第八章　8.3　8.3.2A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．圓錐的軸截面是正三角形，那么，它的側(cè)面積是底面積的(　D　)A．4倍 B．3倍C．倍 D．2倍[解析]　設(shè)該圓錐軸截面正三角形的邊長為2r，則圓錐的底面圓半徑為r，母線長為2r，故S底＝πr2，S側(cè)＝·2πr·2r＝2πr2，所以S側(cè)＝2S底，即側(cè)面積是底面積的2倍．故選D．2．已知一個圓柱的表面積等于側(cè)面積的，且其軸截面的周長為16，則該圓柱的體積為(　B　)A．8π B．16πC．27π D．36π[解析]　設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則，解得．所以該圓柱的體積為V＝π×22×4＝16π．3．圓錐的表面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為(　C　)A．120° B．150°C．180° D．240°[解析]　設(shè)底面半徑為r，母線長為l，則πrl＋πr2＝3πr2，∴l＝2r，∴θ＝＝π．4．圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為(　A　)A．3 B．4C．5 D．6[解析]　由題可知V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3．5．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為(　C　)A． B．C．8π D．[解析]　設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為，∴截面圓的面積為S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π．二、填空題6．若圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是____．[解析]　易知圓錐的母線長為2，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝×2π×2，∴r＝1，高h＝＝．∴V圓錐＝πr2h＝π×＝．7．兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是____．[解析]　設(shè)大球的半徑為R，則有πR3＝2×π×13，R3＝2，所以R＝．8．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個圓臺的母線長為__13__cm．[解析]　如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C．在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝＝13(cm)．三、解答題9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．[解析]　該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．該組合體的體積V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝．10．如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積．[解析]　設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S．則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2．如圖所示易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝2π．∴S＝S底＋S側(cè)＝2π＋2π＝(2＋2)π．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．有粟若干，堆積在平地上，它底圓周長為12丈，高為1丈，問它的體積應(yīng)為多少粟？如圖，主人意欲賣掉該堆粟，已知圓周率約為3，一斛粟的體積約為2 700立方寸(單位換算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米賣324錢，一兩銀子1 000錢，則主人賣后可得銀子(　D　)A．200兩 B．400兩C．432兩 D．480兩[解析]　由底面圓的周長為12丈，高為1丈，得底面半徑r＝≈＝2(丈)，則體積V＝×πr2×h≈×3×22×1＝4(立方丈)＝4×106(立方寸)，故主人賣粟后可得銀子為×＝480兩．2．已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為(　A　)A．16π B．20πC．24π D．32π[解析]　設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝．由題意知，球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為r，則(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，則S球＝4πr2＝16π．故選A．3．(2022·全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若＝2，則＝(　C　)A． B．2C． D．[解析]　設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，則＝＝＝2，所以r1＝2r2，又＋＝2π，則＝1，所以r1＝l，r2＝l，所以甲圓錐的高h1＝＝l，乙圓錐的高h2＝＝l，所以＝＝＝．故選C．4．如圖所示的是一個封閉幾何體的直觀圖，則該幾何體的表面積為(　C　)A．7π cm2 B．8π cm2C．9π cm2 D．11π cm2[解析]　由題圖知該幾何體是一個圓柱挖去一個半球所得的組合體，圓柱的底面直徑與半球的直徑均為2 cm，圓柱的高為3 cm，故圓柱一個底面的面積為π×2＝π(cm2)，圓柱的側(cè)面積為2×π×3＝6π(cm2)，半球面面積為×4×π×2＝2π(cm2)，故該幾何體的表面積為S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．二、填空題5．(1)若一個正方體內(nèi)接于表面積為4π的球，則正方體的表面積等于__8__．(2)若一個球與棱長為a的正方體的各條棱相切，則球的表面積等于__2πa2__．[解析]　(1)設(shè)正方體棱長為x，球半徑為R，則S球＝4πR2＝4π，所以R＝1．因為正方體內(nèi)接于球，所以x＝2R＝2，所以x＝，所以S正＝6x2＝6×2＝8．(2)設(shè)球的半徑為r，則2r＝a，所以r＝，所以球的表面積等于4π×2＝2πa2．6．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為____．[解析]　如圖所示，在四棱錐V－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，也是圓柱下底面的中心，由四棱錐底面邊長為，可得OC＝1．設(shè)M為VC的中點，過點M作MO1∥OC交OV于點O1，則O1即為圓柱上底面的中心．∴O1M＝OC＝，O1O＝VO．∵VO＝＝2，∴O1O＝1．可得V圓柱＝π·O1M2·O1O＝π×2×1＝．三、解答題7．盛有水的圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為5 cm，兩個直徑為5 cm的玻璃小球都浸沒于水中，若取出這兩個小球，則水面將下降多少？[解析]　設(shè)取出小球后，容器中水面下降h cm，兩個小球的體積為V球＝2＝(cm3)，此體積即等于它們的容器中排開水的體積V＝π×52×h，所以＝π×52×h，所以h＝，即若取出這兩個小球，則水面將下降 cm．8．已知四面體的各面都是棱長為a的正三角形，求它外接球的體積及內(nèi)切球的半徑．[解析]　如圖，設(shè)SO1是四面體S－ABC的高，則外接球的球心O在SO1上．設(shè)外接球半徑為R．∵四面體的棱長為a，O1為正△ABC中心，∴AO1＝×a＝a，SO1＝＝＝a，在Rt△OO1A中，R2＝AO＋OO＝AO＋(SO1－R)2，即R2＝(a)2＋(a－R)2，解得R＝a，∴所求外接球體積V球＝πR3＝πa3．∴OO1即為內(nèi)切球的半徑，OO1＝a－a＝a，∴內(nèi)切球的半徑為a． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.3 簡單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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