第2課時(shí)  圓錐的側(cè)面積和全面積一、課前預(yù)習(xí) (5分鐘訓(xùn)練)1.圓錐的底面積為25π，母線長(zhǎng)為13 cm，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為________ cm，高為________ cm，側(cè)面積為________ cm2.2.圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10 cm的正三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為________ cm2，錐角為_________，高為________ cm.3.已知Rt△ABC的兩直角邊AC=5 cm，BC=12 cm，則以BC為軸旋轉(zhuǎn)所得的圓錐的側(cè)面積為_________ cm2，這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為_________ cm，面積為_________ cm2.4.如圖24-4-2-1，已知圓錐的底面直徑為4，母線長(zhǎng)為6，則它的全面積為__________.                     圖24-4-2-1                      圖24-4-2-2二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.糧倉(cāng)的頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐的底面直徑是4 m，母線長(zhǎng)為3 m，為防雨需在糧倉(cāng)的頂部鋪上油氈，那么這塊油氈的面積至少為(    )A.6 m2              B.6π m2              C.12 m2              D.12π m22.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為a的半圓，則圓錐的高為(    )A.a                 B. a            C.3a                  D.a3.用一張半徑為9 cm、圓心角為120°的扇形紙片，做成一個(gè)圓錐形冰淇淋的側(cè)面(不計(jì)接縫)，那么這個(gè)圓錐形冰淇淋的底面半徑是_________ cm.4.如圖24-4-2-2，已知圓錐的母線長(zhǎng)OA=8，地面圓的半徑r=2.若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)是______(結(jié)果保留根式).5.一個(gè)圓錐的高為3 cm，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，求：(1)圓錐母線與底面半徑的比；(2)錐角的大小；(3)圓錐的全面積.  三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.已知圓錐的母線與高的夾角為30°，母線長(zhǎng)為4 cm，則它的側(cè)面積為_________ cm2(結(jié)果保留π).2.如圖24-4-2-3，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6 m的正三角形ABC，母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是___________ m.(結(jié)果不取近似數(shù))                  圖24-4-2-3                    圖24-4-2-43.若圓錐的底面直徑為6 cm，母線長(zhǎng)為5 cm，則它的側(cè)面積為___________.(結(jié)果保留π)4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，其全面積為S1；把Rt△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其全面積為S2.那么S1∶S2等于(    )A.2∶3            B.3∶4           C.4∶9           D.5∶125.如圖24-4-2-4是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈燈罩的示意圖，則圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為____________ cm2(不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果用π表示).6.制作一個(gè)底面直徑為30 cm、高為40 cm的圓柱形無(wú)蓋鐵桶,所需鐵皮至少為(    )A.1 425π cm2         B.1 650π cm2         C.2 100π cm2         D.2 625π cm27.在半徑為27 m的廣場(chǎng)中央，點(diǎn)O的上空安裝了一個(gè)照明光源S，S射向地面的光束呈圓錐形，其軸截面SAB的頂角為120°(如圖24-4-2-5)，求光源離地面的垂直高度SO.(精確到0.1 m；=1.414，=1.732，=2.236，以上數(shù)據(jù)供參考)參考答案一、課前預(yù)習(xí) (5分鐘訓(xùn)練)1.圓錐的底面積為25π，母線長(zhǎng)為13 cm，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為________ cm，高為________ cm，側(cè)面積為________ cm2.思路解析：圓的面積為S=πr2，所以r==5(cm)；圓錐的高為=12(cm)；側(cè)面積為×10π·13=65π(cm2).答案：5  12  65π2.圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10 cm的正三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為________ cm2，錐角為_________，高為________ cm.思路解析：S側(cè)面積=×10π×10=50π(cm2)；錐角為正三角形的內(nèi)角，高為正三角形的高.答案：50π  60°  53.已知Rt△ABC的兩直角邊AC=5 cm，BC=12 cm，則以BC為軸旋轉(zhuǎn)所得的圓錐的側(cè)面積為__________ cm2，這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為__________ cm，面積為___________ cm2.思路解析：以BC為軸旋轉(zhuǎn)所得圓錐的底面半徑為5 cm，高為12 cm，母線長(zhǎng)為13 cm.利用公式計(jì)算.答案：65π  10π  65π4.如圖24-4-2-1，已知圓錐的底面直徑為4，母線長(zhǎng)為6，則它的全面積為__________.圖24-4-2-1思路解析：圓錐的全面積為側(cè)面積加底面積.答案：16π二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.糧倉(cāng)的頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐的底面直徑是4 m，母線長(zhǎng)為3 m，為防雨需在糧倉(cāng)的頂部鋪上油氈，那么這塊油氈的面積至少為(    )A.6 m2              B.6π m2              C.12 m2              D.12π m2思路解析：側(cè)面積=底面直徑·π·母線長(zhǎng)=×4×π×3=6π(m2).