第八章　8.3　8.3.1A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．若正方體的表面積為96，則正方體的體積為(　B　)A．48 B．64C．16 D．96[解析]　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．2．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a時(shí)，該三棱錐的表面積是(　A　)A．a2 B．a2C．a2 D．a2[解析]　因?yàn)閭?cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長(zhǎng)等于a，所以S表＝a2＋3××2＝a2．3．將一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了(　B　)A．6a2 B．12a2C．18a2 D．24a2[解析]　原來(lái)正方體表面積為S1＝6a2，切割成27個(gè)全等的小正方體后，每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為a，其表面積為6×2＝a2，總表面積S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2．4．棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點(diǎn)到截面與從截面到底面)兩部分，那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于(　B　)A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3[解析]　因?yàn)槠叫杏诶忮F底面的截面將棱錐的高分成1∶2兩部分，易得兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺(tái)體的側(cè)面積之比為1∶8，故選B．5．如圖所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分別為AC，AB的中點(diǎn)，平面EC′B′F將三棱柱分成體積為V1(棱臺(tái)AEF－A′C′B′的體積)，V2的兩部分，那么V1∶V2＝(　A　)A．7∶5 B．6∶5C．8∶3 D．4∶3[解析]　設(shè)三棱柱的高為h，底面面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh．因?yàn)?/span>E，F分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以S△AEF＝S，所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh．所以V1∶V2＝7∶5．二、填空題6．已知一個(gè)長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別是，，，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為_(kāi)___．[解析]　設(shè)長(zhǎng)方體從一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則三式相乘得(abc)2＝6，故長(zhǎng)方體的體積V＝abc＝．7．已知正三棱臺(tái)(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4 cm，側(cè)棱長(zhǎng)是 cm，則該三棱臺(tái)的表面積為_(kāi)_5＋9__cm2．[解析]　正三棱臺(tái)的表面積即上下兩個(gè)正三角形的面積與三個(gè)側(cè)面的面積和，其中三個(gè)側(cè)面均為等腰梯形，易求出斜高為 cm，故三棱臺(tái)的表面積為3××(2＋4)×＋×2×＋×4×2＝5＋9．8．若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是__2＋(答案不唯一)__．(只需寫(xiě)出一個(gè)可能的值)[解析]　由四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，如圖，可取三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，底面邊長(zhǎng)BC＝BD＝2，CD＝1．其表面積為2××2×＋2××1×＝2＋．故其表面積的一個(gè)可能值為2＋．三、解答題9．如圖，已知正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解析]　如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h′，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′．∵S側(cè)＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2．∴a＝h′．∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．∴32＋2＝h′2．∴h′＝2，∴a＝h′＝6．∴S底＝a2＝×62＝9，S側(cè)＝2S底＝18．∴S表＝S側(cè)＋S底＝18＋9＝27．10．如圖，棱錐的底面ABCD是一個(gè)矩形，AC與BD交于點(diǎn)M，VM是棱錐的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求錐體的體積．[解析]　∵VM是棱錐的高，∴VM⊥MC．在Rt△VMC中，MC＝＝＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm)．在Rt△ABC中，BC＝＝＝2(cm)．S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，∴V錐＝S底h＝×8×4＝(cm3)．∴棱錐的體積為 cm3．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若正方體八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是(　A　)A． B．C． D．[解析]　如圖所示，正方體的A′，C′，D，B的四個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)正四面體，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則正四面體棱長(zhǎng)為a．所以正方體表面積S1＝6a2，正四面體表面積為S2＝4××(a)2＝2a2，所以＝＝．2．已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為4和16，側(cè)棱長(zhǎng)為10，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為(　B　)A．80 B．240C．320 D．640[解析]　由題意可知，該棱臺(tái)的側(cè)面為上、下底邊長(zhǎng)分別為4和16，腰長(zhǎng)為10的等腰梯形，則該等腰梯形的高為＝8．∴等腰梯形的面積為×(4＋16)×8＝80，∴該棱臺(tái)的側(cè)面積S＝3×80＝240．故選B．3．已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，高為，則正三棱臺(tái)的側(cè)面積S1與底面面積之和S2的大小關(guān)系為(　A　)A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2 D．以上都不是[解析]　斜高h′＝＝，S1＝(C＋C′)h′＝(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5，所以S1＞S2．4．正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4，高與斜高的夾角為30°，則該四棱錐的側(cè)面積為(　A　)A．32 B．48C．64 D．[解析]　如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，連接AC，BD，交于O點(diǎn)，連接PO，取BC的中點(diǎn)E，連接PE，OE，易知PO為正四棱錐P－ABCD的高，PE為斜高，則OE＝PE，因?yàn)?/span>OE＝AB＝2，所以PE＝4，則S側(cè)＝4××4×4＝32．二、填空題5．某幾何體的直觀圖及其相應(yīng)的度量信息如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)_20＋4__．[解析]　由直觀圖可知，該幾何體的上部為一正四棱錐，下部為一正方體，正方體的棱長(zhǎng)為2，正四棱錐的底面為正方形，其邊長(zhǎng)為2，正四棱錐的高為1，所以此幾何體的表面積為5×2×2＋4××2×＝20＋4．6．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的多面體，它們的棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)為正三角形，六個(gè)為正方形，稱(chēng)這樣的多面體為二十四等邊體．若該二十四等邊體棱長(zhǎng)為1，則該二十四等邊體的體積為_(kāi)___．[解析]　由題知原來(lái)正方體棱長(zhǎng)為，則正方體的體積為2，又截去的8個(gè)三棱錐為全等三棱錐，都有三條互相垂直的棱長(zhǎng)且棱長(zhǎng)為，故截去體積為8××××2＝，則此二十四等邊體的體積V＝2－＝．三、解答題7．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．[解析]　設(shè)AB＝a，AD＝b，DD′＝c，則長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′的體積V＝abc，又S△A′DD′＝bc，且三棱錐C－A′DD′的高為CD＝a．∴V三棱錐C－A′DD′＝S△A′DD′·CD＝abc．則剩余部分的幾何體體積V剩＝abc－abc＝abc．故V棱錐C－A′DD′∶V剩＝∶＝1∶5．8．已知正三棱錐S－ABC，一個(gè)正三棱柱的一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)在棱錐的三條側(cè)棱上，另一底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為15 cm，底面邊長(zhǎng)為12 cm，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120 cm2．(1)求正三棱柱的高．(2)求棱柱上底面截得的棱錐與原棱錐側(cè)面積之比．[解析]　(1)如圖，設(shè)正三棱柱高為h，底面邊長(zhǎng)為x，則＝，所以x＝(15－h)．  ①又S三棱柱側(cè)＝3x·h＝120．所以xh＝40．  ②解①②得或故正三棱柱的高為10 cm或5 cm．(2)由棱錐的性質(zhì)得＝2＝或＝2＝． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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