn)G，H，則GH與AB的位置關(guān)系是(　A　)A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面[解析]　由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH．又∵EF∥AB，∴GH∥AB．5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則(　B　)A．MN∥PD B．MN∥PAC．MN∥AD D．以上均有可能[解析]　四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：MN∥PA．二、填空題6．如圖，在五面體FEABCD中，四邊形CDEF為矩形，M、N分別是BF、BC的中點(diǎn)，則MN與平面ADE的位置關(guān)系是__平行__．[解析]　∵M、N分別是BF、BC的中點(diǎn)，∴MN∥CF．又四邊形CDEF為矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE．又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE．7．已知直線b，平面α，有以下條件：①b與α內(nèi)一條直線平行；②b與α內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn)；③b與α無公共點(diǎn)；④b不在α內(nèi)，且與α內(nèi)的一條直線平行．其中能推出b∥α的條件有__②③④__．(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)[解析]　①中b可能在α內(nèi)，不符合；②和③是直線與平面平行的定義，④是直線與平面平行的判定定理，都能推出b∥α．8．(2022·揚(yáng)州高二檢測(cè))在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若過A，C，B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是__l∥A1C1__．[解析]　∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，∴AC∥平面A1B1C1D1．又平面ACB1經(jīng)過直線AC與平面A1B1C1D1相交于直線l，∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1．三、解答題9．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l．求證：l∥BC．[解析]　因?yàn)?/span>BC∥AD，BC?平面PAD．AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因?yàn)槠矫?/span>PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．(如圖)10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分別是B1D1，BC，SC的中點(diǎn)．求證：直線EG∥平面BDD1B1．[解析]　如圖所示，連接SB．∵E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB．又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a、b、c、…，那么這些交線的位置關(guān)系為(　D　)A．都平行 B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn) D．都平行或交于同一點(diǎn)[解析]　若l∥平面α，則交線都平行；若l∩平面α＝A，則交線都交于同一點(diǎn)A．2．如圖，在三棱錐S－ABC中，E、F分別是SB、SC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABC，則(　B　)A．EF與BC相交B．EF∥BCC．EF與BC異面D．以上均有可能[解析]　∵EF?平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC．3．(多選題)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是(　BCD　)[解析]　B選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；C選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；D選項(xiàng)中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ．故選BCD．4．(多選題)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過MN作一平面交底面三角形ABC的邊BC、AC于點(diǎn)E、F，則(　BD　)A．MF∥NEB．四邊形MNEF為梯形C．四邊形MNEF為平行四邊形D．A1B1∥EF[解析]　∵在?AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB．又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC．又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四邊形MNEF為梯形．故B正確．由A1B1∥MN，可得A1B1∥EF，故D正確．故選BD．二、填空題5．如圖，四邊形ABCD是空間四邊形，E，F，G，H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，則當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，AE∶EB＝__m∶n__．[解析]　∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m．同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n．6．如圖所示，在四面體ABCD中AB＝CD＝2，直線AB與CD所成角為90°，點(diǎn)E，F，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都與平面EFGH平行，則四邊形EFGH面積的最大值是__1__．[解析]　∵AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝GH，∴GH∥AB．同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，∴四邊形EFGH為平行四邊形．又AB⊥CD，故四邊形EFGH為矩形，設(shè)＝＝＝x(x∈[0,1])則FG＝2x，HG＝2(1－x)，∴S矩形EFGH＝4×x(1－x)＝－42＋1，故當(dāng)x＝時(shí)四邊形EFGH的面積最大為1．三、解答題7．如圖，在三棱臺(tái)DEF－ABC中，由AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．求證：BD∥平面FGH．[解析]　如圖，連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝O，連接OH．在三棱臺(tái)DEF－ABC中，由AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF∥GC且DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則O為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以OH∥BD．因?yàn)?/span>OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH．8．如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F．證明：EF∥B1C．[解析]　由正方形的性質(zhì)可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，從而B1C∥A1D．又A1D?平面A1DFE，B1C?平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE．又B1C?平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C． 

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