答案：B2.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為a的半圓，則圓錐的高為(    )A.a                 B. a            C.3a                  D.a思路解析：展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是aπ，故底面半徑是，這時(shí)母線長(zhǎng)、底面半徑和高構(gòu)成直角三角形.答案：D3.用一張半徑為9 cm、圓心角為120°的扇形紙片，做成一個(gè)圓錐形冰淇淋的側(cè)面(不計(jì)接縫)，那么這個(gè)圓錐形冰淇淋的底面半徑是_________ cm.思路解析：扇形的弧長(zhǎng)為 =6π(cm)，所以圓錐底面圓的半徑為=3(cm).答案：34.如圖24-4-2-2，已知圓錐的母線長(zhǎng)OA=8，地面圓的半徑r=2.若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)是_________(結(jié)果保留根式).圖24-4-2-2思路解析：如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，它的圓心角是 =90°，連結(jié)AB，則△AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB==8.答案：85.一個(gè)圓錐的高為3 cm，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，求：(1)圓錐母線與底面半徑的比；(2)錐角的大小；(3)圓錐的全面積.思路分析：圓錐的母線在側(cè)面展開(kāi)圖中是扇形的半徑，底面周長(zhǎng)是展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng).錐角是軸截面的等腰三角形的頂角.知道圓錐母線和底面半徑，就可由扇形面積公式求側(cè)面積，底面積加側(cè)面積就得圓錐全面積.解：如圖，AO為圓錐的高，經(jīng)過(guò)AO的截面是等腰△ABC，則AB為圓錐母線l，BO為底面半徑r.(1)因圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，所以2πr=πl(wèi)，則=2.(2)因=2，則有AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即錐角為60°.(3)因圓錐的母線l，高h和底面半徑r構(gòu)成直角三角形，所以l2=h2＋r2；又l=2r，h=3 cm，則r=3 cm，l=6 cm.所以S表=S側(cè)＋S底=πrl＋πr2=3·6π＋32π=27π(cm2).三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.已知圓錐的母線與高的夾角為30°，母線長(zhǎng)為4 cm，則它的側(cè)面積為_________ cm2(結(jié)果保留π).思路解析：S圓錐側(cè)=×2×π××4×4=8π.答案：8π2.如圖24-4-2-3，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6 m的正三角形ABC，母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是___________ m.(結(jié)果不取近似數(shù))圖24-4-2-3思路解析：小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中的PB(如圖).則扇形的圓心角為=180°,因?yàn)?/span>P在AC的中點(diǎn)上，所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=3，AB=6，則PB==3.答案：33.若圓錐的底面直徑為6 cm，母線長(zhǎng)為5 cm，則它的側(cè)面積為___________.(結(jié)果保留π)思路解析：已知底面直徑和母線長(zhǎng)直接代入圓錐側(cè)面積公式即可.設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，則r=3 cm，l=5 cm，∴S側(cè)=πr·l=π×3×5=15π(cm2).答案：15π cm24.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，其全面積為S1；把Rt△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其全面積為S2.那么S1∶S2等于(    )A.2∶3            B.3∶4           C.4∶9           D.5∶12思路解析：根據(jù)題意分別計(jì)算出S1和S2即得答案.在求S1和S2時(shí)，應(yīng)分清圓錐側(cè)面展開(kāi)圖(扇形)的半徑是斜邊BC，弧長(zhǎng)是以AB(或AC)為半徑的圓的周長(zhǎng).∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC===10.當(dāng)以AC為軸時(shí)，AB為底面半徑，S1=S側(cè)＋S底=πAB·BC＋πAB2=π×6×10＋π×36=96π.當(dāng)以AB為軸時(shí)，AC為底面半徑，S2=S側(cè)＋S底=80π＋π×82=144π.∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3，故選A.答案:A5.如圖24-4-2-4是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈燈罩的示意圖，則圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為____________ cm2(不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果用π表示).圖24-4-2-4思路解析：由題意知：S側(cè)面積=×30π×20=300π(cm2).答案：300π6.制作一個(gè)底面直徑為30 cm、高為40 cm的圓柱形無(wú)蓋鐵桶,所需鐵皮至少為(    )A.1 425π cm2         B.1 650π cm2         C.2 100π cm2         D.2 625π cm2思路解析:由題意知S鐵皮=底面積+側(cè)面積=π×152+40×2π×15=15×95π=1 425π.答案:A7.在半徑為27 m的廣場(chǎng)中央，點(diǎn)O的上空安裝了一個(gè)照明光源S，S射向地面的光束呈圓錐形，其軸截面SAB的頂角為120°(如圖24-4-2-5)，求光源離地面的垂直高度SO.(精確到0.1 m；=1.414，=1.732，=2.236，以上數(shù)據(jù)供參考)圖24-4-2-5思路分析：利用勾股定理和30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解題.解：在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°.∵SO⊥AB，∴O為AB的中點(diǎn)，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°.在Rt△ASO中，OA=27 m，設(shè)SO=x，則AS=2x，∴272+x2=(2x)2.∴x=9≈15.6(m).答：光源離地面的垂直高度SO為15.6 m. 

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